1 Frecuencia Compleja. El análisis en estado senoidal estable o permanente, el análisis transitorio, la respuesta forzada, la respuesta compleja, el análisis de circuitos alimentados por funciones de excitación exponenciales y senoidales exponencialmente amortiguadas serán casos especiales de las técnicas generales para el análisis de circuitos asociados con el concepto de frecuencia compleja.
2 Voltaje senoidal exponencialmente amortiguado, en el dominio del tiempo.
3 Gráfico Voltaje senoidal exponencialmente amortiguado, en el dominio del tiempo.
4 Frecuencia Compleja. Cualquier Función puede escribirse de la forma: f(t)= K.es.t
Donde K y s son constantes complejas, independientes del tiempo, y está caracterizada por la frecuencia compleja s.
5 Frecuencia Compleja,función constante y exponencial. Aplicando la definición, con s=0, una función de voltaje constante V(t)=Vo, se escribe como: v(t)= V0.e0.t
Para una función de voltaje exponencial, la frecuencia compleja es; s=? + j0, por lo tanto: v(t)= V0.e?.t
6 Frecuencia Compleja,función de voltaje Senoidal. Para un voltaje senoidal: v(t)= Vm.cos(wt+?)
Aplicando la identidad de Euler: cos(wt+?)= ½.[ej(wt+?) + e-j(wt+?)]
Se obtiene: v(t)= (½.Vm.ej?).ejwt + (½.Vm.e-j?).e-jwt v(t)= K.est + K*.es*t
7 Frecuencia Compleja,función de voltaje Senoidal. Donde:
s= jw s*= -jw (conjugado de s) K= ½.Vm.ej? K*= ½.Vm.e-j? (conjugado de K)
8 Función de Voltaje,Senoidal exponencialmente amortiguada. Para la función de voltaje: v(t)= Vm. e?.t cos(wt+?)
Aplicando la identidad de Euler: cos(wt+?)= ½.[ej(wt+?) + e-j(wt+?)]
Se tiene:
v(t)= (½.Vm.ej?).e(?+jw)t + (½.Vm.e-j?).e(?-jw)t
9 Función de Voltaje,Senoidal exponencialmente amortiguada. Donde, el par de frecuencias complejas conjugadas se describe como:
s = ? + jw s* = ? – jw
La amplitud y el ángulo de fase del voltaje senoidal dependen del valor de K para cada una de las dos frecuencias complejas conjugadas.
10 Variable Compleja, S. Se denota por sigma, ?, a la parte real de s, y por w (no jw) a la parte imaginaria de s; luego:
s = ? + jw. Donde: ?: es la frecuencia de amortiguamiento (se mide en Nepers/s) w: es la frecuencia angular (rad/s) s: se mide en Nepers/s o rad/s.
11 Ejemplo: Frecuencia Compleja Sea: f(t)= (4 – j7).e(-3+j15)t. Donde: K= Sqrt[(4)2 + (7)2] = 8.1 ?=tan-1(-7/4) = -60.3° f(t)= K.es.t = K.e?.t cos(wt+?) Luego: f(t)=8.1.e-3.t cos(15t-60.3°)
12 Función de excitación Senoidal amortiguada en S. La Función senoidal con variación exponencial:
v(t)= Vm. e?.t cos(wt+?)
puede expresarse en términos de la frecuencia compleja s como:
v(t)=Re (Vm.e?t.ej(wt+?))
Factorizando y sustituyendo s = ? + jw:
v(t)=Re (Vm.ej?.est)
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