Matrices y Determinantes en forma manual y con Excel

Matrices

Se llama matriz de orden mxn, sobre un cuerpo de los números reales a una "caja", "cuadro", etc. que contiene mxn números reales dispuestos en m filas y n columnas.

Las matrices se denotan usualmente por letras mayúsculas, A, B, C,……., y los elementos de las mismas por letras minúsculas, a, b, c,…..

Operaciones con matrices

SUMA Y RESTA

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo orden, es decir, deben tener el mismo número de filas y de columnas. Para sumar o restar se suman o restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplos ilustrativos

Solución:

Los cálculos en Excel se muestran a continuación:

a) Escribir las matrices A y B. Seleccionar las casillas en donde se calculará la respuesta, que para este ejemplo es E4:F5

b) Digitar el =, seleccionar las celdas de la matriz A (B1:D2), digitar el +, y seleccionar las celdas de la matriz B (G1:I2), es decir, digite la fórmula =B1:D2+G1:I2

c) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo

d) Los demás cálculos se muestran en la siguiente figura:

Multiplicación de un escalar por una matriz

Ejemplos ilustrativos

Solución:

Los cálculos en Excel se muestran a continuación:

a) Escribir la matriz y el escalar. Seleccionar las casillas donde se calculará la multiplicación

b) Escribir la fórmula B4*B1:C2, que representa la multiplicación de 2 (B4) por la matriz A (B1:C2)

c) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo

d) Los demás cálculos se muestran en la siguiente figura:

Multiplicación entre matrices

Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz deber ser igual al número de filas de la segunda matriz. La matriz resultado del producto quedará con igual número de filas de la primera matriz y con igual número de columnas de la segunda matriz.

Es decir, si se tiene la primera matriz A de orden 2×3 y una segunda matriz B de orden 3×2, si se puede multiplicar ya que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, y la matriz resultante de la multiplicación tendrá orden 2×2.

Propiedades de la multiplicación de matrices:

Ejemplos ilustrativos

Solución:

Los cálculos en Excel se muestran a continuación:

a) Escribir las matrices. Seleccionar las celdas donde se calculará la multiplicación

b) Insertar función. En la ventana de Insertar función, En seleccionar una categoría, escoger Matemáticas y trigonométricas. En Seleccionar una función, escoger MMULT.

c) Clic en Aceptar en la ventana de Insertar función para que aparezca la ventana Argumentos de función. En la ventana Argumentos de función, en la casilla Matriz 1, seleccionar las celdas de la matriz A (B1:D2), y en la casilla Matriz 2, seleccionar las celdas de la matriz B (G1:H3).

d) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

3) Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

Potencia de matrices

La potencia es una multiplicación abreviada

Ejemplo ilustrativo

Solución:

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

Determinantes

Un determinante de orden 3 es igual a la suma algebraica de la multiplicación de los elementos de la diagonal principal menos la suma algebraica de la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria

Propiedades de los determinantes

1) Si se intercambian las filas por las columnas de un determinante su valor no se altera

3) Si se intercambian dos filas o dos columnas continuas en un determinante, el valor de éste cambia de signo

5) Si todos los elementos de una fila o una columna de un determinante se multiplica por un mismo número k, el valor del determinante queda multiplicado por k

6) Si todos los elementos de una fila o una columna son expresados como la suma de dos o más números, el determinante puede expresarse como la suma de dos o más determinantes

7) Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se le multiplica por un número k, y a este resultado se le suma a otra fila o columna, el valor del determinante no se altera. Esta propiedad es utilizada en el método del Pibote para calcular el valor de un determinante

Determinantes y sistemas de ecuaciones

Ejemplo ilustrativo Nº 1

Resolver el siguiente sistema por el método gráfico, método de Cramer y por el método de Cayley

Solución:

1) Método gráfico

Graficando se obtiene:

Para resolver empleando el programa Graph se procede de la siguiente manera:

a) Se abre el programa

b) Se inserta Función

c) En la casilla f(x) se escribe 4 -2x. En intervalo se escoge los valores en la cual se desea que tenga la función en el eje x, que en este caso es -2 hasta el 5. En puntos extremos tanto en Inicio como en Fin se escoge las saetas (flechas). En estilo de línea se escoge la línea continua. En Color se escoge el color deseado, que para este ejemplo es rojo. En Grosor se escoge el grosor de la línea, que para este ejemplo es de grosor 2. Clic en Aceptar

d) Para insertar cuadro de texto, clic en Función y luego en Insertar cuadro de texto, o F8. En el cuadro de texto escribir y = 4-2x

e) Clic en Aceptar en la ventana de cuadro de texto.

f) Repetir los pasos anteriores para la función y = 5-3x

g) Clic en Editar y luego clic en Ejes, o Ctrl+A, para que aparezca la ventana Editar ejes

h) En la Ventana Editar Ejes, clic en Configuración para agregar título. En título escribir el nombre que se desea que aparezca como título del gráfico, que en este caso es Sistema de ecuaciones.

i) Clic en Aceptar en la ventana Editar Ejes, y aparece el título del gráfico

j) Clic en Calcular, y luego en Evaluar para determinar el punto de intersección entre las dos funciones.

k) Seleccionar una función. En la parte inferior izquierda aparece una ventana, en esta ventana en Ver en, seleccionar intersección. Clic en cualquier parte del gráfico, y aparece dos líneas que señalan el punto de intersección, que en este ejemplo es (1,2)

l) Para escribir el punto de intersección, clic en función y luego en Insertar serie de puntos.

m) En la ventana Insertar serie de puntos escribir 1 en X y 2 en Y. Escoger el Estilo, Color y Tamaño del Marcador, que en este ejemplo es un círculo color negro de tamaño 3. En Rótulos seleccionar ver coordenadas y escoger la posición Derecha o cualquier otra.

n) Clic en Aceptar

El gráfico en Excel se procede de la siguiente manera:

a) Se realiza los cálculos respectivos. Luego clic en Insertar, escoger Gráfico de Dispersión.

b) En gráfico de Dispersión, escoger Dispersión con líneas rectas y marcadores.

c) Realizar todas las mejores respectivas

2) Método de Gabriel Cramer

Este método consiste en resolver sistemas de ecuaciones aplicando los determinantes, este método fue desarrollado por el matemático Suizo Gabriel Cramer (1704-1752).

Los cálculos en Excel se proceden de la siguiente manera:

a) Insertar función. En esta ventana, en Seleccionar una categoría, escoger Matemáticas y trigonométricas. Seleccionar MDETERM.

b) Clic en Aceptar en la ventana anterior y aparece la ventana Argumentos de función

c) En la ventana Argumentos de función, en Matriz, seleccionar las celdas del determinante que en este ejemplo es B6:C7

d) Clic en Aceptar, y queda calculado el determinate

e) Repetir los pasos anteriores para terminar de resolver el sistema

3) Método de Arthur Cayley

Este método consiste en resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando la matriz inversa, este método fue desarrollado por el matemático Inglés Arthur Cayley (1821-1895).

La solución del sistema se obtiene aplicando

Para calcular la matriz inversa, uno de los métodos es empleando la siguiente fórmula:

Se anula la fila y columna del 2 (sobra el 1). El número que sobra se escribe en el lugar del 2.

Se anula la fila y columna del 1 (sobra el 3), El número que sobra se escribe en el lugar del 1.

Se anula la fila y columna del 3 (sobra el 1), El número que sobra se escribe en el lugar del 3.

Se anula la fila y columna del 1 (sobra el 2), El número que sobra se escribe en el lugar del 1.

Se obtiene la matriz de los cofactores:

Luego se calcula la Matriz Adjunta de la matriz A, la cual es la matriz traspuesta de la matriz de los cofactores, es decir, la primera fila de la matriz de los cofactores se transforma en la primera columna de la matriz inversa, y la segunda fila de la matriz de los cofactores se transforma en segunda columna de la matriz adjunta. Obteniéndose:

Nota: Comparando la matriz adjunta con la matriz A se observa que los elementos de la diagonal principal de la matriz A se intercambian con respecto a los elementos de la diagonal principal de la matriz adjunta, y los elementos de la diagonal secundaria conservan en el mismo puesto pero cambian de signo en la matriz adjunta.

Para calcular la matriz inversa en Excel se procede de la siguiente manera:

a) Se selecciona las celdas donde se calculará la respuesta

b) Se inserta función. En la ventana Insertar función en seleccionar una categoría se selecciona Matemáticas y trigonométricas. En Matemáticas y trigonométricas se escoge MINVERSA. Clic en Aceptar

c) En la ventana Argumentos de función, en Matriz, seleccionar las celdas de la matriz A, que en este ejemplo es C4:D5

d) Presionar al mismo tiempo CTRL+SHIFT+ENTER

Los demás cálculos en Excel para resolver el sistema por el método de Arthur Cayley se muestran en la siguiente figura:

Ejemplo ilustrativo Nº 2

1) Método de Gabriel Cramer

Recuerde que para resolver un determinante de orden 3 se puede emplear los siguientes métodos de resolución:

a) Método de Sarrus

b) Método del triángulo

c) Método de Por Menores. Se emplea cualquier fila o columna de la matriz de los signos. En este ejemplo se empleó la primera fila. Se realiza la respectiva ley de los signos con la primera fila del determinante de la matriz A

d) Método del Pibote

Multiplicando la segunda fila por -2 y sumando el resultado a la tercera fila.

El sistema resuelto mediante el método de Gabriel Cramer empleando Excel se muestra en la siguiente figura:

2) Método de Arthur Cayley

Para calcular la matriz inversa, uno de los métodos es empleando la siguiente fórmula:

Calculando la Matriz de los cofactores MC dada la matriz A, se anula la fila y columna del 4, luego la fila y columna del -1, y así con los demás elementos de la matriz A.

Calculada la matriz de los cofactores se procede a calcular la matriz adjunta de la matriz A, la cual es la matriz traspuesta de la matriz de los cofactores, siendo la siguiente:

Resolviendo el sistema con el método de Arthur Cayley se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

Los cálculos en Excel empleando el método de Arthur Cayley para resolver el sistema se muestran en la siguiente figura:

Ejemplo ilustrativo Nº 3

1) Método de Gabriel Cramer

Los cálculos hechos en Excel se muestran en la siguiente figura:

2) Método de Arthur Cayley

Los cálculos hechos en Excel se muestran en la siguiente figura:

Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes