2º. Los ratios (productos marginales del capital y trabajo) son constantes y positivos. 0 1 1 t B1 Kt PmgK Yt Kt + + 0 (1 )B1 Kt Lt PmgL Yt Lt + + Recordemos que 0 1 entonces 1 1 1 0, es un valor positivo
La derivada de los productos marginales es decreciente y negativa.
Yt L Yt Kt Kt César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico 5 0 ( 2 1 t 1)B1 Kt PmgK Kt 2
Kt2 + – + Recordemos 0 1 1 1 1 1, entonces 0 0 es una constante negativa. 0 (1 ) 2 )B1 Kt Lt (1 PmgL Lt 2
Ltt – + + Recordemos que 0 0 1 1 1, entonces 0 x 1 1 es una constante positiva 0 1 1. 3º. Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se cumplen: 0 (1/ ) 0 1 1 t .L 1 B1 LímPmgK K (1/0) 1 1 t .L 1 B1 LímPmgK K 0 0 (1/ ) 0 (1 1 Lt )B1 Kt LímPmgL L (1/0) 1 Lt (1 )B1 Kt LímPmgL L 0 Aplicando logaritmo a la función de producción agregada y derivado con respecto al tiempo )LnLt (1 )LnBt Ln(Kt) (1 Ln(Yt) dLnLt dt dLnBt dt ) (1 ) (1 dLn(Kt) dt dLn(Yt) dt gY .gK )gB (1 ( ) (1 )gL Donde
gB : Tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia del trabajo.
César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico [email protected] 6 K Y L Y K ) (1 : Elasticidad del producto respecto al capital. L : Elasticidad del producto respecto al trabajo. Esta ecuación nos quiere decir que el crecimiento del PBI agregado es igual a la suma del crecimiento del capital multiplicado por su participación en el PBI .gK , el crecimiento tecnológico multiplicado por su participación en el PBI (1
de crecimiento del trabajo multiplicado por su participación en el PBI (1 )gB y la tasa
)gL . Despejando gB de la ecuación ( ) L L K gL gK gY gB L residuo_de_Solow Esta ecuación nos quiere decir que la tas de progreso tecnológico es igual a la diferencia o residuo entre el crecimiento observado del PBI y el crecimiento ponderado de los factores directamente observables dividido entre la elasticidad producto respecto al trabajo.
Como no interesa expresar la tasa de crecimiento del PBI por trabajador (per cápita) reemplazaremos las tasas agregadas por sus equivalentes.
Sabemos que el PBI por trabajador es igual al PBI agregado dividido por el número de trabajadores. Yt Lt yt Ln(Yt) Ln(Lt)
dLn(Yt) dLn(Lt) dt dt Ln(yt)
dLn(yt) dt Lt Lt Y t Yt yt yt gL gY gy (IV) gL gy gY Sabemos que el capital por trabajadores igual al PBI agregado dividido por el numero de trabajadores Kt Lt kt Ln(Kt) Ln(Lt) Ln(yt)
César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico [email protected] 7 dLn(Lt) dt dLn(Kt) dt dLn(yt) dt Lt Lt K t Kt yt yt gL gK gy (V) gL gy gK Reemplazando (IV) y (V) en la ecuación ( ) gL gB gL gk gL gy 1 1 1 (VI) gk gB gy La ecuación (VI) nos quiere decir que la tasa de crecimiento del PBI por trabajador se puede descomponer entre la contribución del progreso tecnológico y la tasa de crecimiento del capital por trabajador, de hay que ha esta descomposición se le lama contabilidad de crecimiento.
César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico [email protected] 8 Ejercicios resueltos
Problema Nº1
En el año 2008 se sabe que un país tiene una tasa de crecimiento del PBI per cápita que es 4%, la tasa de crecimiento del capital agregado fue 2%, la tasa de crecimiento de las horas de trabajo per cápita fue del -1% y la tasa de crecimiento de la población fue 1.5%. La participación de capital en el PBI era de 45% ¿Cuál fue la tasa de crecimiento de la productividad agregada?
Rpt De la función: dLn B dt dLn lt dt dLn kt dt dLn yt dt ) (1 1 gk gy )gl (1 )gB (1 0.04 Datos: gy 0.02 gK 0.01 gl 0.015 gK 0.45 0.005 0.02 0.015 gN gK Sabemos: gk (1 ) 0.04 0.45×0.005 0.55( 0.01) 0.55 )gl gk (1 gy gB 7.86% 0.0786 gB Problema Nº2
Se sabe que un país “Z” tiene una tasa de crecimiento del PBI 5%, la tasa de crecimiento del capital por trabajador es 1.5% la tasa de crecimiento de las horas de trabajo fue de -1%, la tasa de crecimiento de la población per cápita fue del 1% y la participación del capital en el PBI era del 30%. ¿Cual fue la tasa de crecimiento de la productividad agregada?
Rpt De la función: dLn B dt dLn lt dt dLn kt dt dLn yt dt ) (1 1 gk gy )gl (1 )gB (1 0.05 Datos: gY 0.01 gk 0.015 gL 0.01 gN 0.30 0.01 0.01 0.02 gK gN Sabemos: gk (1 ) 0.05 0.30×0.02 0.70( 0.015) 0.70 )gl gk (1 gy gB 7.78% 0.0778 gB
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