1. Introducción. La realización de cualquier movimiento implica dos tareas: Planificación de la Trayectoria. Control del Movimiento.
1. Introducción. ¿En que consiste? Obtención de las funciones temporales 0TN(t) que nos llevan desde una localización inicial (Tini) hasta otra final (Tfin). O, alternativamente: q(t)=(q1(t), q2(t), …, qN(t)). Tipos de trayectorias: Trayectorias punto a punto: Evolución independiente de cada articulación. Sólo útiles en tareas a manipulador parado. Trayectorias continuas: 0TN(t) es conocida. Trayectorias suaves. Útiles en tareas con el brazo en movimiento.
1. Introducción. Tipos de Trayectorias Continuas: (Gp:) Trayectorias interpoladas (Gp:) Trayectorias Cartesianas Algoritmos más sencillos. Fácil control. Riesgo de choques con obstáculos. Control directo del movimiento en el espacio cartesiano. Ortogonalidad (separación rotación/translación) Mayor dificultad de implementación y control.
2. Trayectorias Interpoladas. Trayectorias interpoladas con funciones polinómicas. Trayectoria polinómica desde una posición inicial a otra final. Condiciones para trayectoriasuave: Continuidad en la velocidad. Grado del polinomio ?(t) menor posible.
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Condiciones a satisfacer: 4 ! polinomio de grado 3. Aplicando las (4) condiciones de contorno:
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Ejemplo: ?0 = 15º, ?f = 75º, tf = 3 seg.
Es conveniente dar puntos intermedios (¿Por qué?). Podemos emplear un polinómio cúbico para cada segmento y replicar el método. Discusión del caso anterior: ?0 = 15º, ?1 = 75º, ?f = 135º, t01 = 3 seg, t1f = 3 seg. 2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas.
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Trayectorias con varios segmentos: Recorrido por secuencia varias posiciones intermedias. Cada segmento emplea un polinómio cúbico. Se garantiza continuidad en la posición y velocidad. Ventajas e inconvenientes.
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Inconvenientes: No se asegura la continuidad en la aceleración. Problema mayor: fijar las velocidades intermedias. Solución: intercambio de las restricciones anteriores. No se indica velocidad en los puntos intermedios. A cambio se asegura la continuidad en la aceleración.
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Caso sencillo con dos segmentos [?0, ?v, ?g]: Nótese los intervalos de tiempo. Condiciones impuestas: Recorrer los puntos inicial, final e intermedio:
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Velocidades (nulas en este caso) en los extremos: Continuidad en la posición, velocidad y aceleración en el punto intermedio: Nótese que no exigimos un valor concreto en la velocidad, pero sí continuidad en la aceleración. (Gp:) !? Segmento 1 Segmento 2
2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Solución (tf1 = tf2 = tf): Avances: Ajuste de tiempo favorable para resolver ecuaciones. Introducir continuidad en aceleración para no definir velocidades intermedias.
2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4 Operación frecuente: Traslado de objetos desde una superficie a otra. Solución sencilla: una trayectoria con cuatro puntos como la de la figura. Objetivo: evitar colisiones (¿por qué?). Cómo: introducción de dos puntos intermedios.
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Se escogen puntos intermedios en unas posiciones de despegue y asentamiento normales a las superficies de origen y destino, respectivamente. Relación tiempos ! velocidad.
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de contorno para un movimiento suave: Inicio: posición, velocidad (nula) y aceleración (nula) determinadas. Fin: posición, velocidad (nula) y aceleración (nula) determinadas. Intermedios: paso por posiciones de despegue y asentamiento con continuidad en posición, velocidad y aceleración. ¿Grado del polinomio? (Gp:) 8 condiciones ) 8 parámetros ) orden 7: ¿Bondad del polinómio?
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Es preferible dividir el movimiento en 3 segmentos con polinomios de grado inferior. Soluciones: trayectorias 4-3-4 y trayectorias 3-5-3. Variables: ?: tiempo real en segundos. ?i: tiempo real al final de la trayectoria i-ésima. ti =(?i-?i-1): tiempo real requerido para el segmento i-ésimo. t: tiempo normalizado en el intervalo [0,1]:
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Polinomios empleados: Ventajas/Inconvenientes del tiempo normalizado: 4 3 4
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de contorno: Punto inicial: Punto despegue:
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Punto asentamiento: Punto final: 14 ligaduras (ecuaciones) para 14 parámetros
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Primer segmento de la trayectoria: ? = ?0, t = 0 (inicio primer segmento).
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. ?=?1, t =1 (final primer segmento). Ahora no ofrecen soluciones, más adelante recurriremos a ellas.
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Segundo segmento de la trayectoria: ? = ?1, t = 0 (inicio segundo segmento).
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de continuidad con el tramo anterior: ?=?2, t =1 (final segundo segmento).
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Tercer (último) segmento de la trayectoria: Nuevo cambio de variable para facilitar la resolución. Las derivadas no quedan afectadas (suma de constante). Nótese que el polinomio esta basado en la nueva variable y no en t (aunque podemos obtener fácilmente el correspondiente en t).
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. ?=?f, t =1, (final tercer segmento). ?=?2, t =0, (inicio tercer segmento).
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de continuidad con el tramo anterior: Gracias a los cambios de variable hemos obtenido de forma directa 7 de los 14 parámetros. Para el resto …
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Se calculan los cambios de las variables de articulación entre segmentos contiguos: Las condiciones (1) a (7) se pueden expresar en forma matricial: (Gp:) y (Gp:) C (Gp:) x (Gp:) = (Gp:) .
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Solución: x = C-1y
2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Los coeficientes (a10,a11,a12,a20,an0,an1,an2) se obtienen de forma directa. Importante: recordar el último cambio de variable. Si utilizamos:Deberemos recorrer el tiempo de -1 a 0. Si queremos homogeneizar el tiempo (siempre de 0 a 1) hay que deshacer el cambio de variable:
2. Trayectorias Interpoladas. Trayectorias interpoladas con funciones lineales. Opción alternativa al uso de polinomios. Fundamento sencillo: conectar los puntos mediante rectas y solucionar los problemas derivados. Problema: discontinuidad en los extremos.
2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales. Solución: suavizado parabólico con una determinada aceleración. Secuencia de movimientos: Uniforme acelerado. Uniforme. Uniforme decelerado. ¿Durante cuanto tiempoaceleramos/deceleramos? tb
2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales. Suponemos una cierta aceleración (Ã ventajas prácticas). Implicaciones del discriminante positivo.
Generalización a varios segmentos: Definición de secuencia de puntos (?1, ?2, …, ?f). Definición de los instantes de tiempo (t1, t2, …, tf). En los puntos intermedios se realiza una aceleración de suavizado . 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales. ?i: ángulo punto i-ésimo. ti: tiempo punto i-ésimo. tsi: duración del suavizado. tli-1,i: duración zona lineal. tdi-1,i: duración segmento.
Parámetros que definen el movimiento (Ã síntesis posterior): Segmentos intermedios: 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
Segmento inicial: 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
Segmento final: 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
3. Trayectorias Cartesianas. Descripción de las posiciones del manipulador. T G (Gp:) C(t) P (Gp:) Z (Gp:) M (Gp:) W(t) 0TN ! T: Trans. Hom. brazo robot. NGherr ! G: coordenadas herramienta (desde el EF). absZbase ! Z: coordenadas base del robot (desde el SdR global). absW(t)obj ! W(t) : coordenadas del objeto (desde el SdR global). Caso General: Consideramos que puede estar en movimiento (depende de t). objPherr ! P: coordenadas de la herramienta (desde el SdR del objeto). Para simplificar el cálculo posterior: C(t)=Z-1W(t)
3. Trayectorias Cartesianas. T1 G1 (Gp:) C1(t) P1 La posición del manipulador se puede expresar como: TG=C(t)P Aplicando PCI podremos resolver: T=C(t)PG-1 Para realizar una tarea habrá que desplazar la herramienta entre varios puntos consecutivos (1,2,3,…,f): T1G1=C1(t)P1 T2G2=C2(t)P2 … TfGf=Cf(t)Pf T2 G2 P2 C2(t)
3. Trayectorias Cartesianas. Entre dos puntos consecutivos cualquiera: Entonces podríamos obtener: Vamos a suponer un par de transformaciones, Pi,i y Pi,i+1, tal que fuera posible: Es decir, el movimiento entre los dos puntos (i,i+1) consistiría simplemente en la transformación de Pi,i+1 en Pi+1,i+1.
3. Trayectorias Cartesianas. G1 (Gp:) C1(t) P1 Obviamente Pi,i=Pi, pero ¿Pi,i+1? Despejamos Pi,i+1 de la segunda ecuación: Despejando T de la primera ecuación y sustituyendo en la anterior: Así, Pi,i+1 puede ser precalculado. T2 G2 P2 T1 C2(t) G2 P1,2
3. Trayectorias Cartesianas. Podemos definir una transformación D(t) (transformación de impulsión) que convierte la matriz Pi,i+1 en la matriz Pi+1,i+1 conforme avanza el tiempo. Se realiza en tiempo normalizado t (0 · t · 1). Verifica las siguientes condiciones de contorno: De donde podemos despejar D(1):
3. Trayectorias Cartesianas. La transformación D(t) consiste en un movimiento translacional (para alcanzar la posición final) y dos rotacionales (orientación). La translación lleva el vector pi hasta pi+1. La primera rotación lleva ai hasta ai+1 (!). La segunda rotación (sobre a) lleva oi hasta oi+1 (y por tanto ni a ni+1).