Operaciones lógicas (página 2)

EJERCICIOS RESUELTOS

Indicar mediante un visto bueno (√) o una aspa (x) según las expresiones siguientes sean o no proposiciones:

1. Quito es la capital de Loreto. F
2. Quisiera que me regalen un libro No es una proposición.
3. La suma de dos números impares es un número par V
4. ¡Señoras y señores! En el escenario, el fútbol femenino No es una proposición.
5. Existe vida en el planeta Mercurio F
6. Un cubo tiene seis caras. V
7. El planeta Venus, el lucero del amanecer. V
8. 17 es divisible por 3 F
9. El Papa Juan Pablo II visitó el Perú en 1985. V

OPERACIONES LÓGICAS

Combinando proposiciones simples obtenemos proposiciones compuestas mediante operaciones lógicas.

Las principales operaciones lógicas son: conjunción, disyunción, negación, condicional y Bicondicional.

A cada una de estas operaciones lógicas le corresponde una tabla de verdad.

1. p q	p Ù q
   V V V F F V F F	V F F F

2. Conjunción. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "y" conforman la proposición compuesta llamada conjunción, la cual se simboliza así: p Ù q.

   p q	p Ú q
   V V V F F V F F	V V V F

3. Disyunción. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "O" conforman la proposición compuesta llamada disyunción, la cual se simboliza así: p Ú q.

   ~ p se lee: no p

   o también: no es cierto que p

   p	~ p
   V F	F V

4. Negación. Dada una proposición simple p, esta puede ser negada y convertirse en otra proposición llamada negación de p, la cual se simboliza así:

   p q	p Þ q
   V V V F F V F F	V F V V

5. Condicional o Implicativa. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "entonces" conforman la proposición compuesta llamada condicional o implicativa, la cual se simboliza así: p Þ q:
6. Bicondicional. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "si y sólo si" conforman la proposición compuesta llamada conjunción, la cual se simboliza así: p « q.

FÓRMULA LÓGICA

Una fórmula lógica es la representación simbólica de una proposición compuesta, las cuales están conformadas por proposiciones simples, conectivos lógicos y signos de agrupación.

Al evaluar una fórmula se confecciona su tabla de verdad. Ejemplo:

Se tiene las siguientes proposiciones:

p: Abigail Alcalde Flores gana la partida de damas.

q: Abigail Alcalde Flores recibe el premio.

Una proposición compuesta empleando p y q será:

"Si Abigail Alcalde Flores gana la partida entonces recibe el premio", la cual se representa simbólicamente así: p Þ q.

Expresiones como: ~ p Þ ~ q

(p Ú q) Þ ~ q

~ (p Ù q) Û (~ p Ú q)

reciben el nombre de fórmulas lógicas.

Al evaluar una Fórmula se confecciona su Tabla de Verdad.

• Si en esta tabla todos los valores de verdad son V, tal fórmula es una TAUTOLOGÍA.
• Si en esta tabla todos los valores de verdad son F, tal fórmula es una CONTRADICCIÓN.
• Si en esta tabla, algunos de los valores de verdad son V y otros son F, tal fórmula es una CONTINGENCIA.

Al evaluar una fórmula debemos tener en cuenta un orden en las operaciones lógicas a realizarse. Empezamos con las operaciones encerradas por los paréntesis interiores, siguen todas las negaciones y luego se avanza de izquierda a derecha.

Es recomendable identificar el conectivo principal de la fórmula que representa la operación final a realizarse. Si en el interior de un paréntesis alguna proposición simple esta precedida por una negación, primero se opera ésta.

He aquí algunos ejemplos resueltos:

1. v v v v v v Desarrollamos (1) condicional

   v v f v f f Desarrollamos (2) conjunción

   v f v f v f Desarrollamos (3) Bicondicional del resultados de

   v f f f v f (1) y (2)

   f v v v v v

   f v f v f f

   f f v v f f

   f f f v f f

   (1) (3) (1)

2. p q r ( p Þ q ) Û ( q Ù r )

   v v f v v v Desarrollamos (1) conjunción

   v f v v v v (2) después de haber negado (1)

   f v v f v v Desarrollamos (3) disyunción

   f v v f f f Desarrollamos (4) condicional del resultado de

   (2) (1) (4) (3) (2) y (3)

   EJERCICIO POR RESOLVER

   Evaluar las siguientes fórmulas lógicas y establecer si se trata de Tautología, Contradicción o Contingencia.

3. p q ~ ( p Ù q ) Þ ( p Ú q )
4. ~ ( p Û q ) Û ( ~ p Û ~ q )
5. ~ [ ~ p Ù q ] Þ q
6. ( p Þ q ) Ù ( ~ p Ú q )
7. ~ ( p Ù q ) Þ [ ( p Ú r ) Þ q ]
8. [ (~ p) Ù (~ r) ] Þ q
9. [ ( p Ú q ) Þ ~ p ] Ù p
10. ( p Ù q ) Þ ( p Þ q )
11. [ (p Ú q) Þ q] Û q
12. ( ~ p Þ q ) Û ( q Ù r )
13. ( p Û r ) Ù ( p Þ q)

CUANTIFICADORES

Es convertir en un enunciado abierto en proposición.

Enunciado abierto.-

• Es aquel enunciado (frase u oración) que incluye una o varias variables, y de acuerdo a la que emplee podrá ser falso o verdadero.
• Es aquella expresión que tiene al menos una variable la que al ser reemplazada por constantes transforma el enunciado abierto en una proposición.
• Si empleamos x como variable, un enunciado abierto se representa así: p(x), lo que leemos como " p de x ".

Ejemplo:

Sea el enunciado abierto:

P(x) = "x +1 es un número múltiplo de 2 "

Ahora damos valores a x:

• Si x = 3, P (3) = 3 + 1 = 4 "4 es múltiplo de 2", proposición verdadera.
• Si x = 4, P (4) = 4 + 1 = 5 "5 es múltiplo de 2", proposición falsa.
• Si x = 5, P (5) = 5 + 1 = 6 "6 es múltiplo de 2", proposición verdadera.

Al enunciado abierto también se le llama Función Proposicional.

Existen dos tipos de cuantificadores:

• Cuantificador Universal

El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un número múltiplo de 2 "; si cuantificamos universalmente escribimos:

• " todo x + 1 es un número múltiplo de 2 "
• " para todo x + 1 es un número múltiplo de 2 "
• " para cualquier x + 1 es un número múltiplo de 2 "

Esta ya es una proposición pero FALSA porque hay números x + 1 que no necesariamente son múltiplos de 2.

" significa "para todo", "todo" o "para cualquier"

• Cuantificador Existencial

El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un número múltiplo de 2 "; si cuantificamos existencialmente escribimos:

• " Existe por lo menos un número x + 1 es un múltiplo de 2 "

Esta ya es una proposición aunque ahora si VERDADERA porque por lo menos existe un número que reemplazado por x en x + 1 nos da un múltiplo de 2.

$ significa "existe por lo menos" o "existe"

PROPOSICIONES LÓGICAS EQUIVALENTES

Si dos proposiciones p y q tienen tablas de verdad idénticas entonces podemos afirmar que tales proposiciones son equivalentes:

Esto se simboliza p º q

Ejemplo: La proposición compuesta p Þ q es equivalente a la proposición compuesta.

( ~ p) Ú q

p Þ q º (~ p) Ú q

Entonces en una fórmula lógica podemos ahorrar tiempo y espacio si reemplazamos:

p Þ q º ( ~ p) Ú q o viceversa.

Las equivalencias lógicas más importantes son:

1. p Ú p º p
2. p Ú V º V
3. p Ú F º p
4. p Ú q º q Ú p
5. p Ú (~ p) º V
6. ~ (~ p) º p
7. ( p Ú q ) Ú r º p Ú ( q Ú r )
8. p Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù ( p Ú r )
9. p Ù p º p
10. ( p Ù q ) Ù r º p Ù ( q Ù r )
11. p Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú ( p Ù r )
12. p Ù F º F
13. p Ù V º p
14. p Ù (~ p) º F
15. p Ù q º q Ù p
16. ~ ( p Ú q ) º (~ p) Ù (~ q)
17. ~ ( p Ù q ) º (~ p) Ú (~ q)
18. p Þ q º (~ p) Ú q
19. p Þ q Þ ( ~ q) Þ ( ~ p)
20. p Ù ( p Ú q ) º p
21. p Ú ( p Ù q ) º p
22. p Û q º ( p Þ q ) Ù ( q Þ p )
23. p Û q º ( p Ù q ) Ú [ ( ~ p ) Ù ( ~ q ) ]
24. ~ V º F ; ~ F º V

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. 1. Los números pares son divisible por 2.
   2. Los números impares son divisibles por 2.
   3. La semana tiene 8 días.
   4. Cuan profundo es mi amor.
   5. Mario Vargas Llosa es español.
   6. ¡Tú puedes, no desistas!
   7. Lima, la tres veces coronada ciudad de los reyes.
   8. El cuadrado es un cuadrilátero.
   9. No todo número primo es impar.
   10. Alberto Fujimori, por qué has llegado tarde.
   11. ¡Has ganado una computadora!
   12. El año tiene 12 meses.
   13. Todas las semanas tiene 7 días.
   14. Alan García Pérez viajo a Roma o Brasil.
   15. Si me caso, entonces no seré soltero.
   16. No es cierto que la ciudad de Lima está en la costa.
   17. El Sol es un astro o el día tiene 24 horas.
   18. 2 + 3 = 7 ó 22 + 32 = 52
   19. 6 es mayor que 7, ó 5 es menor que 8.
   20. El triángulo tiene 3 lados o el cuadrado solo 3 lados.
2. Indique cuál de las siguientes expresiones es una proposición, si fuera así cual de ellas son proposiciones simples y cuales son proposiciones compuestas. Señale además su valor de verdad correspondiente.

   [ ( ~ p Ú ~ q ) Þ ( ~ r Ú q ) ] Þ ( p Þ ~ r )

3. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera (v), q es falsa (F) y r es falsa (F). Indique el valor de verdad de la proposición:
4. De las siguientes proposiciones ¿Cuáles son tautologías?

2. ( p Þ q ) Þ [ ( ~ p ) Ú q ]
3. [ ~ ( p Ù q ) Þ ( ~ q Ù q ) ] Þ p
4. [ ( p Ù q ) Ú ( ~ q ) ] Þ ~ p

1. 1. ( p Û q ) Þ ( r Ù s )
   2. ( p Ù q ) Þ ( r Û s )
   3. ~ p Û ( r Ù q )
   4. ~ q Û ( p Ù s )
   5. ~ s Û ( p Ú q )
2. Sabiendo que las proposiciones p y r son proposiciones verdaderas y las proposiciones q y s son proposiciones falsas; indicar cuantas de las siguientes proposiciones son falsas:
   • ( p Ú q )
   • ( p Þ q ) Ù q
   • [ ( p Ú q ) Þ ( p Ù q ) ] Û ( p Þ ~ q )
   • ( ~ p ) Þ ( p Ú q )
   • ( ~ q ) Û ( p Ù ~ p )

    

    

    

   Autor:

   Eddy Rubem Alcalde Rumiche

3. Si se sabe que la proposición p Ù q es verdadera, entonces cuantas de las proposiciones dadas son falsas: