Ecuaciones diferenciales

Enviado por Rojas Huachin Miryan

Homogéneas y Reducibles a Homogéneas

b) Determinar para que valores de "r" tiene soluciones de la forma y=erx, la ecuación y"’ – 3y" + 2y’ = 0
Solución
a) Hacemos el cambio: y = ux y’ = u + xu’
Reemplazando en la ecuación: u + xu’ = u2 + u -1
xu’ = u2 – 1
1n 1nx + c2 cx2

Pero en (1):
b) Para que y = erx sea la solución es necesario y suficiente que ella y sus derivadas satisfagan la ecuación diferencial dada.
Así:
Reemplazando:
Luego los valores de r son: 0, 1 y 2
a)Resolver: y’ = y2/x2 + y/x – 1
a)
b)
Solución
a)
b) Tenemos: (Homogénea)
Hacemos
En (1):
(2)
Pero
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(8x + y + 25)dx + (7x – 16y + 140)dy = 0 (1)
Solución
(1) puede escribirse como: ecuación reducible a homogénea). Vemos que: 8(-16) ¹ 1(7)
Encontramos la solución del sistema: 8x + y + 25 = 0
7x – 16y + 140 = 0
que es x = -4, y = 7
Hacemos el cambio de variables: u = x + 4 à du = dx
v = y – 7 à dv = dy
En la ecuación, reemplazamos:
(2)
La cual es homogénea. Hacemos cambio:
En (2):
Por fracciones parciales:
Integrando:
(3)
Pero En (3):
Resolver la ecuación diferencial:
Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:

ax2 + 2bxy + cy2 + y’ (bx2 + 2cxy + fy2) = 0
2x + 2y – 1 + y’ (x+y-2)=0

Solución:

a) tenemos que:

Sea

En (1):

(2)

Pero en (2):

b) Vemos que: (1)

Como 2(a) = 1(2), entonces hacemos el cambio

En (1):

Pero u = x + y, en (2): x+y-3 1n(x+y+1) =

Solución:
Tenemos que: x(2×2 + 3y2 – 7)dx – y(3×2 + 2y2 – 8)dy = 0 (1)
Hacemos el cambio:
En (1): (2z + 3u -7).dz – (3z + 2u – 8).du = 0
(2)
Como 2(2) ¹ 3(3), entonces hacemos el cambio. Z = v+h, u = r+k, donde (h,k) es la solución del sistema:
Luego z = v + 2 dz = dv; u = r + 1 du = dr
En (2): …. (3) (Homogéneo)
Sea
En (3):
(4)
Pero
En (4):
Resolver la E.D. (2×3 + 3y2x – 7x) dx – (3x2y + 2y3-8y) dy =0
Resolver las E.D.:

(y2 – 1nx) dx + xy3 dy = 0
(tgx – cotgy + 3) sec2xdx – (3 tgx + cotgy + 1) cosc2ydy = 0

Solución:

a) Tenemos que:

(1)

Hacemos

En (1): (2)

Hacemos

En (2):

(Homogénea)

Sea

En (3):

(4)

Pero

En (4):

b) Tenemos:

Sea

En (1): (2)

Ahora sea:

En (2):

Como: 1(1) ¹ 3(-1), hacemos:

Hacemos el cambio: v = t – 1, u = z + 2 dv = dt, dz = du

En (3): (4)

Ahora sea

En (4) :

(5)

Pero

En (5):

Ecuaciones Lineales y Reducibles a Lineales

Solución
La ecuación puede escribirse como:
(Bernoulli) (1)
Multiplicamos (1) por y2: (2)
Hacemos:
En (2): (3)
Sea F.I. (4)
Ahora: (3)x(4):
Pero u = y3. Quede: y3 = -x31nx + x3 + cx2
Resolver: (x41nx – 2xy) dx + 3x2y2dy = 0
Solución
yy’ = cosx – (cotgx)y2 y’ + (cotgx)y = (cosx)y-1 (Bernoulli)
yy’ + (ctgx)y2 = cosx. Sea u = y2 u’ = 2yy’ yy’ = u’
u’ + (cotgx) u = cosx u’ + (2 cotgx)u = 2cosx (E.D.L.) (1)
F.I. =
(1) x.F.P.:
Resolver: yy’ = ctg x (sen x-y2)
Solución
Tenemos:
(Bernoulli) (1)
Multiplicamos por y-3, nos queda:
(2)
Cambio:
En (2):
(3)
Ahora (3) x F.I.:
Pero nos queda: senx
Resolver: 2senxy’ + y cosx = y3 (x cosx-senx)
sec2ydy – tg3ydx = -x tg ydx
Solución
sec2y
(1)
Sea u = tgy u’ = sec2y.y’ (2)
(2) en (1): u’ – u3 = xu u’ + xu = u3 (Bernoulli)
u-3u’ + xu-2 = 1. De (3).
Sea z = u-2 z’ = -2u-3u’ – z’ = u-3 u’
En (3): z’ + xz = 1 z’-2xz = -2 (E.D.L.) (4)
(5)
Pero z = u-2 Ù u = tgy z = (tgy)-2 (6)
(6) en (5):
Resolver
Solución:
Tenemos: xy’-y-y 1n(y/x) x3y 1n2(y/x)
Dividendo entre xy, tenemos:
(1)
Sea u = 1n (y/x)
En (1): (Bernoulli) (2)
Multiplicando por u-2, queda: u-2.u’ – u-1 = x2(3)
Hacemos cambio:
En (3): (Lineal) (4)
F.I. =
(4) x F.I.:
ro z = u-1 = , nos queda:

Exactas y Reducibles a Exactas
Resolver:
Puede ser resuelta utilizando un factor integrante de la forma xm yn. determinar este factor y resolver la ecuación diferencial propuesta.
Solución
Si u = xmyn es un F.I., entonces:
(2y+3x2y3) xmyndx + (3x+5x3y2)xmyndy = 0 es exacta. (1)
= 3(m+1)xmyn + 5(m+3)xm+2yn+2
Luego el factor es: u = x-9 y-13
En (1): (2x-9y-12+3x-7y-10)dx + (3x-8y-13+5x-6y-11)dy = 0
M* = nx-9y-12+3x-7y-10 Ù N* = 3x-8y-13 + 5x-6y-11
Sea F(x,y) = c la solución. Entonces:
De: =2x-9y-12+3x-7y-10 F(x,y) =
Ahora: =N* (-12)x-8y-13 –(-10)x-6y-11 + h’(y)=N*
En (a ): F(x,y) = –x-8y-12 –x-6y-10 + k = c
La Ecuación diferencial:
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:

(y+xy2)dx + (x-x2y)dy = 0
(3y2-x)dx+(2y3-6xy)dy= 0 utilizando un factor integrante de la forma

Solución

Luego:
Sea z = xy
En (1):
(2)
Multiplicando la ecuación original por el factor integrante; nos queda:
la cual es exacta.
Sea F(x,y)=c la solución, entonces se verifica que:
De
(3)
Ahora de (3):
(y) = (4)
(4) en (3):
Aplicamos factor integrante:
Tenemos que

Sabemos que:

Por dato:

En (1):

Luego:

Es decir:

Multiplicando la ecuación original por el factor integrante, tenemos:

la cual es exacta.

Sea F(x, = c la solución, entonces se verifica que

(2)

De (2):

(3)

(3) en (2):

(x2y + y3 – xy) dx + x2dy = 0 Sabiendo que u = x-3 f(y/x) es un factor integrante.
Solución
Multiplicando por el factor integrante:
(1) tenemos que es exacta.
En esta nueva ecuación, podemos considerar a u1 = f(y/x) como un nuevo factor integrante, es decir tenemos que:
(2) con u1 = f(y/x) es exacta. Como el nuevo factor integrante es u1 = f(y/x), tenemos que se cumple
donde u = u(z)…
(3)
Sea
Además
Reemplazando en (3):
Pero
(4)
Ahora (2) x (4): (5)
Sea
Se debe cumplir que F(x,y)=c es la solución, donde
Ù
Trabajando con:
Ahora usando:
De (a ):
En (6):
(7) en (a ): F(x,y) = x – 1n(x2+y2) + 1ny
La solución es: F(x,y)=c, es decir: x-1n(x2+y2)+1ny=c
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:
Solución:
Vemos que: N = x2y2 + 1 (no es exacta).
Haremos la fórmula y calcularemos un factor integrante:
(1)
Sea
En (1):
Luego: u(x,y)=(xy-1)-2e-(2/xy-1) es el factor integrante buscado. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante, se convierte en exacta:
(x2y2+1)(xy-1)-2e-2(xy-1)-1 dx+2×2(xy-1)-2e-2(xy-1)-1dy=0…. (2)
Se F(x,y,=c l solución general de (2), entonces se cumple que:
(3)
De (4):
De (4):
Remplazando en (3):
Reemplazando en (5), la solución general es:
(x2y2 +1)dx + 2x2dy = 0
Demostrar que si M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 es una ecuación diferencial no exacta y que:

donde R depende sólo de xy (léase x por y), entonces u(xy) es un factor integrante de dicha ecuación. Encontrar una fórmula general para dicho factor y aplicando éste, resolver la ecuación:

Solución

La fórmula del factor integrante es:

Sea

En (1)

Como R = R(xy) = R(z), en (2):

factor integrante buscado.

Resolviendo la ecuación diferencial dada:

En (2).

Luego el factor integrante es u(x,y) = xy

A continuación multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante, se convierte en exacta}: (3x2y+6x)dx+(x3+3y2)dy = 0, donde M1 = 3x2y + 6x, N1 = x3 + 3y2

Ahora sea F(x,y) = c la solución general, donde:

De (5):

De (7):

En (7): F(x,y)=x3y + 3×2 + y3

La solución general es: x3y + 3×2 + y3 = c

Bibliografía

Ecuaciones Diferenciales 1

Cesar Saal R. (1998)

Felix Carrillo C.(1998)

Rojas Huachin Miryan

Fac. Ingeniería Industrial– UNMSM