1) Introducción
Al comenzar el siglo XX, un especialista en Estadística de la Guinness Breweries en Irlanda llamado William S. Gosset deseaba hacer inferencias acerca de la media cuando la fuera desconocida. Como a los empleados de Guinness no se les permitía publicar el trabajo de investigación bajo sus propios nombres, Gosset adoptó el seudónimo de "Student". La distribución que desarrolló se conoce como la distribución t de Student.
Si la variable aleatoria X se distribuye normalmente, entonces el siguiente estadístico tiene una distribución t con n – 1 grados de libertad.
Esta expresión tiene la misma forma que el estadístico Z en la ecuación para la distribución muestral de la media con la excepción de que S se usa para estimar la desconocida.
Entre las principales propiedades de la distribución t se tiene:
En apariencia, la distribución t es muy similar a la distribución normal estandarizada. Ambas distribuciones tienen forma de campana. Sin embargo, la distribución t tiene mayor área en los extremos y menor en el centro, a diferencia de la distribución normal. Puesto que el valor de es desconocido, y se emplea S para estimarlo, los valores t son más variables que los valores Z.
Los grados de libertad n – 1 están directamente relacionados con el tamaño de la muestra n. A medida que el tamaño de la muestra y los grados de libertad se incrementan, S se vuelve una mejor estimación de y la distribución t gradualmente se acerca a la distribución normal estandarizada hasta que ambas son virtualmente idénticas. Con una muestra de 120 o más, S estima con la suficiente precisión como para que haya poca diferencia entre las distribuciones t y Z. Por esta razón, la mayoría de los especialistas en estadística usan Z en lugar de t cuando el tamaño de la muestra es igual o mayor de 30.
Como se estableció anteriormente, la distribución t supone que la variable aleatoria X se distribuye normalmente. En la práctica, sin embargo, mientras el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande y la población no sea muy sesgada, la distribución t servirá para estimar la media poblacional cuando sea desconocida.
Los grados de libertad de esta distribución se calculan con la siguiente fórmula
n-1
Donde n = tamaño de la muestra
Ejemplo: Imagínese una clase con 40 sillas vacías, cada uno elige un asiento de los que están vacíos. Naturalmente el primer alumno podrá elegir de entre 40 sillas, el segundo de entre 39, y así el número irá disminuyendo hasta que llegue el último alumno. En este punto no hay otra elección (grado de libertad) y aquel último estudiante simplemente se sentará en la silla que queda. De este modo, los 40 alumnos tienen 39 o n-1 grados de libertad.
Para leer en la tabla de la distribución t se procede de la siguiente manera:
Usted encontrará los valores críticos de t para los grados de libertad adecuados en la tabla para la distribución t. Las columnas de la tabla representan el área de la cola superior de la distribución t. Cada fila representa el valor t determinado para cada grado de libertad específico. Por ejemplo, con 10 grados de libertad, si se quiere un nivel de confianza del 90%, se encuentra el valor t apropiado como se muestra en la tabla. El nivel de confianza del 90% significa que el 5% de los valores (un área de 0,05) se encuentran en cada extremo de la distribución. Buscando en la columna para un área de la cola superior y en la fila correspondiente a 10 grados de libertad, se obtiene un valor crítico para t de 1.812. Puesto que t es una distribución simétrica con una media 0, si el valor de la cola superior es +1.812, el valor para el área de la cola inferior (0,05 inferior) sería -1.812. Un valor t de -1.812 significa que la probabilidad de que t sea menor a -1.812, es 0,05, o 5% (vea la figura).
2) Ejemplos ilustrativos:
2.1) Determinar el valor crítico de t con lectura en la tabla, Excel y Winstats en cada una de las siguientes condiciones para
Solución:
Con lectura en la tabla
O también el área de una cola se calcula de la siguiente manera:
Calculando los grados de libertad se tiene:
n-1=13-1=12
En la tabla con 12 grados de libertad y 0,025 de área se obtiene un valor de t =2,1788, y por simetría es igual también a t = -2,1788
Para realizar los cálculos en Excel se procede de la siguiente manera:
a) Llenar los datos y hacer los cálculos del área de una cola y de los grados de libertad. Luego insertar función. En la casilla seleccionar una categoría, seleccionar Estadísticas. Seleccionar la función INV.T.
b) Clic en Aceptar. En la ventana Argumentos de la función, en Probabilidad seleccionar B3, y en Grados de libertad seleccionar B6.
c) Clic en Aceptar. Los demás cálculos se muestran en la siguiente figura:
Para resolver con Winstats se procede de la siguiente manera:
a) Clic en Window y luego en Probability seleccionar Student t
b) Clic en Student t
c) Maximizar la ventana de la distribución
d) Para cambiar el color del fondo, clic en Edit + Colors + Window background
e) Clic Window background. En la venta de background seleccionar el color deseado, que este caso se seleccionó el color blanco. Luego clic en Close para cerrar la venta background.
f) Para editar lo grados de libertad, clic en Edit + Parameter…(Parámetros). Clic en Parámetros. En la casilla de la ventana input escribir 12. Clic en ok
g) Para calcular el valor crítico de t, clic en Calc + Probabilities. En la ventana Student calculations, en significanse escribir 0,025 y luego clic en critical x. Clic en close para cerrar la ventana Student calculations.
h) Para escribir textos, clic en Btns. Luego clic derecho en cualquier parte de la ventana y aparece la ventana edit text. En la casilla de la ventana edit text escribir el texto deseado.
i) Clic en ok de la ventana edit text. Luego arrastar con el mause el texto al lugar deseado
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