Ecuación fundamental de figuras planas

He desarrollado la ecuación que denomino ecuación fundamental de figuras planas; partiendo de la ecuación Euler característica para los grafos. Un polígono en el plano no deja de ser más que un grafo, con esta forma ha sido tratado.

Estudiando las caras del grafo quedé sorprendido cuándo al observar que el número de lados no correspondía con el número de aristas; entonces fue cuando comencé a indagar sobre ello. Generalmente esto sucede cuándo la figura posee aquello que denomino "segmentillos". Un segmentillo no es más que un vértice de grado uno, es decir, está conectado el vértice al grafo mediante una única arista.

Segmentillos, aristas de color rojo

En mis investigaciones, tenía que discernir entre aristas y lados, siendo las aristas aquellas que podemos ver, mientras que el número de lados es un concepto abstracto. Del porqué llamarle lados y no de otra forma fue debido a que en otras fórmulas que manejaba siempre estaban presentes; salvo cuando aparecen los segmentillos; dónde no corresponden los conceptos aristas y lados.

Así como un triángulo consta de tres vértices y tres aristas en la geometría tradicional, he encontrado un triángulo con dos vértices y dos aristas, por ejemplo. Ambos triángulos comparten el mismo número de lados. A las figuras dónde no coinciden el número de aristas y el número de lados, las he denominado "figuras segmentales".

La ecuación fundamental de figuras planas relaciona el número de aristas (e), el número de vértices (n), junto al de lados (i), el número de caras de i lados (ci), el conjunto de caras (T), y cómo no, el número de componentes no conexas (g). Queda determinada por la siguiente expresión:

Ecuación fundamental de figuras planas

Esta ecuación deja de manifiesto que existen caras de un único lado o caras de dos lados. Vamos a verificar su presencia.

En mi libro "Naturaleza del grafo", muestro la existencia de una cara exterior en los grafos (así como también una cara interior). Dicha cara es propia de la naturaleza del grafo para hacer coherente la ecuación de Euler y en las modificaciones que establezco sobre ella. La cara exterior es fundamental en la expresión que trata el artículo, la ecuación fundamental de figuras planas.

Un lazo consiste en un único vértice y una arista que parte del vértice y llega a él.

Lazo

Como podemos observar el objeto de estudio, el lazo, es el mismo visto desde el punto A y el punto B; con la excepción que en A lo vemos desde el interior y, en B desde el exterior. Aún así se trata de la misma identidad, en los dos puntos de observación están acotadas ambas regiones por él. En consecuencia la cara es la misma (equivalente en cuánto a lados) desde ambas observaciones; luego tenemos dos caras iguales.

Este resultado implica que el lazo posee un lado.

Observamos la figura de dos lados. Consta de dos vértices y dos aristas paralelas, es decir que ambas parten y llegan, desde y hacia, los mismos vértices.

FIGURA DE DOS LADOS

Como en el caso anterior tenemos las mismas caras desde la observación interior y exterior, y sólo posee una componente no conexa. Plantemos la ecuación:

En consecuencia, esta figura tiene dos lados tanto para la cara interior como la cara exterior.

Probamos con una figura con dos componentes no conexas, es decir, no están unidas mediante una arista:

Triángulo segmental

El segmento interior que consta de una arista y dos vértices no circunda ninguna cara interior, al no contener alguna región del plano.

En éste caso vamos a analizar la región de color amarillo, delimitada por tres vértices y dos aristas, como demostramos anteriormente la cara exterior tiene un único lado. Aplicamos la fórmula:

En la figura que se trata, el sumatorio de la fórmula se extiende a dos caras, la región de estudio amarilla y, la cara exterior, dónde antes demostramos que posee un lado.

Despejamos la incógnita:

.

Por consiguiente, estamos ante un triángulo segmental; pues posee dos arista y tres lados.

Dejo al lector que compruebe cuántos lados acota el segmento la cara exterior. La solución es dos.

Podemos comprobar que para un triángulo no segmental, es decir, un triángulo tradicional con tres vértices y tres aristas, también se cumple la ecuación fundamental de figuras planas. Tomando como nota que la cara interior y exterior son equivalentes, aplicamos la fórmula:

En la siguiente tabla se muestra algunos ejemplos de figuras segmentales. El polígono de estudio es la región amarilla. Donde v indica el número de vértices.

EJEMPLOS DE FIGURAS SEGMENTALES

Propongo al lector que verifique la validez de la ecuación en éstos casos, así como a cualquier polígono tradicional o no segmental.

Como hemos comprobado la ecuación fundamental de figuras planas rige a todos los polígonos que podamos dibujar en una superficie de dos dimensiones, incluso aquellos que antes no podíamos contemplar. Podemos distinguir los polígonos en dos clases: segmentales y no segmentales. El nombre de segmental lo he acogido gracias a los segmentillos, quienes verdaderamente son los causantes de la variación en la equivalencia entre aristas y lados.

Ahora logramos catalogar las figuras en función de los lados; de ahí mi atrevimiento a denominarla: ecuación fundamental de figuras planas, pues todos los elementos de una figura plana están presentes en dicha ecuación.

Bibliografía

"Naturaleza del grafo", J. F. Rivera Romualdo.

ISBN13: 978-1-4303-2431-7. Editorial Lulu

Autor:

José Francisco Rivera Romualdo

Huelva, veintiocho de Septiembre de 2008