Fracciones parciales, ejemplos resueltos (página 2)

Enviado por Luis Teschi

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$ Separando la fraccion 1/((x - 1) (x + 1)) en fracciones parciales . $

Integrando 1/(2 (x - 1)) - 1/(2 (x + 1)) término-por-término y factorizando las constantes .

Para el integrante 1/(x + 1), sustituya s = x + 1, d s = 1 d x .

Para el integrante 1/(x - 1), sustituya t = x - 1, d t = 1 d x .

La integral de 1/t es log(t) .

La integral de 1/s es log(s) .

La integral de 1 es x .

Resustituyendo t = x - 1 .

Resustituyendo s = x + 1 .

Â 3)Â Â Â Â

Sustitución s = x^2, d s = 2 x d x .

Factorizando constantes .

Sustitución t = s - 1, d t = 1 d s .

Integrando la suma térmimo-por-término .

La integral de 1/t es log(t) .

La integral de 1 es t .

Resustituyendo t = s - 1 .

Resustituyendo s = x^2 .

Factor por otra expresión para ver el resultado .

Â 4)Â Â Â Â Â Â

La integral de 1/(x^2 + 1) es tan^(-1)(x) .

Haciendo divisió larga . Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . La integral de 1/(x^2 + 1) es tan^(-1)(x) . La integral de 1 es x .

Sustitución s = x^2, d s = 2 x d x .

Factorizando constantes .

Sustitución t = s + 1, d t = 1 d s .

Dividiendo por t .

Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes .

La integral de 1/t es log(t) .

La integral de 1 es t .

Resustituyendo t = s + 1 .

Resustituyendo s = x^2 .

Factor por otra expresión para ver el resultado .

Factorizando el denominador en términos lineales y términos quadraticos irreducibles .

$ Separando las fracciones en fracciones parciales . $

Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes .

Completando el cuadrado in (2 - x)/(x^2 - x + 1) .

Para el integrante (2 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4), sustituya s = x - 1/2, d s = 1 d x .

Para el integrante (3/2 - s)/(s^2 + 3/4), sustituya t = (2 s)/3^(1/2), d t = 2/3^(1/2) d s .

= 2/(3 3^(1/2)) ∫ (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

Integrando la suma (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) téermino-por-término .

La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) .

Para el integrante t/(t^2 + 1), sustituya w = t^2 + 1, d w = 2 t d t .

Para el integrante 1/(x + 1), sustituya y = x + 1, d y = 1 d x .

La integral de 1/y es log(y) .

La integral de 1/w es log(w) .

Resustituyendo y = x + 1 .

Resustituyendo w = t^2 + 1 .

Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) .

= tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/3^(1/2) - 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) + 1/3 log(x + 1) + Ã·r

Resustituyendo s = x - 1/2 .

= tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/3^(1/2) + 1/3 log(x + 1) - 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) + Ã·r

Factorizando el denominador en términos lineales y términos quadraticos irreducibles .

$ Separando las fracciones en fracciones parciales . $

Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes .

Completando el cuadrado in (x + 1)/(x^2 - x + 1) .

Para el integrante (x + 1)/((x - 1/2)^2 + 3/4), sustituya s = x - 1/2, d s = 1 d x .

Para el integrante (s + 3/2)/(s^2 + 3/4), sustituya t = (2 s)/3^(1/2), d t = 2/3^(1/2) d s .

= 2/(3 3^(1/2)) ∫ ((3^(1/2) t)/2 + 3/2)/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

Integrando la suma ((3^(1/2) t)/2 + 3/2)/(t^2 + 1) téermino-por-término .

La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) .

Para el integrante t/(t^2 + 1), sustituya w = t^2 + 1, d w = 2 t d t .

Para el integrante 1/(x + 1), sustituya y = x + 1, d y = 1 d x .

La integral de 1/y es log(y) .

La integral de 1/w es log(w) .

Resustituyendo y = x + 1 .

Resustituyendo w = t^2 + 1 .

Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) .

= tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/3^(1/2) + 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) - 1/3 log(x + 1) + Ã·r

Resustituyendo s = x - 1/2 .

= tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/3^(1/2) - 1/3 log(x + 1) + 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) + Ã·r

Haciendo divisió larga .

Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes .

$ Separando la fraccion 1/((x + 1) (x^2 - x + 1)) en fracciones parciales . $

Integrando (2 - x)/(3 (x^2 - x + 1)) + 1/(3 (x + 1)) término-por-término y factorizando las constantes .

Completando el cuadrado in (2 - x)/(x^2 - x + 1) .

Para el integrante (2 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4), sustituya s = x - 1/2, d s = 1 d x .

Para el integrante (3/2 - s)/(s^2 + 3/4), sustituya t = (2 s)/3^(1/2), d t = 2/3^(1/2) d s .

= ∫ 1 d x - 2/(3 3^(1/2)) ∫ (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

Integrando la suma (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) téermino-por-término .

La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) .

Para el integrante t/(t^2 + 1), sustituya w = t^2 + 1, d w = 2 t d t .

Para el integrante 1/(x + 1), sustituya y = x + 1, d y = 1 d x .

La integral de 1/y es log(y) .

La integral de 1/w es log(w) .

La integral de 1 es x .

Resustituyendo y = x + 1 .

Resustituyendo w = t^2 + 1 .

Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) .

= x - tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/3^(1/2) + 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) - 1/3 log(x + 1) + Ã·r

Resustituyendo s = x - 1/2 .

= x - tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/3^(1/2) - 1/3 log(x + 1) + 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) + Ã·r

10)

Factorizando el denominador en términos lineales y términos quadraticos irreducibles .

$ Separando las fracciones en fracciones parciales . $

Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes .

Completando el cuadrado in (1 - x)/(x^2 - x + 1) .

Para el integrante (1 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4), sustituya s = x - 1/2, d s = 1 d x .

Para el integrante (1/2 - s)/(s^2 + 3/4), sustituya t = (2 s)/3^(1/2), d t = 2/3^(1/2) d s .

= 2/(3 3^(1/2)) ∫ (1/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

Integrando la suma (1/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) téermino-por-término .

La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) .

Para el integrante t/(t^2 + 1), sustituya w = t^2 + 1, d w = 2 t d t .

Para el integrante 1/(x + 1)^2, sustituya y = x + 1, d y = 1 d x .

La integral de 1/y^2 es -1/y .

Para el integrante 1/(x + 1), sustituya y = x + 1, d y = 1 d x .

La integral de 1/y es log(y) .

La integral de 1/w es log(w) .

Resustituyendo y = x + 1 .

Resustituyendo w = t^2 + 1 .

Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) .

= tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/(3 3^(1/2)) - 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) + 1/3 log(x + 1) - 1/(3 (x + 1)) + Ã·r

Resustituyendo s = x - 1/2 .

= tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/(3 3^(1/2)) + 1/3 log(x + 1) - 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) - 1/(3 (x + 1)) + Ã·r

Factor por otra expresión para ver el resultado .

= (2 3^(1/2) x tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 2 3^(1/2) tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 6 x log(x + 1) + 6 log(x + 1) - 3 x log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) - 3 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) - 6)/(18 (x + 1)) + Ã·r

11)

Factorizando el denominador en términos lineales y términos quadraticos irreducibles .

$ Separando las fracciones en fracciones parciales . $

Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes .

Completando el cuadrado in 1/(x^2 - x + 1) .

Para el integrante 1/((x - 1/2)^2 + 3/4), sustituya s = x - 1/2, d s = 1 d x .

Para el integrante 1/(s^2 + 3/4), sustituya t = (2 s)/3^(1/2), d t = 2/3^(1/2) d s .

La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) .

Sustitución w = x + 1, d w = 1 d x .

La integral de 1/w^2 es -1/w .

Resustituyendo w = x + 1 .

Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) .

= (2 tan^(-1)((2 s)/3^(1/2)))/(3 3^(1/2)) + 1/(3 (x + 1)) + Ã·r

Resustituyendo s = x - 1/2 .

= (2 tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)))/(3 3^(1/2)) + 1/(3 (x + 1)) + Ã·r

Factor por otra expresión para ver el resultado .

= (2 3^(1/2) x tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 2 3^(1/2) tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 3)/(9 (x + 1)) + Ã·r

12)

Factorizando el denominador en términos lineales y términos quadraticos irreducibles .

$ Separando las fracciones en fracciones parciales . $

Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes .

Completando el cuadrado in x/(x^2 - x + 1) .

Para el integrante x/((x - 1/2)^2 + 3/4), sustituya s = x - 1/2, d s = 1 d x .

Para el integrante (s + 1/2)/(s^2 + 3/4), sustituya t = (2 s)/3^(1/2), d t = 2/3^(1/2) d s .

= 2/(3 3^(1/2)) ∫ ((3^(1/2) t)/2 + 1/2)/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

Factorizando las constantes from ((3^(1/2) t)/2 + 1/2)/(t^2 + 1) .

Integrando la suma (3^(1/2) t + 1)/(t^2 + 1) téermino-por-término .

La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) .

Para el integrante t/(t^2 + 1), sustituya w = t^2 + 1, d w = 2 t d t .

Para el integrante 1/(x + 1)^2, sustituya y = x + 1, d y = 1 d x .

La integral de 1/y^2 es -1/y .

Para el integrante 1/(x + 1), sustituya y = x + 1, d y = 1 d x .

La integral de 1/y es log(y) .

La integral de 1/w es log(w) .

Resustituyendo y = x + 1 .

Resustituyendo w = t^2 + 1 .

Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) .

= tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/(3 3^(1/2)) + 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) - 1/3 log(x + 1) - 1/(3 (x + 1)) + Ã·r

Resustituyendo s = x - 1/2 .

= tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/(3 3^(1/2)) - 1/3 log(x + 1) + 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) - 1/(3 (x + 1)) + Ã·r

Factor por otra expresión para ver el resultado .

= (2 3^(1/2) x tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 2 3^(1/2) tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) - 6 x log(x + 1) - 6 log(x + 1) + 3 x log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) + 3 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) - 6)/(18 (x + 1)) + Ã·r

Autor:

Luis Teschi

Partes: 1, 2

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