o o a i i i o o a ´ i o o Momento Lineal, Momento Angular
& Momento Radial
Antonio A. Blatter
Licencia Creative Commons Atribuci´n 3.0 (2015) Buenos Aires Argentina
Este trabajo presenta el momento lineal, el momento angular y el momento radial de un sistema de N part´iculas, que dan origen a las leyes de conservaci´n del momento lineal, del momento angular y de la energ´ia.
Momento Lineal
El momento lineal P de un sistema de N part´iculas con respecto a un punto O (con posici´n Ro , velocidad Vo y aceleraci´n Ao ) est´ dado por: P = mi (vi – Vo ) d(P)/dt = mi (ai – Ao ) F = (Fi – mi Ao ) La ecuaci´n (F) s´lo puede ser v´lida si el punto O logra que Ao sea igual a cero. Por lo general, en el momento lineal el punto O es el origen O del sistema de referencia, logrando que Ro , Vo y Ao sean siempre iguales a cero. Sin embargo, el punto O no necesariamente tiene que ser el origen O del sistema de referencia. La unica condici´n aqu´ es que la aceleraci´n Ao del punto O debe ser igual a cero.
Ahora, relacionando P y F con las magnitudes lineales v y a, se obtiene:
P = M v
d(P)/dt = F = M a
donde M ( = i mi ) es la masa del sistema de part´iculas, v y a son la velocidad y la aceleraci´n (lineales) del sistema de part´iculas (con respecto al punto O)
Por lo tanto, se deduce que el momento lineal P de un sistema aislado de N part´iculas permanece constante si las fuerzas internas F (int) logran anularse.
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o a i i i o o a i i ? o i ? i i Momento Angular
El momento angular L de un sistema de N part´iculas con respecto a un punto O (con posici´n Ro , velocidad Vo y aceleraci´n Ao ) est´ dado por: L = mi [ (ri – Ro ) × (vi – Vo ) ] d(L)/dt = mi [ (ri – Ro ) × (ai – Ao ) ] M = [ (ri – Ro ) × (Fi – mi Ao ) ] La ecuaci´n (M) s´lo puede ser v´lida si el punto O logra que Ao sea igual a cero o si el punto O es el centro de masa del sistema de part´iculas, puesto que: [ (ri – Rcm ) × (Fi – mi Acm ) ] = [ (ri – Rcm ) × Fi ] Ahora, relacionando L y M con las magnitudes angulares ? y a, se obtiene:
L = I · ?
d(L)/dt = M = I · a + I · ?
donde I es el tensor de inercia del sistema de part´iculas, ? y a son la velocidad y la aceleraci´n (angulares) del sistema de part´iculas (con respecto al punto O) I = mi [ |(ri – Ro )|2 1 – (ri – Ro ) ? (ri – Ro ) ] I · ? = – ( M1 + M2 ) M1 = –
M2 = + mi (ri – Ro ) × { 2 ? × (vi – Vo ) }
mi (ri – Ro ) × { ? × [ ? × (ri – Ro ) ] } Si M1 y M2 son considerados como momentos ((?cticios)) de manera tal que resulte la igualdad ( M* = M + M1 + M2 ) entonces se logra:
L = I · ?
M* = I · a
Por lo tanto, se deduce que el momento angular L de un sistema aislado de N part´iculas permanece constante si los momentos internos M (int) logran anularse.
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o a i i i i i o o a i [ i [ i i ? r ? ? ? r ? ? ? r o o a o ? ? ? r Momento Radial
El momento radial G de un sistema de N part´iculas con respecto a un punto O (con posici´n Ro , velocidad Vo y aceleraci´n Ao ) est´ dado por: G = 1/2 mi [ (vi – Vo ) · (ri – Ro ) ] ?G = ? 1/2 mi [ (vi – Vo ) · (ri – Ro ) ] d(?G)/dt =
d(?G)/dt = ? 1/2 mi [ (vi – Vo ) · (vi – Vo ) + (ai – Ao ) · (ri – Ro ) ]
mi [ ? 1/2 (vi – Vo ) · (vi – Vo ) + ? 1/2 (ai – Ao ) · (ri – Ro ) ] d(?G)/dt = mi [ 2 1 (ai – Ao ) · d(ri – Ro ) + ? 1/2 (ai – Ao ) · (ri – Ro ) ] ?T = i [ 2 1 (Fi – mi Ao ) · d(ri – Ro ) + ? 1/2 (Fi – mi Ao ) · (ri – Ro ) ] La ecuaci´n (?T ) s´lo puede ser v´lida si el punto O logra que Ao sea igual a cero o si el punto O es el centro de masa del sistema de part´iculas, puesto que: 2 1 (Fi – mi Acm ) · d(ri – Rcm ) ] = 2 1 Fi · d(ri – Rcm ) ] [ ? 1/2 (Fi – mi Acm ) · (ri – Rcm ) ] = [ ? 1/2 Fi · (ri – Rcm ) ] Ahora, relacionando G y T con las magnitudes radiales r , r y ¨, se obtiene:
?G = ? 1/2 M (r r )
d(?G)/dt = ?T = ? 1/2 M (r r + ¨ r )
donde M es la masa del sistema de part´iculas, (r r ) y ( r r + ¨ r ) son la velocidad y la aceleraci´n (escalares) del sistema de part´iculas (con respecto al punto O)
La posici´n escalar, la velocidad escalar y la aceleraci´n escalar de un sistema de part´iculas formado por una sola part´icula, est´n dadas por: Posici´n escalar: 1/2 (r · r) = 1/2 (r · r) = 1/2 (r r ) Velocidad escalar:
Aceleraci´n escalar: 1/2
1/2 d(r · r)/dt
d2 (r · r)/dt2 =
= (v · r)
(v · v + a · r) =
= (r r )
(r r + ¨ r ) donde ri es el vector de posici´n de la part´icula, r = (ri – Ro ) y r = |(ri – Ro )|
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u i o o ia e i e u o i [ a a o ? a ia a ia a i i o ? ? ? r ? ? r Ahora, si ?T es considerado como el trabajo W realizado por las fuerzas que act´an sobre un sistema de part´iculas, entonces: W = i [ 2 1 Fi · d(ri – Ro ) + ? 1/2 Fi · (ri – Ro ) ] Por lo tanto, siempre resulta la siguiente igualdad: W = ? 1/2 mi [ (vi – Vo ) · (vi – Vo ) + (ai – Ao ) · (ri – Ro ) ] Si la expresi´n del lado derecho de la igualdad anterior es considerada como la variaci´n en la energ´ cin´tica K de un sistema de part´iculas, entonces: ? K = ? 1/2 mi [ (vi – Vo ) · (vi – Vo ) + (ai – Ao ) · (ri – Ro ) ] Por lo tanto, siempre resulta tambi´n la siguiente igualdad: W = ? K
Ahora, dado que el trabajo W realizado por las fuerzas conservativas que act´an sobre un sistema de part´iculas es igual y de signo opuesto a la variaci´n en la energ´ia potencial U del sistema de part´iculas, entonces: ? U = – 2 1 Fi · d(ri – Ro ) + ? 1/2 Fi · (ri – Ro ) ] Por lo tanto, se deduce que la energ´ia mec´nica E de un sistema de N part´iculas permanece constante si el sistema est´ sujeto s´lo a fuerzas conservativas. ? E = ? K + ? U = 0 E = K + U = constante Las magnitudes E , K y U est´n relacionadas con las magnitudes convencionales E , K y U . De hecho, la energ´ mec´nica E de un sistema de part´iculas es igual a la energ´ mec´nica convencional E del sistema de part´iculas (E = E ) puesto que: 1/2 mi (ai – Ao ) · (ri – Ro ) – 1/2 Fi · (ri – Ro ) = 0 Sin embargo, si todos los sistemas de referencia inerciales y no inerciales eligen el mismo punto O (el centro de masa del sistema de part´iculas) entonces las magnitudes E , K y U son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia y los sistemas de referencia no inerciales no deben introducir las fuerzas ?cticias sobre Fi .
En esta secci´n, por lo tanto, se obtienen las siguientes relaciones:
G = 1/2 M (r r )
d(G)/dt = 1/2 M (r r + ¨ r ) = K
d(?G)/dt = ?T = ? 1/2 M (r r + ¨ r ) = W = ? K
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o o i o a a a ia a e a o ia a ia e a a ia a a a Observaciones Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Los sistemas de referencia no inerciales en la secci´n Momento Lineal y en la secci´n Momento Angular s´ deben introducir las fuerzas ?cticias sobre Fi . Los sistemas de referencia no inerciales en la secci´n Momento Radial no deben introducir las fuerzas ?cticias sobre Fi (en T , en W y en U ) si el punto O es el centro de masa del sistema de part´iculas. El momento lineal de un sistema de part´iculas est´ relacionado con las magnitudes lineales y especialmente con la velocidad lineal (m/s) del sistema de part´iculas. El momento angular de un sistema de part´iculas est´ relacionado con las magnitudes angulares y especialmente con la velocidad angular (rad/s) del sistema de part´iculas. El momento radial de un sistema de part´iculas est´ relacionado con las magnitudes radiales y especialmente con la velocidad escalar (m2 /s) del sistema de part´iculas. La energ´ mec´nica E , la energ´ia cin´tica K y la energ´ia potencial U de un sistema de part´iculas est´n relacionadas con las magnitudes radiales y especialmente con la aceleraci´n escalar (m2 /s2 ) del sistema de part´iculas. Si el punto O es el centro de masa de un sistema de part´iculas entonces la energ´ mec´nica E , la energ´ cin´tica K y la energ´ia potencial U del sistema de part´iculas son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia. La energ´ia mec´nica E de un sistema de part´iculas es igual a la energ´ia mec´nica convencional E del sistema de part´iculas (E = E ) Bibliograf´ A. Einstein, Sobre la Teor´ia de la Relatividad Especial y General. G · Gamow, Uno, Dos, Tres, … In?nito. E. Mach, La Ciencia de la Mec´nica. H. Goldstein, Mec´nica Cl´sica. 5