Demostración de la conjetura de los primos gemelos

Demostración de la Conjetura de los Primos Gemelos Autor: Ramón Ruiz Barcelona, España Email: [email protected] Enero 2015 Resumen.

Enunciado de la Conjetura de los Primos Gemelos: “Existe un número infinito de primos p tales que (p + 2) también es primo”.

Inicialmente, para demostrar esta conjetura se pueden formar dos sucesiones (A y B) con todos los números naturales menores que un número , con posibilidades de ser primos, y siendo cada término de la sucesión B igual a su pareja de la sucesión A más 2. El estudio del modo como se emparejan, en general, todos los términos no primos de la sucesión A con términos de la sucesión B, o viceversa, y observando que siempre se forman algunas parejas de primos nos permite desarrollar una fórmula, no probabilística, para calcular de un modo aproximado el número de pares de primos, p y (p + 2), que sean menores que . El resultado de esta fórmula tiende a infinito cuando tiende a infinito lo que permite afirmar que la Conjetura de los Primos Gemelos es verdadera. En este trabajo se ha usado, aparte de algunos axiomas, el teorema de los números primos enunciado por Carl Friedrich Gauss y el teorema de los números primos para progresiones aritméticas.

1. Números primos y números compuestos.

Se denomina primo a todo número natural, mayor que 1, que solo tiene dos divisores, el 1 y el propio número. Ejemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Tal como demostró el matemático griego Euclides, existen infinitos números primos aunque son más escasos a medida que avanzamos en la recta numérica. Exceptuando el 2 y el 3, todos los números primos son de la forma (6n + 1) o (6n – 1) siendo n número natural. Podemos diferenciar a los primos 2, 3 y 5 del resto. El 2 es el primer primo y el único que es par, el 3 es el único de la forma (6n – 3) y el 5 es el único acabado en 5. Todos los otros primos son impares y su cifra final será 1, 3, 7 o 9.

En contraposición a los números primos, se denomina compuesto a todo número natural que tiene más de dos divisores. Ejemplos de números compuestos: 4 (divisores 1, 2, 4), 6 (1, 2, 3, 6), 15 (1, 3, 5, 15), 24 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24).

Excepto el 1 todo número natural es primo o compuesto. Por convenio el número 1 no se considera ni primo ni compuesto ya que solo tiene un divisor.

Podemos clasificar el conjunto de los números primos (excepto 2, 3 y 5) en 8 grupos dependiendo de la situación de cada uno de ellos respecto a múltiplos de 30, (30 = 2·3·5). Siendo n = 0, 1, 2, 3, 4,…, 8. 30n + 7 30n + 11 30n + 13 30n + 17 30n + 19 30n + 23 30n + 29 30n + 31 Estas expresiones representan las progresiones aritméticas de módulo 30, (30n + b), tales que mcd(30, b) = 1 y correspondiendo los 8 términos b a los 8 primeros números primos mayores que 5. El siguiente primo, el 37, ya es el segundo del grupo (30n + 7). Estos 8 grupos contienen todos los números primos (excepto 2, 3 y 5). También incluyen todos los números compuestos que sean múltiplos de primos mayores que 5. Al ser 30 y b primos entre sí no pueden contener múltiplos de 2 ni de 3 ni de 5. Lógicamente, a medida que aumenta n disminuye la proporción de primos y aumenta la de compuestos que hay en cada grupo.

Enunciado del teorema de Dirichlet [1]: “Una progresión aritmética (an + b) tal que mcd(a, b) = 1 contiene infinitos números primos”. Aplicando este teorema a los 8 grupos descritos podemos afirmar que cada uno de ellos contiene infinitos números primos.

También se puede aplicar el teorema de los números primos para progresiones aritméticas [2]: “Para todo módulo a, los números primos tienden a distribuirse equitativamente entre las diferentes progresiones (an + b) tales que mcd(a, b) = 1”. Para verificar la precisión de este teorema y mediante un autómata programable (PLC), como los usados para el control automático de máquinas, he obtenido los siguientes datos: Hay 50.847.531 primos menores que 109, (2, 3 y 5 no incluidos), distribuidos del siguiente modo: Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo (30n + 7) (30n + 11) (30n + 13) (30n + 17) (30n + 19) (30n + 23) (30n + 29) (30n + 31) 6.356.475 6.356.197 6.356.062 6.355.839 6.354.987 6.356.436 6.356.346 6.355.189 primos primos primos primos primos primos primos primos 12,50104946 % 12,50050273 % 12,50023723 % 12,49979866 % 12,49812307 % 12,50097276 % 12,50079576 % 12,49852033 % 50.847.531 / 6.356.475 = 7,999328401 50.847.531 / 6.356.197 = 7,999678267 50.847.531 / 6.356.062 = 7,999848176 50.847.531 / 6.355.839 = 8,000128858 50.847.531 / 6.354.987 = 8,001201419 50.847.531 / 6.356.436 = 7,999377481 50.847.531 / 6.356.346 = 7,999490745 50.847.531 / 6.355.189 = 8,0009471 Podemos comprobar que la desviación máxima para 109, (entre 6.354.987 y el valor medio 6.355.941), es menor que 0,01502 %. Deduzco que, en cumplimiento de este teorema, la desviación máxima tiende a 0 % a medida que analizamos números más grandes. 1

A B si si 2. Definición de números primos gemelos.

Los primos 2 y 3 son números naturales consecutivos por lo que están a la menor distancia posible. Como el resto de primos son impares la distancia mínima es 2 ya que siempre hay un número par entre dos impares consecutivos. Ejemplos: (5, 7), (11, 13). Se denominan Primos Gemelos a las parejas de primos que están separados solo por un número par. La conjetura enunciada al principio propone que su número es infinito. Dado que es una conjetura, aún no ha sido demostrada. En el presente trabajo, y partiendo de un planteamiento diferente al usado en la investigación matemática, se expone una prueba para resolverla. Las primeras parejas de primos gemelos son (3, 5) y (5, 7). Contienen el 3 y el 5 que no aparecen en los 8 grupos de primos descritos. Estos mismos primos (3, 5, 7) forman el único caso posible de primos trillizos. No pueden aparecer más trillizos porque no se pueden conseguir otros tres impares consecutivos que sean todos primos ya que uno de ellos será un número compuesto múltiplo de 3.

3. Combinaciones de grupos de primos que generan primos gemelos.

Escribamos las 3 combinaciones de grupos de primos con las cuales se formarán todas las parejas de primos gemelos mayores que 7. (30n1 + 11) y (30n1 + 13) (30n2 + 17) y (30n2 + 19) (30n3 + 29) y (30n3 + 31) 4. Ejemplo.

Se puede aplicar lo descrito al número 780 con la combinación (30n1 + 11) y (30n1 + 13) sirviendo como ejemplo para cualquiera de las 3 combinaciones expuestas y para cualquier número aunque sea muy grande. Usaré la lista de los primos menores que 1.000.

Escribiremos la sucesión A de todos los números (30n1 + 11) desde 0 a 780. Resaltamos en negrita los números primos. También escribiremos la sucesión B de todos los números (30n1 + 13) desde 0 a 780.

11-41-71-101-131-161-191-221-251-281-311-341-371-401-431-461-491-521-551-581-611-641-671-701-731-761 13-43-73-103-133-163-193-223-253-283-313-343-373-403-433-463-493-523-553-583-613-643-673-703-733-763

En las dos sucesiones anteriores están subrayadas las 11 parejas de primos gemelos (acabados en 1 y 3) que son menores que 780. El estudio de las sucesiones A y B, individual y en conjunto, es la base de esta demostración.

Para calcular el número de términos de cada una de las sucesiones A o B recordemos que son progresiones aritméticas de módulo 30.

Número de términos de cada sucesión A o B para . Obviamente, es igual al número de parejas que se forman. (26 términos en cada sucesión y 26 parejas que se forman para = 780). Analizando, con carácter general, la fórmula anterior y para la combinación (30n1 + 11) y (30n1 + 13), tenemos: Número de términos y de parejas = resultado fórmula Número de términos y de parejas = parte entera resultado Número de términos y de parejas = (parte entera resultado) + 1

Para la combinación (30n2 + 17) y (30n2 + 19): Número de términos y de parejas = resultado fórmula Número de términos y de parejas = parte entera resultado Número de términos y de parejas = (parte entera resultado) + 1

Y para la combinación (30n3 + 29) y (30n3 + 31): Número de términos y de parejas = (resultado fórmula) – 1 Número de términos y de parejas = parte entera resultado si es múltiplo de 30. si la parte decimal es menor que 13/30. si la parte decimal es igual o mayor que 13/30.

si es múltiplo de 30. si la parte decimal es menor que 19/30. si la parte decimal es igual o mayor que 19/30.

es múltiplo de 30. no es múltiplo de 30. 5. La conjetura aplicada a números pequeños.

Según hemos visto, los números compuestos presentes en los 8 grupos de primos serán múltiplos solamente de primos mayores que 5 (primos 7, 11, 13, 17, 19, 23,…). Indico a continuación los primeros números compuestos que aparecen en ellos. 49 = 72 77 = 7·11 91 = 7·13 119 = 7·17 121 = 112 133 = 7·19 143 = 11·13 161 = 7·23 169 = 132 Y así sucesivamente formando productos, de dos o más factores, con primos mayores que 5. 2

4.500). A B De lo expuesto deducimos que, para números menores que 49, todos los términos de las sucesiones A-B serán números primos y todas las parejas serán primos gemelos. Escribimos todas las parejas entre términos de las sucesiones A-B menores que 49. (11, 13) (41, 43) (17, 19) (29, 31) Por otro lado, observamos que en las sucesiones A-B del número 780, que se ha usado como ejemplo, predominan los números primos (17 primos y 9 compuestos en cada sucesión). Este hecho se manifiesta para números pequeños (hasta Por lo tanto, para números menores que 4.500 está asegurada la generación de parejas de primos gemelos con las sucesiones A y B ya que, aún en el caso de que todos los números compuestos estén emparejados con números primos, siempre sobrarán, en las dos sucesiones, algunos primos que formarán parejas entre ellos. Aplicando este razonamiento al número 780 tendríamos: 17 – 9 = 8 parejas de primos gemelos como mínimo (acabados en 1 y 3) (en el capítulo anterior hemos visto que son 11 parejas).

6. Aplicando el razonamiento lógico a la conjetura.

Las sucesiones A y B están formadas por términos que pueden ser números compuestos o números primos que forman parejas entre ellos. Para diferenciar, definiré como compuesto libre aquel que no está emparejado con otro compuesto por lo que su pareja será un número primo de la otra sucesión. Por lo tanto, las parejas entre los términos de las sucesiones A-B estarán formadas por: (Número compuesto sucesión A) + (Número compuesto sucesión B) (Número compuesto libre de A o de B) + (Número primo de B o de A) (Número primo sucesión A) + (Número primo sucesión B) (parejas CC) (parejas CP-PC) (parejas PP) Sustituyamos los números primos por P y los compuestos por C en las sucesiones A-B del número 780 usado como ejemplo. P P P P P C P C P P P C C P P P P P P P P P C P P P C P P C P C P P C P C C C P C P C P C C P P P C P C El número de parejas primo-primo gemelos (PG) que se formen dependerá del número de compuestos (libres) de una sucesión que estén emparejados con primos de la otra. Con carácter general, se cumplirá el siguiente axioma:

PG = (Nº de primos sucesión A) – (Nº de compuestos libres suces. B) = (Nº de primos suces. B) – (Nº de compuestos libres suces. A) Para el número 780: PG = 17 – 6 = 17 – 6 = 11 parejas de primos gemelos en las sucesiones A-B. Considero que este axioma es perfectamente válido aunque sea muy simple y “evidente”. Se usará más adelante en la demostración.

Teniendo en cuenta el axioma anterior, deduzco que siempre se deben formar las suficientes parejas de números compuestos entre las dos sucesiones para que los compuestos de la sucesión A que queden libres no superen en número a los primos de la sucesión B. Inversamente, los compuestos de la sucesión B que queden libres no deben superar en número a los primos de la sucesión A. Esto es especialmente importante para sucesiones A-B de números muy grandes en las que la proporción de números primos es mucho menor que la de compuestos. Esta cuestión se verá con más detalle cuando se aplique el álgebra a las sucesiones A-B.

Con lo descrito anteriormente se puede idear un razonamiento lógico que permita deducir que la conjetura de los Primos Gemelos es verdadera. Tal como he indicado, la generación de parejas de primos gemelos está asegurada para números pequeños (menores que 4.500) ya que en las sucesiones A-B correspondientes predominan los números primos. Por lo tanto, en estas sucesiones encontraremos parejas PP (por haber mayoría de primos) y, si hay números compuestos, parejas CC y parejas CP-PC. Si verificamos números cada vez más grandes notamos que ya predominan los números compuestos y disminuye la proporción de primos. Supongamos que a partir de un número suficientemente grande no aparecerán más primos gemelos. En este supuesto entiendo que, al aumentar , cada primo nuevo que aparezca en la sucesión A se emparejaría con un compuesto nuevo de la sucesión B. Inversamente, cada primo nuevo que aparezca en la sucesión B se emparejaría con un compuesto nuevo de la sucesión A. Recordemos que, a medida que aumenta , irán apareciendo infinitos primos en cada una de las sucesiones A y B.

Si la conjetura fuera falsa, estas parejas con un término primo (primo-compuesto y compuesto-primo) irían apareciendo, y sin que se formara ninguna pareja primo-primo, en las tres combinaciones de grupos de primos que generan primos gemelos desde el número suficientemente grande que hemos supuesto hasta el infinito, lo cual es difícilmente aceptable. Aunque este razonamiento no sirva como demostración, me permite deducir que la conjetura de los Primos Gemelos es verdadera. Más adelante reforzaré esta deducción mediante el desarrollo de una fórmula para calcular el número aproximado de pares de primos gemelos menores que .

3

. A B A B y 780. (11, 13) y . menores que 7. Estudiando cómo son las parejas entre los términos de las sucesiones A-B.

Analizaré cómo se forman las parejas compuesto-compuesto con las sucesiones A y B. Cuanto mayor es la proporción de parejas CC quedan menos compuestos libres que necesiten un primo como pareja y, por lo tanto, habrá más números primos para emparejarse.

El secreto de la Conjetura de los Primos Gemelos está en el número de parejas compuesto-compuesto que se forman con las sucesiones A y B.

Recordemos que en las sucesiones A-B, aparte de primos, hay números compuestos que son múltiplos de primos mayores que 5. Para la siguiente exposición consideremos m número natural, no múltiplo de 2 ni de 3 ni de 5 y j número natural (incluido el 0). Analizando las parejas entre los términos de las sucesiones A-B, y en relación con los números primos (7, 11, 13,…), deducimos que:

Todos los múltiplos de 7 (7m11) de la sucesión A están emparejados con todos los términos (7m11 + 2) de la sucesión B. Todos los múltiplos de 11 (11m12) de la sucesión A están emparejados con todos los términos (11m12 + 2) de la sucesión B. Todos los múltiplos de 13 (13m13) de la sucesión A están emparejados con todos los términos (13m13 + 2) de la sucesión B.

Y así sucesivamente, desde el primo 7 hasta el anterior a , ya que son suficientes estos primos para definir a todos los múltiplos de las sucesiones A-B. Para esta cuestión, debemos tener en cuenta que un número primo es múltiplo de sí mismo.

Análogamente, deducimos que:

Todos los términos (7m21 – 2) de la sucesión A están emparejados con todos los múltiplos de 7 (7m21) de la sucesión B. Todos los términos (11m22 – 2) de la sucesión A están emparejados con todos los múltiplos de 11 (11m22) de la sucesión B. Todos los términos (13m23 – 2) de la sucesión A están emparejados con todos los múltiplos de 13 (13m23) de la sucesión B.

Y así sucesivamente hasta el primo anterior a

Resumiendo lo anterior, se puede definir el siguiente axioma: Todos los grupos de múltiplos 7m11, 11m12, 13m13,… (incluidos los primos menores que que estén presentes) de la sucesión A están emparejados, grupo con grupo, con todos los grupos de términos (7m11 + 2), (11m12 + 2), (13m13 + 2),… de la sucesión B. Inversamente, todos los grupos de términos (7m21 – 2), (11m22 – 2), (13m23 – 2),… de la sucesión A están emparejados, grupo con grupo, con todos los grupos de múltiplos 7m21, 11m22, 13m23,… (incluidos los primos menores que que estén presentes) de la B. Apliquemos lo anterior al número 780 sirviendo como ejemplo para cualquier número aunque sea muy grande. = 27,93 En la sucesión A subrayamos todos los múltiplos 7m11, 11m12, 13m13, 17m14, 19m15 y 23m16. Y en la B subrayamos todos los términos (7m11 + 2), (11m12 + 2), (13m13 + 2), (17m14 + 2), (19m15 + 2) y (23m16 + 2).

11-41-71-101-131-161-191-221-251-281-311-341-371-401-431-461-491-521-551-581-611-641-671-701-731-761 13-43-73-103-133-163-193-223-253-283-313-343-373-403-433-463-493-523-553-583-613-643-673-703-733-763

Ahora, en la sucesión A subrayamos todos los términos (7m21 – 2), (11m22 – 2), (13m23 – 2), (17m24 – 2), (19m25 – 2) y (23m26 – 2). Y en la B subrayamos todos los múltiplos 7m21, 11m22, 13m23, 17m24, 19m25 y 23m26.

11-41-71-101-131-161-191-221-251-281-311-341-371-401-431-461-491-521-551-581-611-641-671-701-731-761 13-43-73-103-133-163-193-223-253-283-313-343-373-403-433-463-493-523-553-583-613-643-673-703-733-763

Los términos que no han sido subrayados forman las 10 parejas de primos gemelos (acabados en 1 y 3) que hay entre Añadimos la pareja de primos (11, 13) que han sido subrayados por ser múltiplo de 11 (11m12), el primero, y (11m12 + 2) el segundo.

(41, 43) (71, 73) (101, 103) (191, 193) (281, 283) (311, 313) (431, 433) (461, 463) (521, 523) (641, 643)

Se puede comprobar que todos los múltiplos 7m, 11m, 13m, 17m, 19m, 23m,… de una sucesión A o B se emparejan con múltiplos o primos de la otra formando parejas múltiplo-múltiplo, múltiplo-primo y primo-múltiplo de acuerdo con el axioma que se ha definido. Al final, las parejas primo-primo sobrantes son los pares de primos gemelos, (una de las tres combinaciones), que hay entre

Analizando con detalle el axioma anterior, se puede afirmar que el número de múltiplos (incluye números compuestos más primos que estén presentes) que hay en los términos (7m21 – 2), (11m22 – 2), (13m23 – 2),… de la sucesión A siempre es igual al de los múltiplos que hay en los términos (7m11 + 2), (11m12 + 2), (13m13 + 2),… de la B resultando ser el número de parejas múltiplo-múltiplo que se forman con las dos sucesiones. Considero que esta cuestión es muy importante para esta conjetura. La exposición anterior nos ayuda a entender la relación que hay entre la sucesión A y la sucesión B de cualquier número . Para apoyar numéricamente el axioma expuesto, y usando un autómata programable, he obtenido datos sobre las sucesiones A-B correspondientes a varios números , (106 a 109), y que se pueden consultar a partir de la página 16. 4

( ) 1 ( ) > (a ) ( ) Para – – ) ) ) 8. Demostrando la conjetura.

Usaré como punto de partida la primera parte del axioma del capítulo anterior: Todos los grupos de múltiplos 7m11, 11m12, 13m13,… (incluidos los primos menores que que estén presentes) de la sucesión A están emparejados, grupo con grupo, con todos los grupos de términos (7m11 + 2), (11m12 + 2), (13m13 + 2),… de la sucesión B.

En este axioma, el concepto de múltiplo aplicado a los términos de cada sucesión A o B incluye los números compuestos y los primos menores que que estén presentes. Según esta definición, todos los términos menores que de cada sucesión son múltiplos. Paralelamente, e igualmente en este axioma, el concepto de primo aplicado a los términos de cada sucesión A o B se refiere solamente a los primos mayores que que estén presentes en la sucesión. Por esta cuestión, a partir de este punto, en vez de referirme a números compuestos lo haré a números múltiplos. Según este concepto, las parejas de términos estarán formadas por múltiplo-múltiplo, múltiplo libre-primo, primo-múltiplo libre y parejas primo-primo.

Número de términos de cada sucesión A o B para el número . (Página 2)

Símbolo [3] normalmente usado para expresar el número de primos menores o iguales que . Según el teorema de los números primos [3]: ( ) siendo ln(x) = logaritmo natural de Una mejor aproximación para este teorema viene dada por la integral logarítmica desplazada: ( ) Li( ) Según estas fórmulas, para todo = 5 se cumple . Esta desigualdad se hace mayor a medida que aumenta . Símbolo para expresar el número de primos mayores que

Símbolo para expresar el número de primos mayores que de la sucesión A para .

de la sucesión B para . Para valores grandes de se puede aceptar: (a ) (b ) siendo 8 el número de grupos de primos (página 1). = 109 el error máximo de la aproximación anterior es 0,0215 % para el grupo (30n + 19).

Número de múltiplos de la sucesión A para .

Número de múltiplos de la sucesión B para .

Definiremos como fracción k(a ) de la sucesión A o k(b ) de la sucesión B la relación entre el número de múltiplos y el número total de términos de la sucesión. Como la densidad de los números primos disminuye a medida que avanzamos en la recta numérica, los valores de k(a ) y k(b ) aumentan gradualmente al aumentar y tienden a 1 cuando tiende a infinito. k(a – 1 – Para la sucesión A: k( 1 – Para la sucesión B: k( 1 – La cuestión central de este capítulo es desarrollar una fórmula general para calcular el número de múltiplos que hay en los términos (7m11 + 2), (11m12 + 2), (13m13 + 2),… de la sucesión B y que, cumpliendo el axioma de origen, están emparejados con un número igual de los múltiplos 7m11, 11m12, 13m13,… de la sucesión A. Conocido este dato, se puede calcular el número de múltiplos de la sucesión A que quedan libres (y que están emparejados con primos de la B). Finalmente, los primos restantes de la sucesión B estarán emparejados con primos de la A determinando el número de parejas de primos gemelos que se forman.

Para ello vamos a estudiar los términos (7m + 2), (11m + 2), (13m + 2),… de la sucesión B de modo general. Con un procedimiento análogo se pueden estudiar los términos (7m – 2), (11m – 2), (13m – 2),… de la sucesión A si usáramos la segunda parte del axioma de referencia del capítulo anterior.

Analicemos cómo están distribuidos los números primos entre los términos (7m + 2), (11m + 2), (13m + 2),…. Para ello veamos la relación entre el primo 7 y los 8 grupos de primos sirviendo como ejemplo para cualquier primo mayor que 5. Veamos cómo son los grupos de múltiplos de 7 (7m) y los grupos (7j + a) en general o sea (7j + 1), (7j + 2), (7j + 3), (7j + 4), (7j + 5) y (7j + 6) de la sucesión B. Considerando que es un axioma, deduzco que son progresiones aritméticas de módulo 210, (210 = 7·30). En las siguientes expresiones, las 8 progresiones aritméticas de módulo 210 se corresponden, respectivamente, con los 8 grupos de primos de módulo 30. Resalto en negrita el número primo que identifica a cada uno de estos 8 grupos. Subrayo los grupos de términos que aparecerán en las tres diferentes sucesiones B de esta conjetura. Siendo: n = 0, 1, 2, 3, 4,…, 8. 5

. (210n + 7), (210n + 150 + 11), (210n + 120 + 13), (210n + 60 + 17), (210n + 30 + 19), (210n + 180 + 23), (210n + 90 + 29) y (210n + 60 + 31) son múltiplos de 7 (7m). Estos grupos no contienen números primos salvo el 7 en el grupo (210n + 7) para n = 0.

(210n + 120 + 7), (210n + 60 + 11), (210n + 30 + 13), (210n + 180 + 17), (210n + 150 + 19), (210n + 90 + 23), (210n + 29) y (210n + 180 + 31) son términos (7j + 1). En el grupo (210n + 180 + 31) observamos que 180 + 31 = 211 > 210.

(210n + 30 + 7), (210n + 180 + 11), (210n + 150 + 13), (210n + 90 + 17), (210n + 60 + 19), (210n + 23), (210n + 120 + 29) y (210n + 90 + 31) son términos (7j + 2). Los tres grupos subrayados son términos (7m + 2).

(210n + 150 + 7), (210n + 90 + 11), (210n + 60 + 13), (210n + 17), (210n + 180 + 19), (210n + 120 + 23), (210n + 30 + 29) y (210n + 31) son términos (7j + 3).

(210n + 60 + 7), (210n + 11), (210n + 180 + 13), (210n + 120 + 17), (210n + 90 + 19), (210n + 30 + 23), (210n + 150 + 29) y (210n + 120 + 31) son términos (7j + 4).

(210n + 180 + 7), (210n + 120 + 11), (210n + 90 + 13), (210n + 30 + 17), (210n + 19), (210n + 150 + 23), (210n + 60 + 29) y (210n + 30 + 31) son términos (7j + 5).

(210n + 90 + 7), (210n + 30 + 11), (210n + 13), (210n + 150 + 17), (210n + 120 + 19), (210n + 60 + 23), (210n + 180 + 29) y (210n + 150 + 31) son términos (7j + 6).

Comprobamos que los grupos de múltiplos de 7 (7m) de la sucesión B se corresponden con progresiones aritméticas de módulo 210, (210n + b), tales que mcd(210, b) = 7 siendo b menor que 210, múltiplo de 7 y habiendo 8 términos b, uno de cada grupo de primos.

Igualmente comprobamos que los grupos de términos (7j + 1), (7j + 2), (7j + 3), (7j + 4), (7j + 5) y (7j + 6) de la sucesión B se corresponden con progresiones aritméticas de módulo 210, (210n + b), tales que mcd(210, b) = 1 siendo b menor que 212, no divisible por 7 y habiendo 48 términos b, 6 de cada grupo de primos. En esta conjetura los términos (7j + 2) son (7m + 2).

Finalmente, podemos comprobar que los 56 términos b, (8 + 48), son todos los que hay en los 8 grupos de primos menores que 212.

Aplicando el axioma anterior para todo p (número primo mayor que 5 y menor que ) se puede afirmar que los grupos de múltiplos de p (pm) de la sucesión B se corresponden con progresiones aritméticas de módulo 30p, (30pn + b), tales que mcd(30p, b) = p siendo b menor que 30p, múltiplo de p y habiendo 8 términos b, uno de cada grupo de primos.

Igualmente se puede afirmar que los grupos de términos (pj + 1), (pj + 2), (pj + 3),…, (pj + p – 2) y (pj + p – 1) de la sucesión B se corresponden con progresiones aritméticas de módulo 30p, (30pn + b), tales que mcd(30p, b) = 1 siendo b menor que (30p + 2), no divisible por p y habiendo 8(p – 1) términos b, (p – 1) de cada grupo de primos. En esta conjetura los términos (pj + 2) son (pm + 2).

Finalmente, se puede afirmar que los 8p términos b, (8 + 8(p – 1)), son los que hay en los 8 grupos de primos menores que (30p + 2).

Por otro lado, un axioma que se cumple en las sucesiones A o B es que en cada conjunto de p términos consecutivos hay uno de cada uno de los siguientes grupos: pm, (pj + 1), (pj + 2), (pj + 3),…, (pj + p – 2) y (pj + p – 1) (aunque no necesariamente en este orden). Ejemplo: 13 43 73 103 133 163 193 Términos (30n + 13) (7·1 + 6) (7·6 + 1) (7·10 + 3) (7·14 + 5) 7·19 (7·23 + 2) (7·27 + 4) Términos 7m y (7j + a) Por lo tanto, y según este axioma, será el número de múltiplos de p (pm) y, también, el número de términos de cada uno de los grupos (pj + 1), (pj + 2), (pj + 3),…, (pj + p – 2) y (pj + p – 1) que hay en cada sucesión A o B.

Este mismo axioma permite afirmar que estos grupos contienen todos los términos de las sucesiones A o B del siguiente modo:

1. Grupo pm: contiene todos los múltiplos de p (incluido el primo p si lo hubiera). 2. Grupos (pj + 1), (pj + 2), (pj + 3),…, (pj + p – 1): contienen todos los múltiplos (excepto los de p) y los primos mayores que

Según se ha descrito, los grupos (pj + 1), (pj + 2), (pj + 3),…, (pj + p – 2) y (pj + p – 1) de la sucesión B (e igualmente de la A) son progresiones aritméticas de módulo 30p, (30pn + b), tales que mcd(30p, b) = 1. Aplicando el teorema de los números primos para progresiones aritméticas [2], expuesto en la página 1, a estos grupos se llega a la conclusión de que todos ellos tendrán, aproximadamente, la misma cantidad de primos ( para la sucesión B) y, como todos ellos tienen el mismo número de términos, también tendrán, aproximadamente, la misma cantidad de múltiplos. Del mismo modo, podemos aplicar este teorema a términos que pertenezcan a dos o más grupos. Por ejemplo, los términos que estén, a la vez, en los grupos (7j + a) y (13j + c) se corresponden con progresiones aritméticas de módulo 2730, (2730 = 7·13·30). En este caso, todos los grupos de una sucesión A o B que incluyen estos términos (72 grupos resultado de combinar las 6 a con las 12 c) 6

) ) ) . ) ) ) 3. PG PG ) tendrán, aproximadamente, la misma cantidad de primos y, como todos ellos tienen el mismo número de términos, también tendrán, aproximadamente, la misma cantidad de múltiplos. Según lo descrito, se deduce que de los términos (7m + 2) que hay en la sucesión B, serán números primos. El resto de términos serán múltiplos (de primos mayores que 5 excepto del primo 7). En general, se deduce que de los términos (pm + 2) que hay en la sucesión B, serán números primos. El resto de términos serán múltiplos (de primos mayores que 5 excepto del primo p).

Definiremos como fracción k(7 ) de la sucesión B la relación entre el número de múltiplos que hay en el conjunto de los términos (7m + 2) y el número total de estos. Aplicando lo anterior para todo p (número primo mayor que 5 y menor que ) definiremos como fracción k(p ) de la sucesión B la relación entre el número de múltiplos que hay en el conjunto de los términos (pm + 2) y el número total de estos.

Podemos observar la similitud entre k(b ) y los factores k(7 ), k(11 ), k(13 ), k(17 ),…, k(p ),… por lo que sus fórmulas serán parecidas. Usaré en vez de = por la imprecisión en el número de primos que hay en cada grupo. Usando el mismo procedimiento que para obtener k(b ): k(p ) 1 – 1 – k(p ) 1 – Para el primo 7: k(7 1 – Para el primo 11: k(11 1 – Para el primo 31: k(31 1 – Y así sucesivamente hasta el primo anterior a Si ordenamos estos factores de menor a mayor valor: k(7 ) < k(11 ) < k(13 ) < k(17 ) k(7

> k(11

> k(31

> k(997 si

si

si

si > 1011,4

> 1018

> 1050

> 101620 4·104 primos menores que 105,7

5,08·107 primos menores que 109

1,76·1023 primos menores que 1025

5,36·10806 primos menores que 10810 Analizando estos datos se puede comprobar que, para números menores que 1011,4, k(0 ) es menor que todos los factores k(p ) y, por lo tanto, también será menor que k(j ) lo que permite asegurar que aparecerán parejas de primos gemelos, como mínimo, hasta 105,7. Para valores mayores de , observamos que k(0 ) va superando a los factores k(7 ), k(11 ), k(13 ), k(17 ),…, k(997 ),… Observando con detalle comprobamos que si el valor de p, para el que se aplica la comparación, aumenta en modo progresión geométrica, el valor de a partir del cual k(0 ) supera a k(p ) aumenta en modo exponencial. Debido a esto, también aumenta en modo exponencial (o ligeramente superior) el número de primos menores que Lógicamente, a medida que aumenta el número de primos menores que y cuyos factores k(p ) determinan el valor de k(j ). , disminuye el “peso relativo” de cada factor k(p ) en relación con el valor de k(j ). Por lo tanto, aunque a partir de 1011,4 k(7 ) sea menor que k(0 ), el porcentaje de términos (7m + 2) que no estén también en grupos de primos mayores 7 será cada vez menor y el factor k(7 ) irá perdiendo influencia en el valor de k(j ). Lo mismo se puede aplicar a los factores k(11 ), k(13 ), k(17 ),… que irán perdiendo influencia sobre k(j ) a medida que aumenta . 8

) ) . ) ) ) ) . 1. 2. 3. 4. 5. Por otro lado, tomando como ejemplo el primo 997, comprobamos que cuando k(0 ) supera a k(997 ) ya hay 5,36·10806 primos con cuyos k(p ) (que serán mayores que k(0 )) añadidos a los k(7 ) a k(997 ) (165 factores que serán menores que k(0 )) se determinará el valor de k(j ). Nótese la gran diferencia que hay entre 165 y 5,36·10806.

Estos datos permiten intuir que k(j ) será mayor que k(0 ) para cualquier valor de .

Después de estos datos positivos continuemos el desarrollo de la fórmula que permita calcular el valor aproximado de k(j ). Para ello comparemos k(b ) con k(j ). Recordemos las definiciones referentes a estos dos factores. k(b = Relación entre el número de múltiplos y el número total de términos de la sucesión B. Sucesión B términos (b ) primos – múltiplos k( 1 – Términos sucesión B 1/7 son múltiplos de 7, 1/11 múltiplos de 11, 1/13 múltiplos de 13, 1/17 múltiplos de 17,… Y así sucesivamente hasta el primo anterior a

k(j ) = Relación entre el número de múltiplos que hay en los términos (7m11 + 2), (11m12 + 2), (13m13 + 2), (17m14 + 2),… de la sucesión B y el número total de estos. Su valor está determinado por los valores de los factores k(7 ), k(11 ), k(13 ), k(17 ),…

Tal como se ha descrito al aplicar el teorema de los números primos para progresiones aritméticas, el número real de primos que hay en cada uno de los grupos (7m11 + 2), (11m12 + 2), (13m13 + 2), (17m14 + 2),… será, aproximadamente, igual al valor medio indicado. Grupo (7m + 2) términos primos – ) múltiplos k(7 1 – Términos (7m + 2) No hay múltiplos de 7, 1/11 son múltiplos de 11, 1/13 múltiplos de 13, 1/17 múltiplos de 17,… Grupo (11m + 2) términos primos – ) múltiplos k(11 1 – Términos (11m + 2) 1/7 son múltiplos de 7, no hay múltiplos de 11, 1/13 múltiplos de 13, 1/17 múltiplos de 17,… Grupo (13m + 2) términos primos – ) múltiplos k(13 1 – Términos (13m + 2) 1/7 son múltiplos de 7, 1/11 múltiplos de 11, no hay múltiplos de 13, 1/17 múltiplos de 17,… Grupo (17m + 2) términos primos – ) múltiplos k(17 1 – Términos (17m + 2) 1/7 son múltiplos de 7, 1/11 múltiplos de 11, 1/13 múltiplos de 13, no hay múltiplos de 17,… Y así sucesivamente hasta el primo anterior a

Se puede comprobar que, en cumplimiento del teorema de los números primos para progresiones aritméticas, los grupos (7m11 + 2), (11m12 + 2), (13m13 + 2), (17m14 + 2),… se comportan con cierta regularidad, definida matemáticamente, respecto al número de términos, de primos y de múltiplos que contienen y que se mantiene con independencia del valor de .

Siguiendo con el estudio de estos términos veamos algunos datos, obtenidos mediante un autómata programable, referentes al grupo de primos (30n + 19) (escogido como ejemplo) y a los números 106, 107, 108 y 109. Aunque para este análisis se puede escoger cualquier secuencia de primos, lo haré en orden ascendente (7, 11, 13, 17, 19, 23,…, 307). Son los siguientes datos y están contados del siguiente modo:

Número total de términos (7m + 2), (11m + 2), (13m + 2), (17m + 2),… Número de múltiplos en el grupo (7m + 2): están todos incluidos. Número de múltiplos en el grupo (11m + 2): no están incluidos los que también sean (7m + 2). Número de múltiplos en el grupo (13m + 2): no están incluidos los que también sean (7m + 2) o (11m + 2). Número de múltiplos en el grupo (17m + 2): no están incluidos los que también sean (7m + 2) o (11m + 2) o (13m + 2).

Y así sucesivamente hasta el grupo (307m + 2). Pueden consultarse estos datos a partir de la página 16. Los porcentajes indicados son en relación con el número total de términos (7m + 2), (11m + 2), (13m + 2), (17m + 2),…

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1. 2. 3. 4. ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Siendo: (a ) 106 107 108 109 Nº términos (7m + 2), (11m + 2),… 23.546 250.283 2.613.261 26.977.923 Nº múltiplos (7m + 2) y % 3.110 13,21 % 33.738 13,48 % 356.180 13,63 % 3.702.682 13,72 % Nº múltiplos (11m + 2) y % Nº múltiplos (13m + 2) y % Nº múltiplos (17m + 2) y % 1.796 1.387 1.008 7,63 % 5,89 % 4,28 % 19.062 14.764 10.553 7,62 % 5,90 % 4,22 % 199.690 154.739 110.124 7,64 % 5,92 % 4,21 % 2.067.716 1.600.794 1.137.526 7,66 % 5,93 % 4,21 % Total múltiplos grupos 7 a 307 14.989 63,66 % 156.968 62,72 % 1.642.597 62,86 % 17.013.983 63,07 % Estos nuevos datos nos siguen confirmando que los grupos (7m11 + 2), (11m12 + 2), (13m13 + 2), (17m14 + 2),… se comportan de un modo uniforme ya que el porcentaje de múltiplos que suministra cada uno se mantiene prácticamente constante al aumentar .

La regularidad de estos grupos permite intuir que el valor aproximado de k(j ) se puede obtener mediante una fórmula general. Teniendo en cuenta los datos de cada grupo, y para desarrollar la fórmula de k(j ), podemos pensar en sumar por un lado el número de términos de todos ellos, por otro el de primos y por último el de múltiplos y efectuar los cálculos con los totales de esas sumas. Este método no es correcto ya que cada término pueda estar en varios grupos por lo que lo contaríamos varias veces lo que nos daría un resultado final poco fiable. Para resolver esta cuestión de un modo teórico pero más preciso se debería analizar, individualmente y aplicando el principio de inclusión-exclusión, cada uno de los términos (7m11 + 2), (11m12 + 2), (13m13 + 2), (17m14 + 2),… para definir los que son múltiplos y los que son primos. Después de varios intentos, he comprobado que este método analítico es bastante complejo por lo que, al final, lo he desestimado. En mi opinión, el matemático que resuelva esta cuestión de un modo riguroso puede, a partir del planteamiento expuesto en este trabajo, demostrar, de una manera definitiva, la conjetura de los Primos Gemelos y la conjetura de Goldbach.

Ante la dificultad del análisis matemático, he optado por un método indirecto para obtener la fórmula de k(j ). Informándome en Internet de las últimas demostraciones de conjeturas matemáticas, he leído que se ha aceptado el uso de ordenadores para efectuar una parte de los cálculos o para verificar las conjeturas hasta un número determinado. Teniendo en cuenta esta información, he considerado que puedo usar un autómata programable (PLC) para que me ayude a obtener la fórmula de k(j ). Para este fin, he desarrollado los diferentes programas que el autómata necesita para esta labor. Empezaré analizando los datos expuestos de los cuales se puede deducir:

Los conceptos de k(j ) y de k(b ) son similares por lo que sus fórmulas serán parecidas usando ambas las mismas variables. Los parámetros (número de términos, de primos y de múltiplos) que intervienen en k(j ) siguen un “patrón” determinado. Los valores de k(j ) y de k(b ), y también los de (a ) y (b ), aumentarán gradualmente al aumentar . El valor de k(j ) será menor que el de k(b ) pero tenderán a igualarse, de una manera asintótica, cuando tienda a infinito.

Veamos algunos valores, obtenidos mediante el autómata, referentes a k(b ), k(j ), y al grupo (30n + 19) (consultar a partir página 16). 1. 2. 3. 4. Para 106 Para 107 Para 108 Para 109 k(b k(b k(b k(b = 0,706897069 = 0,751125751 = 0,783999078 = 0,809362808 k(j k(j k(j k(j = 0,700798437 = 0,747054334 = 0,780690103 = 0,806782605 k(j k(j k(j k(j / k(b / k(b / k(b / k(b = 0,991372673 = 0,99457958 = 0,995779363 = 0,996812056 Analizando estos datos se puede comprobar que, a medida que aumenta , el valor de k(j ) tiende más rápidamente al valor de k(b que el valor de k(b ) con respecto a 1. Expresándolo numéricamente: Para 106: (1 – 0,706897069) / (0,706897069 – 0,700798437) = 48,06 Para 109: (1 – 0,809362808) / (0,809362808 – 0,806782605) = 73,88 A continuación, y partiendo de las fórmulas de k(b usaré el autómata. y k(0 ), propondré una para k(j ) con una constante. Para calcular el valor de ésta Fórmula de k(b ): k( 1 – Fórmula de k(0 ): k(0 – Fórmula propuesta para k(j ): k( ) – = Número para el que se aplica la conjetura y que define las sucesiones A-B. = Número de primos mayores que (b ) = Número de primos mayores que de la sucesión A para . de la sucesión B para . k( ) = Factor en estudio. Los datos obtenidos por el autómata permiten calcular su valor para varios números . c( ) = Constante que se puede calcular si conocemos los valores de (a ), (b ) y k( ) para cada número .

Recordemos que k(j ) es menor que k(b ) por lo que, comparando las dos fórmulas, se deduce que c(j ) tendría un valor mínimo de 0. Igualmente recordemos que, como concepto, k(0 ) sería el valor mínimo de k(j ) para el cual la conjetura sería falsa. Según esta afirmación, y comparando la fórmula de k(j ) con la de k(0 ), se deduce que c(j ) tendría un valor máximo de 30.

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