MUESTREO Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies- paciados. A partir de estos valores existen ? señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente). MUESTREO IDEAL (Gp:) s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo) (Gp:) -2Ts (Gp:) -Ts (Gp:) 0 (Gp:) Ts (Gp:) 2Ts (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) 1.5 (Gp:) tiempo (Gp:) p(t)
(Gp:) xs(t) = x(t) · s(t) ?
(Gp:) ?s = 2?/Ts = 2?fs ?
(Gp:) La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ? (Gp:) x(t)
(Gp:) xs(t) (Gp:) s(t)
(Gp:) X(?) (Gp:) S(?) (Gp:) Xs(?)
(Gp:) Xs(?)
MUESTREO Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies- paciados. A partir de estos valores existen ? señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente). si ?s < 2?m existe solapamiento (ALIASING). Si ?s ?? 2?m se puede recuperar X(?) con un LPF ideal de ganancia Ts MUESTREO IDEAL (Gp:) s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo) (Gp:) -2Ts (Gp:) -Ts (Gp:) 0 (Gp:) Ts (Gp:) 2Ts (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) 1.5 (Gp:) tiempo (Gp:) p(t)
(Gp:) xs(t) = x(t) · s(t) ?
(Gp:) ?s = 2?/Ts = 2?fs ?
(Gp:) fs = frecuencia de Nyquist
(Gp:) La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ? (Gp:) x(t)
(Gp:) xs(t) (Gp:) s(t)
(Gp:) X(?) (Gp:) S(?) (Gp:) Xs(?)
(Gp:) Xs(?)
MUESTREO Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies- paciados. A partir de estos valores existen ? señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente). si ?s < 2?m existe solapamiento (ALIASING). Si ?s ?? 2?m se puede recuperar X(?) con un LPF ideal de ganancia Ts MUESTREO IDEAL Teorema de Nyquist: si una señal de banda limitada es muestreada a una frecuencia de por lo menos el doble de su máxima componente, ENTONCES es posible recuperarla unívocamente (a partir de sus puntos muestra) con un filtro pasabajos ideal. (Gp:) s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo) (Gp:) -2Ts (Gp:) -Ts (Gp:) 0 (Gp:) Ts (Gp:) 2Ts (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) 1.5 (Gp:) tiempo (Gp:) p(t)
(Gp:) xs(t) = x(t) · s(t) ?
(Gp:) ?s = 2?/Ts = 2?fs ?
(Gp:) fs = frecuencia de Nyquist
(Gp:) La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ? (Gp:) x(t)
(Gp:) xs(t) (Gp:) s(t)
MUESTREO PRACTICO Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold ? S&H) ? Retenedor Orden Cero P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores ? efecto de apertura. Si el efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/t >> W no es necesario). La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas. Los mensajes son limitados en tiempo ? no pueden ser limitados en banda. Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición). (Gp:) x[t] (Gp:) ROC (Gp:) xp[t]
(Gp:) x(t)
(Gp:) xs(t) (Gp:) s(t)
(Gp:) xp(t) (Gp:) p(t) (Gp:) Ts t (Gp:) 1
(Gp:) X(?) (Gp:) Xp(?) (Gp:) Xs(?) (Gp:) P(?)
(Gp:) Para el ROC: (Gp:) p(t) (Gp:) Ts t (Gp:) 1
(Gp:) 1 (Gp:) ? (Gp:) ?s /2 (Gp:) -?s /2 (Gp:) Heq(?)
MUESTREO PRACTICO Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold ? S&H) ? Retenedor Orden Cero Filtros de reconstrucción reales: se recurre al empleo de bandas de seguridad ? incrementar ?s P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores ? efecto de apertura. Si el efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/t >> W no es necesario). La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas. Los mensajes son limitados en tiempo ? no pueden ser limitados en banda. Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición). Señal NO limitada en banda: se debe asegurar que la señal no tenga componentes superiores a ?s/2 ? se aplica un filtro pasabajos en la entrada ? Filtro anti-aliasing (es el peor inconveniente porque modifica la información). (Gp:) x[t] (Gp:) ROC (Gp:) xp[t]
(Gp:) x(t)
(Gp:) xs(t) (Gp:) s(t)
(Gp:) xp(t) (Gp:) p(t) (Gp:) Ts t (Gp:) 1
Submuestreo Sea la señal x(t) = cos(?0t)
muestreada a ?S constante
(?S < 2?0). Se analiza que
sucede a medida que ?0?
(Gp:) Para ?0 > ?S/2 se produce el
traslape y la frecuencia original
original asume la identidad de
una frecuencia inferior (?S – ?0).
(Gp:) Para ?S/2 < ?0 < ?S , a medida
que ?0? la frecuencia de salida
(?S-?0)? ? efecto estroboscópico
(uso: osciloscopio de muestreo,
voltímetro vectorial).
INTERPOLACION Interpolación ? reconstrucción (aproximada ó exacta) de una función a partir de sus muestras. (Gp:) 600 (Gp:) 700 (Gp:) 800 (Gp:) 900 (Gp:) 1000 (Gp:) 1100 (Gp:) 1200 (Gp:) 1300 (Gp:) 1400 (Gp:) -1 (Gp:) -0.5 (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) Señal muestreada (Gp:) tiempo (Gp:) Amplitud
(Gp:) Retenedor de Orden Cero: retiene el valor de la muestra hasta la próxima. Es el más simple. (Gp:) 600 (Gp:) 700 (Gp:) 800 (Gp:) 900 (Gp:) 1000 (Gp:) 1100 (Gp:) 1200 (Gp:) 1300 (Gp:) 1400 (Gp:) -1 (Gp:) -0.5 (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) Interpolación Orden Cero (Gp:) tiempo (Gp:) Amplitud
(Gp:) 600 (Gp:) 700 (Gp:) 800 (Gp:) 900 (Gp:) 1000 (Gp:) 1100 (Gp:) 1200 (Gp:) 1300 (Gp:) 1400 (Gp:) -1 (Gp:) -0.5 (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) Interpolación Primer Orden (Gp:) tiempo (Gp:) Amplitud (Gp:) Interpolación Lineal: los puntos adyacentes se conectan con una línea recta.
Interpolación de mayor Orden: los puntos se unen mediante polinomios de grado mayor u otras funciones matemáticas. (Gp:) 600 (Gp:) 700 (Gp:) 800 (Gp:) 900 (Gp:) 1000 (Gp:) 1100 (Gp:) 1200 (Gp:) 1300 (Gp:) 1400 (Gp:) -1 (Gp:) -0.5 (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) Interpolación Sinc (Gp:) tiempo (Gp:) Amplitud (Gp:) Interpolación Sinc: cada muestra corresponde al peso de una sinc centrada en el instante de muestreo, y los valores intermedios se otienen sumando las contribuciones de cada una de estas funciones.
INTERPOLACION SINC (Gp:) Xs(?) (Gp:) Xr(?) (Gp:) H(?) (Gp:) Para reconstruir espectralmente la señal se emplea un LPF ideal
? Xr(f) = Xs(f)·H(f) con H(f) = rect [f /( 2fc)] y fc = fs/2
(Gp:) considerando fc = fs/2:
(Gp:) -0.5 (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) tiempo
CALCULO DE LA INTERPOLACION SINC Cantidad de muestras por ciclo de la máxima componente de la señal ? n_muestras Cantidad de valores a intercalar entre dos valores muestra consecutivos ? n_puntos Cantidad de muestras a considerar como “historia” (valores pasados y futuros) de la señal ? n_historia (Gp:) Para la implementación de la expresión deben fijarse parámetros para sustiruir la variable contínua t por su equivalente discreta:
Comparando con los osciloscopios comerciales, se obtienen valores de: n_muestras = 2.5 ~ 4 y n_historia = 10. Para n_puntos se considera que en la pantalla del instrumento siempre deben presentarse 500 puntos para cualquier ajuste de la Base de Tiempo. El TDS320 (fs = 500 Ms/s) tiene una velocidad de barrido máxima de 5 ns/div, por lo que tendría que muestrear a (5 ns/50 muestras) = 0.1 ns/s (10 Gs/s !) ? deben generarse 20 puntos entre muestras reales. En el caso del TDS220 (fs = 1 Gs/s), para 5 ns/div se interpolan 10 nuevos valores entre valores adquiridos. (Gp:) Cada intervalo de muestreo debe dividirse en (n_puntos + 1) intervalos: (Gp:) Ts = (n_puntos+1)·?t (Gp:) x (Gp:) • (Gp:) • (Gp:) • (Gp:) x (Gp:) • (Gp:) ?t (Gp:) Ts
(Gp:) Reemplazando t por k·?t (1 ? k ? n_puntos):
(Gp:) Debe agregarse otro índice para el desplazamiento dentro del registro de valores adquiridos (j) ?
CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO Ejemplo: si ?s = 4 ?max , el máximo diezmado para no tener solapamiento es M = 2 (Gp:) La señal de tiempo contínuo xc(t) puede representarse por una secuencia x[n] = xc[nTs]. Se quiere cambiar fs obteniendo una nueva secuencia x’[n] = xc[nTs’]. El método indirecto sería: (complejo!!) (Gp:) x[n] xc(t) x’[n]
fs fs’ (Gp:) DAC + Filtro Interp. (Gp:) ADC
DIEZMADO por un factor entero: se disminuye la frecuencia de muestreo (“muestreándola” cada M valores).
xd[n] = x[nM] = xc[nMTs] ? compresor de frecuencia de muestreo
? xd[n] es la que se obtendría muestreando xc(t) con período Ts’= M·Ts (Gp:) x[n] xd[n]
Ts Ts’= M·Ts (Gp:) ?M
(Gp:) Recordando el espectro X(?) de la secuencia x[n] (valores muestra):
(Gp:) análogamente puede escribirse el espectro Xd(?) para xd[n] :
para que no exista solapamiento (?s/M) ? ?max ? la frecuencia de Nyquist original debe ser M veces mayor !!
Si se quiere utilizar un M superior habrá que garantizar que la señal no tenga un contenido espectral mayor que ?s/M mediante el empleo de un filtro pasabajos digital . (Gp:) Diezmado con M = 2.
Se verifica que no existe
solapamiento.
(Gp:) x[n]
Ts Ts Ts’= M·T (Gp:) ?M (Gp:) LPF G =1 ?c=?/M (Gp:) Sistema para reducir la frecuencia de muestreo en M
(Gp:) Diezmado con M = 3.
Aparece solapamiento.
(Gp:) Diezmado con M = 3 y
filtrado previo para evitar
el solapamiento.
? La Transformada de Fourier de la salida del expansor es una versión escalada en frecuencia de la T.F. de la entrada. (Gp:) INTERPOLACION por un factor entero: se aumenta la frecuencia de muestreo (insertando L valores entre muestras).
los valores intermedios se generan mediante una función de reconstrucción ? LPF de ganancia L y ?c = ?/L
(Gp:) El análisis en el dominio de la frecuencia se realiza mediante el cálculo de la Transformada de Fourier (TF), definida por: (Gp:) ?
(Gp:) x[n] xe[n] xi[n]
Ts Ts’= Ts/L Ts’= Ts/L (Gp:) ?L (Gp:) LPF G =L ?c=?/L (Gp:) Sistema para incrementar la frecuencia de muestreo en L (Gp:) xi[n] = x[n/L] = xc[nTs/L] ? expansor de frecuencia demuestreo
(Gp:) La fórmula de interpolación para xi[n] en función de x[n] es:
(Gp:) En algunos casos se pueden utilizar funciones más simples, como la lineal:
Interpolación en el dominio de la frecuencia
CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO POR UN FACTOR NO ENTERO Es una combinación de las técnicas de diezmado e interpolación. Funciones utilizadas en Matlab®:
DECIMATE: Resample data at a lower rate after lowpass filtering.
INTERP: Resample data at a higher rate using lowpass interpolation
RESAMPLE: Change the sampling rate of a signal.
(Gp:) ?L (Gp:) LPF G =L ?c=?/L (Gp:) ?M (Gp:) LPF G =1 ?c=?/M (Gp:) xc[n] (Gp:) Interpolador (Gp:) x[n] (Gp:) xi[n] (Gp:) Ts (Gp:) Ts/L (Gp:) TsM/L (Gp:) Ts/L (Gp:) Ts/L (Gp:) Diezmador
(Gp:) Ts (Gp:) LPF G =L ?c=min(?/L, ?/M) (Gp:) ?L (Gp:) ?M (Gp:) x[n] (Gp:) TsM/L