; y -1- INECUACIONES LINEALES
REGLAS :
1) Si a < b, entonces a+c < b+c (también se cumple para =, > y =).
Ejemplo : Si 3 < 5 y sumamos 2 a ambos términos, obtenemos 5 < 7. En este ejercicio mantenemos a “X” al lado izquierdo del signo de la desigualdad y pasamos a “+2” al lado derecho pero cambiándole el signo.
X + 2 = 7
Así, la inecuación quedará expresada como: 2) Si a < b y c < d, entonces a+c < b+d (también se cumple para =, > y =). X = 7 – 2 X = 5 Ejemplo : Si 3 < 5 obtenemos 7 < 11. 4 < 6, entonces sumando las desigualdades, Lo que significa que “X” puede tomar valores iguales o mayores a 5; esta solución puede ser mostrada de tres formas : 3) Si a < b y c > 0, entonces ac < bc (también se cumple para =, > y =).
Ejemplo : Si 3 < 5 y multiplicamos por 2 obtenemos 6 < 10. En forma gráfica: ///////////////////////////////////////////////// 4) Si a < b y c < 0, entonces ac > bc (también se cumple para =, > –8 5 + 8 y =). Cuando se multiplica por un valor negativo se cambian los signos de los términos y el sentido de la desigualdad. Nota: Se coloca solución. en el número 5 indicando que él forma parte de la Ejemplo : Si 3 < 5 al multiplicar por –2 obtenemos –6 > –10. En forma de intervalo:
X = [5,+ 8 ) EJERCICIO 1 : Resolver X + 2 = 7 Intervalo cerrado en 5 (incluido el 5) hasta infinito positivo (tanto el infinito positivo como el infinito negativo se indican como intervalo abierto “paréntesis”). De la misma forma que hemos trabajado con las ecuaciones lineales podemos hacerlo con las inecuaciones, es decir se recomienda ordenarla de manera tal que las variables queden ubicadas en el primer miembro (lado izquierdo del signo de desigualdad) y los números en el segundo miembro (lado derecho del signo de desigualdad). En forma de conjunto:
X = {X ? R / X = 5 } Igual que en las ecuaciones, al “pasar” un término de un miembro al otro se debe cambiar el signo de dicho término. INECUACIONES O DESIGUALDADES X pertenece a los números reales tal que X sea mayor o igual a 5
Ing. José Luis Albornoz Salazar
; + 8 -2- EJERCICIO 2 : Resolver 3 = X – 2 Al “pasar” un término de un miembro al otro se debe cambiar el signo de dicho término. De la misma forma que hemos trabajado con las ecuaciones lineales podemos hacerlo con las inecuaciones, es decir se recomienda 3X – X < 2 + 4 2X < 6 ordenarla de manera tal que las variables queden ubicadas en el primer miembro (lado izquierdo del signo de desigualdad) y los números en el segundo miembro (lado derecho del signo de desigualdad).
Igual que en las ecuaciones, al “pasar” un término de un miembro al otro se debe cambiar el signo de dicho término.
3 = X – 2
–X = – 2 – 3 ; –X = – 5 En aquellos casos (como este) en que la variable presente signo negativo se debe multiplicar toda la inecuación por “menos uno”, teniendo en cuenta que se deben cambiar los signos de todos los términos y también se debe cambiar el sentido de la desigualdad.
(– X = – 5).( – 1) El “2” que está multiplicando a la “X” en el miembro izquierdo de la inecuación pasará al miembro derecho dividiendo al “6” (Esto solo se puede hacer si el coeficiente que acompaña a la variable es positivo).
Si la variable hubiese estado acompañada por un número negativo, primero se multiplica toda la inecuación por “menos uno” (ver ejercicio 2) y después se hace el despeje.
2X < 6 ; X < ; X < 3
Lo que significa que “X” puede tomar valores menores a 3 (no incluye al 3); esta solución puede ser mostrada de tres formas :
En forma gráfica:
/////////////////////////////////////////////////////////////////// –8 3 X = 5
Lo que significa que “X” puede tomar valores iguales o mayores a 5; esta solución es la misma que la del ejercicio 1. Nota: Se coloca de la solución.
En forma de intervalo: en el número 3 indicando que él NO forma parte
X = (– 8 , 3 ) Intervalo abierto desde menos infinito hasta intervalo abierto en 3 (no incluye al 3). EJERCICIO 3 : Resolver 3X – 4 < X + 2 En forma de conjunto: Ordenar de manera tal que las variables queden ubicadas en el primer miembro (lado izquierdo de la desigualdad) y los números en el segundo miembro (lado derecho de la desigualdad).
INECUACIONES O DESIGUALDADES X = {X ? R / X < 3}
X pertenece a los números reales tal que X sea menor a 3
Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; ; ; ; ; –8 en + 8 ; -3- EJERCICIO 4 : Resolver 2X – 1 = – 3X + 3 EJERCICIO 5 : Resolver 4X + 1 – 2 = 7X – 6 – X Ordenando las variables derecho: al lado izquierdo y los números al lado Ordenando las variables al lado izquierdo y los números al lado derecho: 2X + 3X = 3 + 1 5X = 4 X = 4X – 7X + X = – 6 – 1 + 2 – 2X = – 5 Lo que significa que “X” puede tomar valores iguales o mayores a Esta solución puede ser mostrada de tres formas : Como la variable “X” está acompañada por un coeficiente con signo negativo (– 2) se debe multiplicar toda la inecuación por “menos uno”, teniendo en cuenta que se deben cambiar los signos de todos los términos y también se debe cambiar el sentido de la desigualdad. En forma gráfica: (– 2X = – 5).( – 1) 2X = 5 X = X = 2,5 ///////////////////////////////////////////////// + 8 Lo que significa que “X” puede tomar valores iguales o menores a 2,5. Esta solución puede ser mostrada de tres formas : Nota: Se coloca
En forma de intervalo: indicando que él forma parte de la solución. En forma gráfica:
/////////////////////////////////////////////////////////////////// –8 2,5 En forma de intervalo: X = [ ,+ 8 ) X = (– 8 , 2.5 ] Intervalo cerrado en (incluido el ) hasta infinito positivo (tanto el En forma de conjunto: infinito positivo como el infinito negativo se indican como intervalo abierto “paréntesis”). X = { X ? R / X = 2,5 } En forma de conjunto: EJERCICIO 6 : Resolver – 10X + 2 < 3X + 28 X = {X ? R / X = }
X pertenece a los números reales tal que X sea mayor o igual a Ordenando las variables al lado izquierdo y los números al lado derecho: INECUACIONES O DESIGUALDADES – 10X – 3X < 28 – 2 – 13X < 26 Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; ; ; ) } -4- Como la variable ”X” está acompañada por un coeficiente con signo negativo (– 13) se debe multiplicar toda la inecuación por “menos uno”, teniendo en cuenta que se deben cambiar los signos de todos los términos y también se debe cambiar el sentido de la desigualdad. Luego se multiplica TODA la inecuación por el m.c.m (se debe multiplicar cada término por el m.c.m): (– 13X < 26).( – 1)
X > 13X > – 26
X > – 2 Lo que significa que “X” puede tomar valores mayores a “ – 2” (no incluye al “– 2”); esta solución puede ser mostrada de tres formas : Posteriormente se divide cada numerador entre su respectivo denominador.
2X – 4 + 18X < – 3X En forma gráfica:
–8 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// -2 + 8 La inecuación ha quedado expresada en forma lineal y su solución puede ser enfocada de la misma forma como los ejercicios anteriores: En forma de intervalo: X = ( – 2 , + 8 ) 2X + 18X + 3X < 4 23X < 4 X < En forma de conjunto: Lo que significa que “X” puede tomar valores menores a
al ); esta solución puede ser mostrada de tres formas : (no incluye X = {X ? R / X > – 2 } En forma gráfica:
//////////////////////////////////////////////////////////////// EJERCICIO 7 : Resolver –8 + 8 En forma de intervalo: Cuando alguno, varios o todos los términos de la inecuación presenten fracciones, se recomienda “eliminar” los denominadores para que la inecuación quede expresada en forma lineal. La operación para “eliminar” los denominadores se realiza en forma similar que con las ecuaciones. En forma de conjunto: X = (– 8 , Primero se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores: (m.c.m de 6, 2 y 4 = 12) X = {X ? R / X < INECUACIONES O DESIGUALDADES Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; ; , + 8 ] } ; ; -5- EJERCICIO 8 : Resolver 3 = 4 (X – 2) (– 21X = – 27).( – 1) 21X = 27 X = Primero se realiza la multiplicación indicada en el miembro derecho de la inecuación : Como al reducir por tres X = 3 = 4X – 8
Cuando alguno, varios o todos los términos de la inecuación presenten fracciones, se recomienda “eliminar” los denominadores para que la inecuación quede expresada en forma lineal. La operación para “eliminar” los denominadores se realiza en forma similar que con las ecuaciones. Lo que significa que “X” puede tomar valores menores o iguales a esta solución puede ser mostrada de tres formas :
En forma gráfica:
/////////////////////////////////////////////////////////////// –8 Primero se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores: (cuando exista un solo denominador se tomará como m.c.m. En este caso m.c.m = 5) En forma de intervalo: X = (– 8 , Luego se multiplica TODA la inecuación por el m.c.m (se debe multiplicar cada término por el m.c.m):
(5)(3) = 5(4X – 8)
15 = 20X – 40
Posteriormente se divide cada numerador entre su respectivo denominador. 2 – X – 15 = 20X – 40
La inecuación ha quedado expresada en forma lineal y su solución puede ser enfocada de la misma forma como los ejercicios anteriores:
– X – 20X = – 40 – 2 + 15 ; – 21X = – 27
Como la variable ”X” está acompañada por un coeficiente con signo En forma de conjunto:
X = {X ? R / X =
EJERCICIO 9 : Resolver – 1 < 2X – 5 < 7
Esta expresión representa realmente dos inecuaciones, la primera : – 1 < 2X – 5 y la segunda : 2X – 5 < 7
La solución total estará representada por la intersección de las dos soluciones parciales. En ese sentido, se procede a resolver cada inecuación por separado y al final se consigue la intersección de ambas.
Resolviendo – 1 < 2X – 5 negativo (– 21) se debe multiplicar toda la inecuación por “menos uno”, teniendo en cuenta que se deben cambiar los signos de todos los – 1 < 2X – 5 – 2X < – 5 + 1 – 2X < – 4 términos y también se debe cambiar el sentido de la desigualdad.
INECUACIONES O DESIGUALDADES Al multiplicar por menos uno : Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; + 8 –8 ; ; + 8 2 ) } -6- (– 2X < – 4) (-1) 2X > 4 X > X > 2 Resolviendo 2X + 1 = 4X – 3 –8 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2 + 8 2X – 4X = – 3 – 1
Al multiplicar por menos uno : – 2X = – 4 Resolviendo 2X – 5 < 7 2X = 4 X = X = 2 2X – 5 < 7 2X < 7 + 5 2X < 12 X < X 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X en dos puntos).
? Si b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene su vértice en un punto contenido en el eje X).
? Si b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales (NO corta al eje X).
b2 – 4ac = (0)2 – 4(1)(4) = 0 – 16 = – 16
Como b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales ( NO corta al eje X ). Ing. José Luis Albornoz Salazar
simetría X (0,4) X – 10 – Cuarto paso : Como no se pueden calcular las dos raíces de la función se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno ubicado al lado izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho, esto nos facilitará visualizar fácilmente la configuración de la parábola.
Como el eje de simetría es X = 0 puedo calcular los puntos cuando X = – 1 y cuando X = 1, para lo cual sustituyo estos valores en la función f(x) = X2 + 4 En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce fácilmente que la parábola quedará graficada así : Y Eje de Para X = – 1 ; f(-1) = (-1)2 + 4 = 1 + 4 = 5 Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (–1,5) Para X = 1 ; f(1) = (1)2 + 4 = 1 + 4 = 5 Vértice (0,4) Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (1,5)
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
Y
Una vez graficada la parábola resulta extremadamente fácil visualizar cuales son los valores positivos de la función (están por encima del eje X) y los valores negativos (están por debajo del eje X). (-1,5) (1,5) En este caso la parábola está ubicada completamente por encima del eje X por lo tanto todos los valores que toma son positivos. Como la desigualdad estudiada quedó ordenada como X2 + 4 = 0 nos interesa determinar los valores mayores e iguales a cero (valores positivos de la función) y es evidente al observar la grafica que serán todos los números reales. Solución en forma de intervalo: El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
INECUACIONES O DESIGUALDADES En forma de conjunto: X = (– 8 , + 8 )
X = { R } Ing. José Luis Albornoz Salazar
2 = ; ; – 11 – Nota: Si la desigualdad estudiada hubiese quedado ordenada como f(2,5) = – (2,5)2 + 5(2,5) – 4 = – 6,25 + 12,5 – 4 = – 2,25 X2 + 4 = 0 nos hubiese interesado determinar los valores menores e iguales a cero (valores negativos de la función) y es evidente al observar la grafica que estos no existen.
Luego, la solución será un conjunto vacío ( X no pertenece al conjunto de los números reales). f(2,5) = 2,25
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 2.5 , 2.25 )
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ). EJERCICIO 3 : Resolver
Solución : 5X – 4 – X > 0 b2 – 4ac = (5)2 – 4(-1)(-4) = 25 – 16 = 9
Como b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X en dos puntos). Ordenando el polinomio en forma descendente (aX2 + bX + c) :
– X2 + 5X – 4 > 0 Ahora procedemos a graficar el miembro que está al lado izquierdo del signo de la desigualdad, considerándolo como una función.
Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los siguientes pasos :
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función. Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la fórmula general de segundo grado o resolvente:
Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada. a = –1 b=5 c= – 4 X1 = = X1 = 1 Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X = Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(1,0) X= ; X= ; X= ; X = 2,5 X2 = = X2 = 4 Esto significa que por X = 2,5 pasará una recta perpendicular al eje X que representa al eje de simetría de la parábola. Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (4,0) Se introduce este valor en la función f(x) = – X2 + 5X – 4 para Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de determinar el vértice de la parábola. INECUACIONES O DESIGUALDADES coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola. Ing. José Luis Albornoz Salazar
U – 12 – Como la inecuación es del tipo > los cortes con el eje X NO formarán En forma gráfica: parte de la solución y por lo tanto se indican con un círculo “hueco”. El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso. –8
En forma de intervalo: 0
X = (1,4) ////////////////// 1 4 + 8 En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce fácilmente que la parábola quedará graficada así : En forma de conjunto: X = {X ? R / 1 < X < 4} Eje de Vértice (2.5,2.25) Nota: Si la – X2 + 5X menores a observar la “X”. desigualdad estudiada hubiese quedado ordenada como – 4 < 0 nos hubiese interesado determinar los valores cero (valores negativos de la función) y es evidente al grafica que serán los valores que están por debajo del eje
X = ( –8 , 1 ) (4 , + 8 ) simetría EJERCICIO 4 : Resolver X2 = – 16 + 8X Solución : Una vez graficada la parábola resulta extremadamente fácil visualizar cuales son los valores positivos de la función (están por encima del eje X) y los valores negativos (están por debajo del eje X).
Como la desigualdad estudiada quedó ordenada como – X2 +5X – 4 > 0 nos interesa determinar los valores mayores a cero (valores positivos de la función sin incluir al cero) y es evidente al observar la grafica que será el intervalo (1, 4)
La solución puede ser mostrada de tres formas : INECUACIONES O DESIGUALDADES Lo primero que debemos hacer es “pasar” todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad y ordenarlo como un polinomio en forma descendente (aX2 + bX + c) : X2 – 8X + 16 = 0
Ahora procedemos a graficar el miembro que está al lado izquierdo del signo de la desigualdad, considerándolo como una función.
Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los siguientes pasos : Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; ; ; ; = Eje de X Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función. Como el eje de simetría es X = 4 puedo calcular los puntos cuando X = 3 y cuando X = 5, para lo cual sustituyo estos valores en la a=1 b=-8 c = 16 función f(x) = X2 – 8X + 16 Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X = Para X = 3 ; f(3) = (3)2 – 8(3) + 16 = 9 – 24 + 16 = 1 Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (3,1) X= X= X= X=4 Para X = 5 ; f(5) = (5)2 – 8(5) + 16 = 25 – 40 + 16 = 1 Esto significa que por X = 4 pasará una recta perpendicular al eje X que representa al eje de simetría de la parábola.
Se introduce este valor en la función f(x) = X2 – 8X + 16 para determinar el vértice de la parábola.
f(4) =(4)2 – 8(4) + 16 = 16 – 32 + 16 = 0 ; f(4) = 0
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 4 ,0 )
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ). Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (5,1)
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola. Como la inecuación es del tipo = los cortes con el eje X formarán parte de la solución y por lo tanto se indican con un círculo “relleno”. El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso. En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce b2 – 4ac (8)2 – 4(1)(16) = 64 – 64 = 0 fácilmente que la parábola quedará graficada así : Como b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene su vértice en un punto contenido en el eje X).
Otra particularidad que presenta el hecho de que el determinante sea igual a cero es que al calcular el punto donde la parábola corta al eje X es el mismo vértice.
Esta consideración anterior nos obliga a aplicar el cuarto paso como si no existieran raíces reales.
Cuarto paso : Se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno ubicado al lado izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho, esto nos facilitará visualizar fácilmente la configuración de la parábola. (3,1) simetría (5,1) INECUACIONES O DESIGUALDADES Vértice (4,0) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 13 –
2 2 – 14 – Una vez graficada la parábola resulta extremadamente fácil visualizar cuales son los valores positivos de la función (están por encima del eje X) y los valores negativos (están por debajo del eje X). En este caso la parábola está ubicada por encima del eje X pero su vértice está contenido en el eje X (4,0). Como la desigualdad estudiada quedó ordenada como X2 – 8X +16 = 0 nos interesa determinar los valores menores e iguales a cero y es evidente al observar la grafica que existe solo un punto que cumple con esta condición (el vértice). Luego, la solución será :
X = 4 Nota: Si la desigualdad estudiada hubiese quedado ordenada como EJERCICIO 6 : Resolver – 8X + 24X – 16 = 0
Vértice (1.5,2) X2 – 8X +16 = 0 nos hubiese interesado determinar los valores mayores e iguales a cero y es evidente al observar la grafica que estos serán todos los números reales. Solución en forma de intervalo: X = [1,2] EJERCICIO 5 : Resolver X2 – 5X + 6 = 0 EJERCICIO 7 : Resolver X – 2X – 3 < 0 Eje de simetría
Vértice (2.5,-0.25) Solución en forma de intervalo: Vértice (1,-4) X = [2,3] Solución en forma de intervalo: X = ( – 1,3) INECUACIONES O DESIGUALDADES Ing. José Luis Albornoz Salazar
0 ; 5 + 8 ; ; – 15 – INECUACIONES RACIONALES
Existen varios métodos para resolver este tipo de inecuaciones, en estos ejercicios vamos a utilizar uno que consideramos más sencillo y sobre todo tiene la particularidad de que paralelamente a su resolución permite comprobar si los intervalos cumplen o no con la desigualdad planteada.
Pasos del método recomendado: Estudiando el denominador :
4 + 2X = 0 ; 2X = – 4 ; X = ; X = – 2
Esto nos indica que “X” no puede tomar el valor de “– 2” ya que anularía al denominador y la división por cero es indeterminada. Luego en la recta real debo colocar un circulo “hueco” ( ) en “– 2” para indicar que NO forma parte de la solución (intervalo abierto) 1) Se calculan los valores críticos o de interés de la variable y se señalan sobre la recta real. Estos valores de “X” serán aquellos que anulan al numerador y al denominador de la inecuación. –8 -2
Estudiando el numerador : + 8 2) Una vez indicados estos valores, la recta real quedará dividida en intervalos. 3) Se escoge un valor en cada uno de los intervalos y se sustituye en la inecuación inicial. Si se cumple para el punto escogido se cumplirá para todos los puntos que se encuentren en dicho intervalo y viceversa. Muchos autores y profesores recomiendan “pasar” primero todos los términos al lado izquierdo del signo de la desigualdad. Como esto trae algunas dificultades a los alumnos menos aventajados, recomendamos resolver la inecuación como una ecuación y resultará más cómodo :
; 3X – 1 = 1 (4 + 2X) ; 3X – 1 = 4 + 2X 4) Para indicar si los extremos de cada intervalo son abiertos o cerrados se debe tomar en cuenta lo siguiente: 3X – 2X = 4 + 1 X = 5 ? El valor donde el denominador se anula NO formará parte de la solución porque la división por cero es indeterminada (siempre se indicará como intervalo abierto). ? En el valor donde se anule el numerador se tomará en cuenta el signo de la desigualdad (intervalo cerrado si es “=” o “=”. Intervalo abierto si es “”). Como la desigualdad es del tipo “=” el “5” formará parte de la solución, en la recta real colocamos un circulo “relleno” para indicar que es el extremo de un intervalo cerrado ( ).
–8 -2 0
La recta real queda dividida en 3 intervalos : ( –8 , – 2) ( –2 , 5 ] [ 5 , + 8 ) Para saber cuál o cuáles de estos intervalos cumplen con la EJERCICIO 1 : Resolver
Solución : INECUACIONES O DESIGUALDADES desigualdad, escojo un valor dentro de cada intervalo, lo sustituyo en la inecuación inicial y observo si cumple o no con ella. Si un punto de un intervalo cumple con la inecuación, cumplirán todos los puntos de ese intervalo y viceversa. Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; ; ; ; – 16 – Se puede escoger cualquiera de los puntos de cada intervalo. Estudiando el intervalo ( – 8 , – 2 ) : escojo el valor “– 3” (está ubicado a la izquierda de “– 2 “) y lo sustituyo en la inecuación inicial 1,06 = 1
Como “1,06” NO es menor ni igual a “1” significa que “6” no cumple ; ; con la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el intervalo [ 5 , + 8 ) cumple. ; 5 = 1 –8 NO -2 0 SI 5 NO + 8 Como “5” NO es menor ni igual a “1” significa que “– 3” no cumple con la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el intervalo ( – 8 , – 2 ) cumple. La solución puede ser mostrada de tres formas :
En forma gráfica: –8 NO -2 0 5 + 8 –8 /////////////////////////////////////////////// -2 0 5 + 8 Estudiando el intervalo ( – 2 , 5 ] : escojo el valor “0” (está ubicado entre “– 2” y “ 5”) y lo sustituyo en la inecuación inicial En forma de intervalo:
En forma de conjunto: X = ( – 2,5] – 0,25 = 1
Como “– 0,25 ” SI es menor a “1” significa que “0” si cumple con la inecuación y por lo tanto todos los valores que están en el intervalo estudiado ( – 2 , 5 ] cumplen. X = {X ? R / – 2 < X = 5} –8 NO -2 0 SI 5 + 8 EJERCICIO 2 : Resolver
Solución : Estudiando el intervalo [ 5 , + 8 ) : escojo el valor “6” (está ubicado a la derecha de “5”) y lo sustituyo en la inecuación inicial Estudiando el denominador : INECUACIONES O DESIGUALDADES X+2 = 0 X = – 2
Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; ; ; – 17 – Esto nos indica que “X” no puede tomar el valor de “– 2” ya que anularía al denominador y la división por cero es indeterminada. Luego en la recta real debo colocar un circulo “hueco” ( ) en “– 2” para indicar que NO forma parte de la solución (intervalo abierto) –8 NO -2 0 2 + 8 –8 -2 0 + 8 Estudiando el intervalo ( – 2 , 2 ] : escojo el valor “0” (está ubicado entre “– 2” y “ 2”) y lo sustituyo en la inecuación inicial Estudiando el numerador : X – 2 = 0 X = 2 – 1 = 0 Como la desigualdad es del tipo “=” el “2” formará parte de la solución, en la recta real colocamos un circulo “relleno” para indicar que es el extremo de un intervalo cerrado ( ). Como “– 1 ” SI es menor a “0” significa que “0” si cumple con la inecuación y por lo tanto todos los valores que están en el intervalo estudiado ( – 2 , 2 ] cumplen. NO SI –8 -2 0 2 + 8 –8 -2 0 2 + 8 La recta real queda dividida en 3 intervalos :
( –8 , – 2) ; ( – 2,2] [2 , + 8 ) Estudiando el intervalo [ 2 , + 8 ) : escojo el valor “3” (está ubicado a la derecha de “2”) y lo sustituyo en la inecuación inicial Para saber cuál o cuáles de estos intervalos cumplen con la desigualdad, escojo un valor dentro de cada intervalo, lo sustituyo en la inecuación inicial y observo si cumple o no con ella. Si un punto de un intervalo cumple con la inecuación, cumplirán todos los puntos de ese intervalo y viceversa. ; 0,20 = 0
Como “0,20” NO es menor ni igual a “0” significa que “3” no cumple con la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el intervalo [ 2 , + 8 ) cumple. Se puede escoger cualquiera de los puntos de cada intervalo. –8 NO -2 SI 0 2 NO + 8 Estudiando el intervalo ( – 8 , – 2 ) : escojo el valor “– 3” (está ubicado a la izquierda de “– 2 “) y lo sustituyo en la inecuación inicial La solución puede ser mostrada de tres formas : ; ; 5 = 0 En forma gráfica: Como “5” NO es menor ni igual a “0” significa que “– 3” no cumple con la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el intervalo ( – 8 , – 2 ) cumple. INECUACIONES O DESIGUALDADES –8 /////////////////////////////////////// -2 0 2
Ing. José Luis Albornoz Salazar + 8
; ; ; ; ; ; ; – 18 – En forma de intervalo: X = ( – 2,2] En forma de conjunto: –8 0 2 5 + 8 X = {X ? R / – 2 < X = 2} La recta real queda dividida en 3 intervalos : ( –8 , 2 ) ( 2,5) ( 5 , + 8 ) EJERCICIO 3 : Resolver
Solución : Para saber cuál o cuáles de estos intervalos cumplen con la desigualdad, escojo un valor dentro de cada intervalo, lo sustituyo en la inecuación inicial y observo si cumple o no con ella. Si un punto de un intervalo cumple con la inecuación, cumplirán todos los puntos de ese intervalo y viceversa. Estudiando el denominador : X – 2 = 0 X = 2 Se puede escoger cualquiera de los puntos de cada intervalo. Esto nos indica que “X” no puede tomar el valor de “2” ya que anularía al denominador y la división por cero es indeterminada. Luego en la recta real debo colocar un circulo “hueco” ( ) en “2” para indicar que NO forma parte de la solución (intervalo abierto) Estudiando el intervalo ( – 8 , 2 ) : escojo el valor “0” (está ubicado a la izquierda de “2 “) y lo sustituyo en la inecuación inicial –8 0 2 + 8 ; ; – 2 > 3 Estudiando el numerador : Muchos autores y profesores recomiendan “pasar” primero todos los términos al lado izquierdo del signo de la desigualdad. Como esto trae Como “– 2” NO es mayor que “3” significa que “0” no cumple con la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el intervalo ( – 8 , 2 ) cumple. algunas dificultades a los alumnos menos aventajados, recomendamos resolver la inecuación como una ecuación y resultará más cómodo : –8 NO 0 2 5 + 8 X + 4 = 3 (X – 2) X + 4 = 3X – 6 X – 3X = – 6 –4 – 2X = – 10 X = 5 Estudiando el intervalo ( 2 , 5 ) : escojo el valor “3” (está ubicado entre “2” y “ 5”) y lo sustituyo en la inecuación inicial Como la desigualdad es del tipo “>” el “5” NO formará parte de la solución, en la recta real colocamos un circulo “hueco” para indicar que es el extremo de un intervalo abierto ( ). ; ; ; 7 > 3 INECUACIONES O DESIGUALDADES Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; 0 2 ; ; ; ; 0 ; ; – 19 – Como “7” SI es mayor que “3” significa que “3” si cumple con la inecuación y por lo tanto todos los valores que están en el intervalo estudiado ( 2 , 5 ) cumplen. EJERCICIO 4 : Resolver –8 NO 0 2 SI 5 + 8 Estudiando el denominador : Solución : Estudiando el intervalo ( 5 , + 8 ) : escojo el valor “6” (está ubicado a X – 2 = 0 X = 2 la derecha de “5”) y lo sustituyo en la inecuación inicial
; ; 2,5 > 3 Esto nos indica que “X” no puede tomar el valor de “2” ya que anularía al denominador y la división por cero es indeterminada. Luego en la recta real debo colocar un circulo “hueco” ( ) en “2” para indicar que NO forma parte de la solución (intervalo abierto) Como “2,5” NO es mayor que “3” significa que “6” no cumple con la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el intervalo ( 5 , + 8 ) cumple. –8
Estudiando el numerador : + 8 –8 NO 0 2 SI 5 NO + 8 Muchos autores y profesores recomiendan “pasar” primero todos los términos al lado izquierdo del signo de la desigualdad. Como esto trae algunas dificultades a los alumnos menos aventajados, recomendamos resolver la inecuación como una ecuación y resultará más cómodo : La solución puede ser mostrada de tres formas : X + 4 = 3 (X – 2) X + 4 = 3X – 6 En forma gráfica: X – 3X = – 6 –4 – 2X = – 10 X = 5 –8 ////////////////// 2 5 + 8 Como la desigualdad es del tipo “ 5 ; 3X – 8 = – X + 4 4X > 5 X > X > 1,25 3X + X = 4 + 8 4X = 12 X = X = 3 Como el signo de la desigualdad es >, el intervalo en 1.25 debe ser abierto. Colocando esta solución sobre la recta real se observa la ///////////////////////////////////////////////// 3 + 8 INTERSECCION de las tres soluciones y ésta representará la solución total : INECUACIONES O DESIGUALDADES Solución en forma de intervalo: X = [3,+ 8 ) Ing. José Luis Albornoz Salazar
1) ; 1 + 8 2) ; ; –8 3) 1 4) – 26 – INECUACIONES CON VALOR EJERCICIO 1 : Resolver ¦4X – 1 ¦ = 3 Propiedades : ABSOLUTO Para resolver esta inecuación con valor absoluto se divide la misma en dos partes (Propiedad 1) : Para cualquier número real “X” y cualquier número positivo “a” :
¦ X ¦ < a ???????a < X < a (también se cumple para =). Se puede decir que la desigualdad queda dividida en dos partes : En la primera se “elimina” el módulo de valor La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor absoluto (4X – 1 = 3) y en la segunda se cambiará el sentido del signo de la desigualdad y el signo del segundo miembro (4X – 1 = – 3)
La solución total será la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales (Propiedad 1) : absoluto y se mantiene lo demás igual (X < a), y en la segunda se “elimina” el módulo Resolviendo la primera parte: 4X – 1 = 3 de valor absoluto, se cambia el sentido de la desigualdad y el signo del miembro de la 4X = 3 + 1 ; 4X = 4 ; X = X = 1 derecha ( X > -a ), la solución viene dada por la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales. /////////////////////////////////////////////////////////////// –8 ¦ X ¦ > a ??????X > a U X < – a (también Resolviendo la segunda parte: 4X – 1 = – 3 se cumple para =). Se puede decir que la desigualdad queda dividida en dos partes : En 4X = – 3 + 1 ; 4X = – 2 X = X = – 0,5 la primera se “elimina” el módulo de valor absoluto y se mantiene lo demás igual (X > a), y en la segunda se “elimina” el módulo de valor absoluto, se cambia el sentido de la desigualdad y el signo del miembro de la derecha ( X < – a ), la solución viene dada por la UNIÓN de las dos soluciones parciales. ////////////////////////////////////////////////////////////////// -0,5 + 8
Solución Total ¦X ¦ < ¦a ¦ ??????X2 < a2 (también se En forma gráfica: cumple para >, = y =). La solución se encuentra aplicando los métodos de resolución de una inecuación cuadrática o de segundo grado.
¦ X ¦ < – a Representa al conjunto vacío (también se cumple para =)
INECUACIONES O DESIGUALDADES –8 En forma de intervalo: ////////////////////// -0,5
X = [ – 0.5 , 1 ]
Ing. José Luis Albornoz Salazar + 8
1 ; ; ; ; ; + 8 – 27 – En forma de conjunto: EJERCICIO 2 : Resolver ¦2X + 3 ¦ > 5 X = { X ? R / – 0.5 = X = 1 }
¿Como comprobar estos resultados?
Se escoge un valor cualquiera en cada uno de los intervalos y se introduce en la inecuación inicial y se comprueba si cumple o no de acuerdo a la solución obtenida.
En este ejercicio la solución fue : Para resolver esta inecuación con valor absoluto se divide la misma en dos partes (Propiedad 2) :
La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor absoluto ( 2X + 3 > 5 ) y en la segunda se cambiará el sentido del signo de la desigualdad y el signo del segundo miembro ( 2X + 3 < –5 ).
La solución total será la UNIÓN de las dos soluciones parciales, es decir la solución de la primera parte más la solución de la segunda parte (Propiedad 2) :. –8 ////////////////////// -0,5 + 8 Resolviendo la primera parte: 2X + 3 > 5 2X > 5 – 3 2X > 2 X> X>1 Escojo el valor X = –1 que está al lado izquierdo de “-0,5” (NO debe cumplir con la desigualdad) y lo introduzco en la inecuación : ///////////////////////////////////////////////// ¦4X – 1 ¦ = 3 ; ¦4(-1) – 1 ¦ = 3 ; ¦– 4 – 1 ¦ = 3 –8 Resolviendo la segunda parte: 1
2X + 3 < –5 + 8 ¦– 5 ¦ = 3 : 5 = 3 (esto es falso, se demuestra que NO cumple) 2X < –5 –3 ; 2X < –8 X< X < – 4 Escojo el valor X = 0 que está entre “-0,5” y “1” (debe cumplir con la desigualdad) y lo introduzco en la inecuación : //////////////////////////////////////////// –8 -4 ¦4X – 1 ¦ = 3 ; ¦4(0) – 1 ¦ = 3 ; ¦0 – 1 ¦ = 3 Solución Total ¦– 1 ¦ = 3 : 1 = 3 (esto es cierto, se demuestra que SI cumple) En forma gráfica: Escojo el valor X = 2 que está al lado derecho de “1” (NO debe cumplir con la desigualdad) y lo introduzco en la inecuación : //////////////////////////////////////////// –8 -4 ///////////////////////////////////////////// 1 + 8 ¦4X – 1 ¦ = 3 ; ¦4(2) – 1 ¦ = 3 ; ¦8 – 1 ¦ = 3 En forma de intervalo: ¦7 ¦ = 3 : 7 = 3 (esto es falso, se demuestra que NO cumple)
INECUACIONES O DESIGUALDADES X = (– 8 , – 4 ) U ( 1 , + 8 ) Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; ; 1 + 8 ; ; ; –8 ; ; – 28 – En forma de conjunto: EJERCICIO 3 : Resolver ¦2X + 3 ¦ < 5 X = {X ? R / X < – 4 ? X>1}
¿Como comprobar estos resultados?
Se escoge un valor cualquiera en cada uno de los intervalos y se introduce en la inecuación inicial y se comprueba si cumple o no de acuerdo a la solución obtenida.
En este ejercicio la solución fue : Para resolver esta inecuación con valor absoluto se divide la misma en dos partes (Propiedad 1) :
La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor absoluto ( 2X + 3 < 5 ) y en la segunda se cambiará el sentido del signo de la desigualdad y el signo del segundo miembro ( 2X + 3 > –5 ).
La solución total será la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales (Propiedad 1) : //////////////////////////////////////////// –8 -4 ///////////////////////////////////////////// 1 + 8 Resolviendo la primera parte: 2X + 3 < 5 2X < 5 – 3 2X < 2 X< X 5 ; ¦2(-5) + 3 ¦ > 5 ¦- 10 + 3 ¦ > 5 Resolviendo la segunda parte: 2X + 3 > –5 ¦– 7 ¦ > 5 : 7 > 5 (esto es cierto, se demuestra que SI cumple) 2X > –5 –3 ; 2X > –8 X> X > – 4 Escojo el valor X = 0 que está entre “- 4” y “1” (NO debe cumplir con la desigualdad) y lo introduzco en la inecuación : ///////////////////////////////////////////////////////////////////// -4 + 8 ¦2X + 3 ¦ > 5 ; ¦2(0) + 3 ¦ > 5 ¦0 + 3 ¦ > 5 Solución Total ¦3 ¦ > 5 : 3 > 5 (esto es falso, se demuestra que NO cumple) En forma gráfica: Escojo el valor X = 2 que está a la derecha “1” (SI debe cumplir con la desigualdad) y lo introduzco en la inecuación : –8 //////////////// -4 1 + 8 ¦2X + 3 ¦ > 5 ; ¦2(2) + 3 ¦ > 5 ¦4 + 3 ¦ > 5 En forma de intervalo: X = ( – 4 , 1 ) ¦7 ¦ > 5 : 7 > 5 (esto es cierto, se demuestra que SI cumple) En forma de conjunto: INECUACIONES O DESIGUALDADES X = {X ? R / – 4 < X – 1 En base a las aclaraciones anteriores se desprende que la solución serán TODOS LOS NÚMEROS REALES. Para resolver esta inecuación con valor absoluto se divide la misma en dos partes (Propiedad 2) : La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor absoluto ( X – 3 > – 1 ) y en la segunda se cambiará el sentido del signo de la desigualdad y el signo del segundo miembro (X – 3 < 1). Note que si superponen las dos soluciones parciales quedarán incluidos todos los valores de la recta real. Inclusive los valores que están excluidos en cada una de las soluciones parciales ( ), están incluidas en la otra. La solución total será la UNIÓN de las dos soluciones parciales, es decir la solución de la primera parte más la solución de la segunda parte (Propiedad 2) :. En forma de intervalo:
En forma de conjunto: X = (– 8 , + 8 ) Resolviendo la primera parte: X – 3 > – 1 X = { R } –8 X > – 1+3 X > 2
//////////////////////////////////////////////////// + 8 Compruebe los resultados atendiendo a lo explicado al final de los ejercicios 1 y 2. Resolviendo la segunda parte: X – 3 < 1 EJERCICIO 5 : Resolver ¦X – 3 ¦ < – 1 X < 1+3 ; X < 4
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// –8 4
Solución Total
El error más común que se comete en este tipo de ejercicios es creer que la solución estará representada por la intersección de las dos soluciones parciales, es decir, el intervalo ( 2 , 4 ).
Para evitar cometer este error se recomienda repasar las propiedades que se encuentran en la página 26 de esta guía, sobre todo lo apuntado en la PROPIEDAD 2 (la solución viene dada por la UNIÓN de las dos soluciones parciales). INECUACIONES O DESIGUALDADES Al recordar la PROPIEDAD 4, inmediatamente se deduce que la solución está representada por un conjunto vacío.
El valor absoluto de cualquier número NUNCA podrá ser menor que un número negativo. Pruebe con cualquier valor que se le ocurra y comprobará que no se cumple la desigualdad.
EJERCICIO 6 : Resolver ¦2X + 5¦ = ¦X + 4¦
Para resolver esta inecuación con valor absoluto debo tener presente la PROPIEDAD 3..
¦X ¦ < ¦a ¦ ??????X2 < a2 (también vale para >, = y =). La solución se encuentra aplicando los métodos de resolución de una inecuación cuadrática o de segundo grado. Ing. José Luis Albornoz Salazar
2 = = 2 = ¦ – 30 – Luego la inecuación quedará indicada como (2X + 5)2 = (X + 4)2 EJERCICIO 9 : Resolver Resolviendo los productos notables de cada miembro de la inecuación: Solución en forma de intervalo : (2X + 5)
(X + 4) (2X)2 + 2.(2X).(5) + (5)2
= (X)2 + 2.(X).(4) + (4)2 4X2 + 20X + 25
X2 + 8X + 16 X = [ – 2/3 , 4 ] 4X2 + 20X + 25 = X2 + 8X + 16 Al pasar todos los términos al lado izquierdo de la inecuación :
4X2 + 20X + 25 – X2 – 8X – 16 = 0 EJERCICIO 10 : Resolver 3X2 + 12X + 9 = 0
La solución de este tipo de inecuaciones está detalladamente explicada en la guía “INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO”. Solución en forma de intervalo :
X = ( – 1/3 , 7 ) Solución : X = (– 8 , – 3 ] U [ –1 , + 8 ) EJERCICIO 11 : Resolver Solución en forma de intervalo : EJERCICIO 7 : Resolver X = (1, 2) U (2,5) Solución en forma de intervalo :
X = (0, 6) EJERCICIO 12 : Resolver Solución en forma de intervalo : EJERCICIO 8 :
Solución : Conjunto vacío. Resolver INECUACIONES O DESIGUALDADES X = (– 8 , 5 ] U [ –1 , 0 ) U ( 0 , + 8 )
Ing. José Luis Albornoz Salazar
–8 ; y ; ; – 31 – SISTEMAS DE INECUACIONES (INECUACIONES SIMULTANEAS)
Resolver un “sistema de inecuaciones” es la operación que nos permite determinar, encontrar o conseguir los valores La forma más fácil de visualizar las soluciones es la gráfica :
///////////////////////////////////////////////// 5 + 8
Resolviendo la segunda inecuación : de la variable que satisfacen simultáneamente las dos o más inecuaciones que conforman dicho sistema. X-3 < 6 ; X < 6+3 X < 9 Se debe entonces, resolver cada una de las inecuaciones por separado y posteriormente determinar la INTERSECCIÓN de las soluciones parciales.
Al igual que con las ecuaciones, un sistema de inecuaciones se indica utilizando el símbolo conocido como llave.
Así, para calcular cuáles valores cumplen a la vez con las Se indica la solución sobre la misma gráfica de la solución anterior.
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// ///////////////////////////////////////////////// –8 5 9 + 8
Sea muy cuidadoso. La solución total vendrá dada por la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales; es decir, los valores que estén contenidos en las dos áreas sombreadas a la vez. desigualdades X > a siguiente manera : Xa se representa de la Solución en forma de intervalo:
X = [5,9) X 6 Solución :
Se resuelven por separado las dos inecuaciones. X-3 < 6 Solución :
Se resuelven por separado las dos inecuaciones.
Resolviendo la primera inecuación : Resolviendo la primera inecuación : X + 2 = 7 X = 7– 2 ; X = 5 X + 2 = 7 X = 7– 2 ; X = 5 La forma más fácil de visualizar las soluciones es la gráfica : INECUACIONES O DESIGUALDADES Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; –8 ; – 32 – ///////////////////////////////////////////////// /////////////////////////////////////////////////////////////// –8 5 + 8 –8 5 + 8 Resolviend
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