Una propuesta de cómo proceder en el cálculo de Integrales Definidas (página 2)

Enviado por Alejandro Mart�nez Castellini

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¿Qué metodología te recomendamos seguir?

Analiza si la integral está incluida en la lista de integrales declaradas como inmediatas. De ser así pues halla el resultado en la tabla y si no pues valora la posibilidad de transformarla en una o varias inmediatas aplicando alguna transformación algebraica o simplificación del integrando.
Si es una fracción propia y es una fracción simple pues procedes como corresponda según el tipo de fracción simple.
Si es una fracción racional propia no simple pues (excepto en casos excepcionales) procede a descomponer en fracciones simples y luego como en el inciso anterior.
Si la fracción es racional impropia efectúa la división para transformarla en la suma de un polinomio y una fracción racional propia.
Clasifica el integrando en racional (a su vez en propia o impropia) o no racional.
Si el integrando no es racional(es algebraico irracional o en caso contrario, trascendente) valora la posibilidad de aplicar alguna sustitución o el método de integración por partes y así obtener directamente el resultado o en su defecto por lo menos reducir el integrando a uno que esté en alguna tabla de integrales.

Resumen de algunas reglas de integración.

II) ()

III)

Fórmula de Integración por partes!!!

IV)

Siendo F primitiva de f en el correspondiente intervalo.

Ejemplo:

Resolver la integral

No reconozco esta integral como una integral del grupo de integrales inmediatas mas el integrando es la suma de tres funciones. Pienso entonces en aplicar la regla I) lo cual permite calcular por separado las 3 respectivas integrales.

Calculando pues hago uso a su vez de I) para reducirla a inmediatas.

¿Qué transformaciones algebraicas y qué reglas se usaron?

Calculando

La integral no es inmediata ni se me ocurre transformación algebraica ni sustitución alguna al menos en principio. El integrando es trascendente y tiene forma de producto por lo que quizá nos sea útil la fórmula III).

La elección que supongo conveniente es:

Halando

El integrando no está en mi tabla de inmediatas pero es una fracción racional impropia por lo que se ocurre dividir y se obtiene a partir de reconocer el cociente y el resto:

¿Cuál será el resultado de la integral ?

Nota: Se pudo haber calculado la integral teniendo en cuenta que el integrando es una fracción racional propia la cual no es simple por lo que se descompone en fracciones simples.

Se tiene entonces que .

Termine usted el ejercicio por esta vía y compare los resultados.

En modo alguno este material pretende dar indicaciones de carácter algorítmico para resolver una integral indefinida (ya que es imposible) sino ilustrar cómo mediante razonamientos heurísticos podemos descubrir la clave del éxito.

Solo con estudio y práctica sistemáticos podrás llegar a tener éxito por lo que te proponemos una selección de ejercicios.

Primero te recordaremos una alternativa de integrar las fracciones simples.

En los casos puede procederse a realizar la sustitución .

Ejercicios.

Resolvamos las integrales indefinidas siguientes.

En este caso podemos aplicar la propiedad de homogeneidad de la integral indefinida y nos queda entonces una integral inmediata.
Integración de una fracción simple tipo I
En este caso tenemos luego de una simple transformación del integrando una integral inmediata.
Integración de una fracción simple tipo II
En este caso el integrando lo identificamos como una fracción simple de tipo III ya que el discriminante del polinomio denominador es negativo (calcúlelo!) por lo que podemos realizar la sustitución u=x+p/2 o mejor aún podemos proceder como a continuación
En este ejercicio pudiéramos proceder análogamente al caso anterior pero no vamos a hacerlo. Procedamos a realizar la sustitución
El integrando es una función racional propia y no simple por lo que se expresa en forma única como una combinación lineal de fracciones simples mas para ello necesitamos factorizar el denominador. Si se factoriza con coeficientes racionales se obtiene pero no podemos lograr una factorización con coeficientes racionales para el factor cúbico. De hecho, en Derive se obtiene
la cual como ves no es un feliz factorización por lo que renunciamos a la descomposición en fracciones simples.
En este caso es más efectivo la sustitución u=x^4-4x-5 ya que la derivada de este polinomio es un múltiplo escalar del numerador del integrando por lo que recurrimos a un completamiento de diferencial.
Te invito a factorizar manualmente el denominador!
Intenta resolverlo por al menos por dos vías!
En este caso es inevitable renunciar a la división indicada ya que la fracción racional es impropia!
Si se hace resulta:
Recuerde que toda fracción racional impropia de expresa como suna de un polinomio y una fracción racional propia. Para integrar después nos conviene notar que es una fracción racional propia de denominador compuesto por lo que se expresa como suma finita de fracciones simples
con A=3 y B=-9 de donde se obtiene que Nota como una primitiva de una función racional no tiene por qué ser una función también racional!!!
En este caso el integrando es racional propio y no simple por lo que lo expresamos como combinación lineal de fracciones simples.
Cuidado!!!
En este caso el denominador es una potencia natural de un trinomio cuadrático con discriminante negativo pero la fracción no es simple, descomponiéndose entonces en fracciones simples!!!
En este caso procedemos a realizar un completamiento cuadrático motivado por el hecho de que el integrando se parece al de la integral
11)
En este caso realizamos las siguientes transformaciones
12)
En este caso te invitamos a aplicar el método de integración por partes ya que el integrando es
el producto de un polinomio de grado 1 y una exponencial de argumento de grado también igual a 1!
13)
En este caso pudiéramos escribir el integrando en cualquiera de las formas siguientes
14)
Este lo dejamos al lector!!!
15)
Cuidado! El argumento del coseno es lnx. Estamos en presencia de una función compuesta. No estamos frente al producto de las funciones coseno y logaritmo neperiano. Apliquemos nuevamente integración por partes.
16)
Este lo dejamos al lector!!!
Este lo dejamos al lector!!!
Esta integral puede ser calculada mediante integración por partes pero es más racional proceder haciendo uso de identidades trigonométricas y luego algebraicas!
En este tipo de integral trigonométrica en la que el integrando es una potencia con exponente natural de una función seno o coseno si el exponente es impar desdoblamos en producto de una potencia de exponente par por otra de exponente impar. De modo que: