- Objetivos
- Construcción de la Carta de Nichols
- Manejo de la Carta de Nichols
- Técnicas de compensación a través de la carta de Nichols
- Conclusiones
- Biografía
- Bibliografía
- Anexos
El análisis con la carta de Nichols es una modificación de los métodos de Bode, y de Nyquist, pero con algunas otras ventajas. Básicamente la carta de Nichols es una transformación de los círculos M y N en la representación rectangular en contornos no circulares M y N, sobre una representación, en coordenadas polares, de la magnitud en decibeles contra el ángulo de fase.
La representación sobre la carta de Nichols tiene algunas ventajas: en primer lugar se puede representar un intervalo de amplitudes mas amplio, debido a que la magnitud de la respuesta de lazo abierto se representa sobre una escala logarítmica, a demás, la representación de GH(jw) se obtiene mediante la suma algebraica de las magnitudes individuales. A diferencia de las graficas de bode, el método de Nichols presenta la ventaja de mostrar en una sola grafica la fase y la magnitud de la función que se analiza.
Las técnicas de la carta de Nichols son útiles para obtener la representación de C/R (jw) a partir de la respuesta GH(jw) de un sistema de realimentación unitaria y son especialmente aplicables en el diseño de sistemas realimentados.
- Aprender otro método de determinar la respuesta en frecuencia en lazo cerrado de los sistemas con retroalimentación
- Aprender a manejar el método de Nichols, y la Carta de Nichols
- Aprender a diseñar la Carta de Nichols
- Determinar un método grafico para la estabilización de sistemas inestables
MÉTODO DE NICHOLS BODE
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Un sistema realimentado se compone principalmente por seis elementos (ver grafico):
R que es igual a la entrada de referencia, E que es igual a la señal activa, G son los elementos y sistema de control, C es la variable controlada, H son los electos de la realimentación, y B, es la realimentación primaria. Cada elemento se representa por las siguientes ecuaciones.
Combinando estas ecuaciones se obtiene la relación de mando o función del sistema:
Si el sistema posee realimentación unitaria, es decir, H(s)=1, la función de transferencia se puede escribir como:
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Al evaluar F(s) en S=Jw la ecuación anterior se convierte en
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Podemos calcular la magnitud y el ángulo de F(Jw), a partir de la parte real y la parte imaginaria de G(Jw):
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Al remplazar Ec.3 en Ec.2 se obtiene
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La magnitud de F(Jw) será
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El ángulo de F(Jw) será
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La tangente del ángulo de F(Jw) será
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Entonces A.1 y A.2 se pueden expresar como A.5 y A.7 corresponden a las ecuaciones de unas circunferencias, para
y 
constantesAl elevar al cuadrado la ecuación A.5 se tiene
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Que puede rescribirse como
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La ecuación A.9 es una cuadrática, y para analizarla completamos el cuadrado en X:
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La ecuación A.11 corresponde a la de una circunferencia con centro en (-M2/M2-1 , 0) y radio M / M2 – 1. Estas circunferencias se conocen como las M-Circunferencias
Empleando la identidad trigonométrica
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la ecuación A.7 se convierte en
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que puede rescribirse como
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La ecuación A.12 corresponde a una cuadrática y para analizarla completamos los cuadrados en
y enPara ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
La ecuación A.3 corresponde a la de una circunferencia con centro en ( -1/2 , -1/n) y radio 1/2N Ö (N2+1). Estas circunferencias se conocen como las N-Circunferencias
Las ecuaciones A.11 y A.13 muestran que en un plano que tenga por ejes X y Y, es decir la parte real y la parte imaginaria de G(Jw), el lugar geométrico de las magnitudes y ángulos de F(Jw) constantes son las M-circunferencias y N-circunferencias respectivamente.
En la figura de la siguiente pagina se muestran algunas de estas circunferencias, para unos valores específicos de la magnitud y el ángulo de F(Jw). Esta figura se conoce como la Carta de Nichols en coordenadas rectangulares. La principal utilidad de esta carta es la de poder determinar en forma gráfica el valor de F(Jw) a partir de G(Jw), es decir, calcular de forma gráfica la ecuación A.2.
Sin embargo, como resulta más sencillo conocer la magnitud y el ángulo de G(Jw) que sus partes real e imaginaria, se propone trabajar con la carta de Nichols en coordenadas polares que se muestra en la siguiente hoja, cuyos ejes corresponden a la magnitud y ángulo de G(Jw). En estos ejes las M-circunferencias y N-circunferencias se distorsionan, y pierden su forma de circunferencia
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Diagrama de Nichols en Coordenadas rectangulares
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Carta de Nichols en coordenadas polares
- Construcción de la carta de Nichols
Un primer paso en la utilización del método de Nichols es la construcción de las graficas de magnitud (en db), contra la fase (en grados) de la función de transferencia GH(jw) (con realimentación unitaria)
Una forma de obtener esta grafica es hallando directamente los valores de la ganancia y fase de 20 log | GH(jw) | y de arg GH(jw) respectivamente y ubicarlos en un plano de magnitud contra fase.
Esto se puede lograr separando los factores individuales de esta función en forma de bode:
Luego se tabula la magnitud y la fase da cada factor, es decir de:
Y al final sumarlos algebraicamente, con lo que se obtiene la magnitud y fase de la función de transferencia general GH(jw)
Estas tabulaciones se pueden obtener de forma sencilla con la ayuda de una grafica general para varios polos complejos conjugados:
Y para varios ceros complejos conjugados:
Con
.La grafica de magnitud en db y el ángulo de fase para algunos valores se muestra en la página siguiente:
Después de la representación de la magnitud y fase de la función GH(jw), lo que se realiza en el Método de Nichols es superponer esta grafica en la Carta de Nichols, con lo que se logra saber de una forma rápida la magnitud máxima, la frecuencia a la cual se presenta esa máxima amplitud y a demás su fase en ese momento. También el ancho de banda y la magnitud y fase a la cual el circuito responde con determinada frecuencia; con la gran ventaja sobre el método de bode, que se tiene toda esa información en una misma grafica.
A demás de esto se puede con un simple método grafico lograr un diseño a las especificaciones requeridas de estabilidad: por ejemplo, simplemente moviendo la grafica de magnitud contra fase de GH(jw), sobre la carta de Nichols se puede modificar la respuesta en frecuencia para lograr compensaciones en el factor de ganancia. Y con métodos como el de compensación de adelanto o de atraso de fase, se logra determinar las características de circuitos compensadores que lograran estabilizar el sistema a las condiciones requeridas.
- Ejemplo de la utilización de la Carta de Nichols para encontrar la respuesta en frecuencia del sistema de lazo cerrado
Se supone que se posee un sistema con la siguiente respuesta en frecuencia de lazo abierto:
Se desea obtener la respuesta en frecuencia del sistema realimentado.
En primer lugar se construye la grafica de magnitud contra fase de la función de lazo abierto. Un método fácil para lograr esto es analizando la respuesta de cada factor por separado, es decir de:
, 
, 
, 
Los datos se consignan en la siguiente tabla:
Frecuencia
Factor
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.8
4
6
8
Hz
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
db
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
°
0
0.2
0.6
1.3
2.2
3.0
4.7
7
10
12.3
db
0
11
21
31
39
45
54
63
71
76
°
0
-0.6
-2.2
-3.8
-5.4
-7.0
-9.4
-12.3
-15.7
-18.1
db
0
-21
-39
-50
-57
-63
-70
-76
-81
-83
°
0
0.3
0.6
0.9
1.0
0
-4.8
-12
-19.5
-24.5
db
0
-12
-26
-46
-68
-90
-126
-148
-160
-166
°
La respuesta de la función GH(jw), será entonces la suma algebraica de cada factor. Esto da:
20
19.9
19.0
18.4
17.8
16
10.5
2.7
-5.2
-10.3
db
0
-22
-44
-65
-86
-108
-142
-161
-170
-173
°
Y la gráfica de magnitud contra fase de GH(jw) se consigue con esos puntos:
Fig 1: Magnitud Vs Fase
Es importante recordar que para hacer esto la función GH(jw) debe estar expresada en forma de Bode, es decir:
El segundo paso es superponer esta grafica sobre la Carta de Nichols. Para esto generalmente se utiliza papel transparente.
Fig 2: Superposición en la Carta de Nichols
Con esta superposición se puede observar que la máxima magnitud que alcanza el circuito es de aproximadamente 12db a una fase cercana a los -90°, además se puede hallar la respuesta en fase y ganancia del circuito a cualquier otra frecuencia.
La grafica de magnitud contra fase del sistema realimentado se consigue directamente de la representación de GH(jw) sobre la carta de Nichols (Figura 2). Los valores de | C/R (jw)| y de arg C/R (jw) se determinan directamente de la grafica como los puntos donde la representación de G(jw) interceptan las curvas de los lugares de | C/R (jw)| y arg C/R (jw) constantes (círculos de M y N). Así:
Frecuencia
1.2Hz
2.8 Hz
4.0 Hz
4.8 Hz
6.0 Hz
8.0 Hz
Magnitud
-0.5db
2db
8db
12db
2db
-6.5db
Fase
-6°
-14°
-35°
-90°
-155°
-170°
Fig 3. Respuesta en lazo cerrado
Hay que recordar que los valores que se hallaron son aproximados por lo que se trata de un método grafico pero en algunos casos es suficiente este método.
El método de Nichols también sirve para compensar sistemas inestables fácilmente, simplemente desplazando la grafica de la función de transferencia GH(Jw), sobre la carta de Nichols.
- Manejo de la Carta de Nichols
- Compensación del factor de ganancia
- Técnicas de compensación a través de la carta de Nichols
Se desea que la máxima ganancia del sistema realimentado dado por la siguiente ecuación, sea de 2db:
En primer lugar se realiza la grafica de magnitud contra fase del sistema:
Fig 4. Representación de magnitud Vs fase
Después de esto esta misma grafica se sobrepone en la Carta de Nichols, de la misma forma como se hizo en el ejemplo anterior:
Fig 5. Superposición sobre la carta de Nichols
A partir de esta superposición se puede apreciar que la máxima amplitud del sistema se da a una frecuencia de 1.1Hz, y cuyo valor es aproximadamente 1db.
Como lo que se desea es que la máxima amplitud del sistema sea de 2db, la grafica de magnitud vs fase de la función de transferencia se desplaza hacia arriba hasta lograr que esta curva sea tangente al contorno M constante de 2db (Ver figura 6).
En la grafica 6 se aprecia el desplazamiento que se le tuvo que hacer a la grafica para lograr su tangencia a la curva M de 2db, la medida de ese desplazamiento fue de aproximadamente 4.5db en dirección positiva. Con este valor se puede encontrar el valor de la ganancia adicional que se debe sumar al sistema original para que su respuesta cumpla con las especificaciones del circuito.
Fig 6. Desplazamiento para la compensación de ganancia
Para determinar el valor de la ganancia del sistema compensado se toma la siguiente ecuación:
Donde Ki es el factor de ganancia del sistema original, Kb es el nuevo factor de ganancia que se desea hallar y D es el desplazamiento (en db) que tuvo la grafica magnitud contra fase. Para los valores del ejercicio, ki=2.04 y D =4.5db. Despejando kb para los valores dados se tiene que el nuevo factor de ganancia es de 3.43
Entonces la función de transferencia del sistema ya compensado es:
De la grafica 6 se puede sacar la grafica magnitud contra fase del nuevo sistema realimentado:
Fig 7. Respuesta del circuito
compensado y sin compensar
En el anterior grafico se puede observar el cambio de la respuesta en frecuencia del sistema compensado y del original, viéndose claramente que el sistema compensado cumple con una ganancia máxima de 2db. Sin embargo también se observa que la frecuencia de resonancia también cambia con la compensación de ganancia.
La respuesta en frecuencia de lazo cerrado con la ganancia ajustada, puede tener una frecuencia de resonancia muy diferente a la que se tenia con el sistema original (como se observa en la grafica anterior), y esto puede que no cumpla con las especificaciones que se quieren para el sistema. El siguiente paso en el diseño del sistema es el de compensar el sistema para mejorar la respuesta espectral.
- La información que se puede hallar a través de la carta de Nichols es:
- La estabilidad o inestabilidad del sistema
- Al ser estable, su grado de estabilidad
- El tipo de sistema
- Un método gráfico de determinar C(jw)/R(jw)
- Los contornos M y N constantes se han desarrollado solamente para sistemas de realimentación unitaria
- La carta de Nichols presenta una enorme ventaja en la estabilización de sistemas debido a que con un simple método grafico se logra la estabilidad relativa del sistema.
- Con métodos como la compensación de ganancia, o el método de adelanto o atraso de fase, se logra estabilizar el sistema a las condiciones requeridas.
Nathaniel B. Nichols
Nathaniel Nichols nació en el año de 1914 en Michigan. Realizó sus estudios universitarios en la Universidad Central de Michigan donde obtuvo en 1936 su título de Bachillerato. Posteriormente obtuvo su grado de Master en Física de la Universidad de Michigan en 1937.
En 1937 Nichols empezó a trabajar en Taylor Instruments y junto a John Ziegler determinó un procedimiento para sintonizar los parámetros de un controlador y asegurar la estabilidad y el comportamiento óptimo del sistema. En 1942 ambos publican en ASME Transacción un artículo con los resultados obtenidos de su investigación que después fue llamado "Los parámetros de Ziegler- Nichols para sintonizar un controlador".
Nichols también creó un método gráfico para determinar la ganancia y la fase máxima de un sistema de lazo cerrado a partir de las características del lazo abierto. Esto consiste en la utilización de un gráfico para determinar la información mencionada. Este gráfico es lo que ahora conocemos como la carta de Nichols. Se ha probado que esta carta ha sido la herramienta más útil en la historia del Control. Fue publicada por primera vez en " Theory of Servomechanisms " en el año de 1947.
Este pionero del Control fue galardonado en varias ocasiones por sus aportaciones. Recibió dos doctorados de honor, uno de Case Western Reserve University y otro de la Universidad de Michigan de la cual fue alumno. La carta de Nichols que fue un gran aporte para la historia del Control fue lo que motivó a que Nichols fuera honrado con la creación de la medalla IFAC Nichols, que premia a las personas que han hecho aportes importantes al Control.
- Diestefano Joseph J, Retroalimentación y Sistemas de Control. Los Ángeles: McGraw – Hill, 1972
- Houpis D’azzo, Sistemas realimentados de Control (Análisis y Síntesis). España: Paraninfo, 1980
- Kuo Benjamín, Sistemas de Control Automático. México: Pritic Hall, 1996.
- Lewis Paul, Sistemas de Control en Ingenieria. España: Pretice may, 1999
ANEXO A. ANÁLISIS DE SISTEMAS CON REALIMENTACIÓN NO UNITARIA
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Un sistema realimentado como el que se muestra en la figura, posee una respuesta en frecuencia de lazo cerrado de la siguiente forma:
Si el sistema posee realimentación unitaria, es decir H(jw)=1, el método de Nichols es aplicable a la función C/R(Jw) de lazo cerrado, pero si H(Jw)≠1, el procedimiento que se sigue para poder utilizar el método de Nichols es el siguiente:
Si reemplazamos G(jw)H(jw) por Go(jw) entonces:
Entonces se puede utilizar el método de Nichols para el sistema Co/R(Jw), y después sumar punto a punto a esta respuesta el termino 1/H(Jw).
En el diagrama de bloques esto se representa como:
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ANEXO B. CÓDIGO FUENTE DE LAS GRAFICAS REALIZADAS EN MATLAB QUE HAN SIDO PRESENTADAS EN ESTE TRABAJO
Los códigos están organizados de acuerdo con el número del gráfico:
Figura 1:
H = tf([20 40],[1 3 6 4])
[m,p,w] = nichols(H)
plot(p(:,:), 20*log10(m(:,:)))
axis([-240 0 -12 24])
Figura 2:
H = tf([20 40],[1 3 6 4])
[m,p,w] = nichols(H)
plot(p(:,:), 20*log10(m(:,:)))
axis([-240 0 -12 24])
ngrid
Figura 3:
H = tf([20 40],[1 3 6 4])
R = H/(1+H)
[m,p,w] = nichols(R)
plot(p(:,:), 20*log10(m(:,:)))
axis([-240 0 -12 13])
Figura 4:
s = tf('s')
H = (2.04*(1 + (2/3)*s))/( s*(1+s)*(1+0.2*s)*(1+(0.2/3)*s) )
[m,p,w]=nichols(H)
plot(p(:,:), 20*log10 (m(:,:)))
axis([-300 0 -25 25])
Figura 5:
s = tf('s')
H = (2.04*(1 + (2/3)*s))/( s*(1+s)*(1+0.2*s)*(1+(0.2/3)*s) )
[m,p,w]=nichols(H)
plot(p(:,:), 20*log10 (m(:,:)))
axis([-300 0 -25 25])
ngrid
Figura 6:
s = tf('s')
H = (2.04*(1 + (2/3)*s))/( s*(1+s)*(1+0.2*s)*(1+(0.2/3)*s) )
[m,p,w]=nichols(H)
plot(p(:,:), 20*log10 (m(:,:)))
hold on
plot(p(:,:), (20*log10 (m(:,:)))+4.5 )
axis([-300 0 -25 25])
ngrid
Figura 7:
hold off
s = tf('s')
H = (2.04*(1 + (2/3)*s))/( s*(1+s)*(1+0.2*s)*(1+(0.2/3)*s) )
H1= H/(1+H)
[m,p,w]=nichols(H1)
plot(p(:,:), 20*log10 (m(:,:)), '–')
H = (3.43*(1 + (2/3)*s))/( s*(1+s)*(1+0.2*s)*(1+(0.2/3)*s) )
H1= H/(1+H)
[m,p,w]=nichols(H1)
hold on
plot(p(:,:), 20*log10 (m(:,:)))
axis([-300 0 -15 5])