Diseño electrónico de reles de protección para minicentrales hidroeléctricas (página 2)

Estos voltajes son muy elevados para ser entradas de un comparador compuesto por un amplificador operacional 741 que es el que estoy utilizando, es así que se fijara que para una entrada de 220V se tenga una tensión a comparar de 9V, esto se logra utilizando un divisor de tensión. De la misma manera, para obtener una tensión de referencia se utilizara un diviso r de tensión con potenciómetro incluido a partir de la salida del regulador, es así que el comparador quedaría de la siguiente manera: Fig.2 Comparador de máxima tensión.

Para calcular los valores de R1 y R2 se partirá de la premisa que: Vb = 9V cuando VG = 220V, ósea Vs= 16.97V de tal manera que si VR2 = Vb = 9V, entonces VR1 = 7.97V, por lo que las resistencias tendrán una relación igual a: VR1 R 7.97 VR2 R2 9 De donde se obtiene valores iniciales de: R1= 7.97K? y R2 = 9K?.

Pero teniendo en cuenta que los valores comerciales de las resistencias son múltiplos y submúltiplos de:

Se aproxima R1 y R2 teniendo los siguientes resultados: R1 = 16 K? y R2 = 18 K? Para calcular los valores de R3 y R4 se debe tener en cuenta que el potenciómetro P sirve para variar la tensión de referencia desde un valor que represente 180V hasta otro que represente 240V tal como dice en las especificaciones del capitulo anterior para el relé de máxima y mínima tensión. Teniendo en cuenta que para el divisor de tensión diseñado anteriormente 220V se representa por 9V, entonces 180V será 7.35V y 240V será 9.8V. Por consiguiente para la tensión de referencia el potenciómetro debe tener la capacidad de variar entre la tensión mínima (7.35V) y la tensión máxima (9.8V), por lo que se tiene: Fig.3 Tensión mínima. Fig. 4 Tensión máxima. Formulando ecuaciones para hallar los valores de R3, R4 y P se tiene: VR3 +V R4+VP =12………………(1) VP +VR4 = 9.8……………………(2) VR4 = 7.35…………………………(3)

Entonces reemplazando (3) en (2): VP + 7.35 = 9.8 ? VP = 2.45………. ……( 4)

Reemplazando (3) y (4) en (1): VR3 + 7.35+ 2.45 =12 ?VR3 = 2.2

Por consiguiente se tiene valores iniciales de: R3=2.2 K?, R4=7.35 K? y P=2.45 K?.

Teniendo en cuenta los valores comerciales de las resistencias se multiplica por 2 a todos los valores iniciales para mantenerlos en la misma relación y aproximando valores se tiene los siguientes resultados: R3=4.3 K?, R4=15 K? y P=5 K?.

Entonces el comparador de máxima tensión quedaría de la siguiente manera: Fig.5 Comparador de máxima tensión con valores de resistencias especificados.

Para el comparador de mínima tensión los valores de las resistencias son las mismas, la diferencia radica en que la tensión de referencia se conecta a la entrada positiva (pin3 del 741) y el voltaje a medir se conecta a la entrada negativa (pin2 del 741), entonces el comparador de mínima tensión quedaría de la siguiente manera: Fig. 6 Comparador de mínima tensión.

Es así que el circuito completo para el relé de mínima y máxima tensión seria el siguiente:

Fig. 7 Relé de máxima y mínima tensión

IP(t) + V1(t) dV1(t) + 1 + 1 = – P A continuación se muestra algunas fotografías de la implementación del relé de máxima y mínima tensión . Fig.8 Implementación del Relé de Máxima y Mínima Tensión

3. DISEÑO DEL RELÉ DE FRECUENCIA

Fig. 9 Diagrama de Bloques para el Relé de Frecuencia

Para realizar el diseño del Relé de Frecuencia, se hará bloque por bloque.

Conversor de Frecuencia a Voltaje: Para el conversor de Frecuencia a voltaje tenemos las siguientes etapas: a) Conversión seno/cuadrado-TTL: Como lo importante es medir la frecuencia de la señal del alternador, es necesario que el procesamiento analógico subsiguiente sea independiente de su amplitud, por lo que se convierte a una onda cuadrada de la misma frecuencia, primero bipolar (+Vsat y –Vsat) mediante un operacional como comparador, para luego, mediante un transistor y una fuente de 5 voltios convertirla a TTL. b) Una vez que se tiene una onda TTL de la misma frecuencia que la señal del alternador, se debe generar un pulso cuadrado de duración definida t por cada período de la señal, utilizando un monoestable basado en el temporizador 555: Fig. 10 Ondas del pulso generado para cada periodo de la señal del generador c) Filtro pasabajo de corriente: Esta última etapa convierte en voltaje el valor medio del pulso de corriente utilizando un operacional en configuración inversora con un condensador y una resistencia en el camino de realimentación, la señal de entrada y salida de esta última etapa se muestran a continuación: Fig..11 Señal del monoestable y el filtro

A la última etapa le añadimos un filtro pasabajo de tensión y un amplificador inversor adicional de ganancia cercana a 2 para tener un voltaje positivo proporcional a la frecuencia y aumentar el nivel de la señal, por si sea necesario para las etapas posteriores del controlador de frecuencia.

Fundamento Matemático Del Convertidor De Frecuencia A Voltaje CD: Matemáticamente, el principio de funcionamiento del conversor de frecuencia a voltaje CD queda demostrado con la ecuación (8). El conmutador controlado dejará pasar una corriente IP =1.8mA hacia el integrador analógico cada vez que se presente un flanco de bajada en la señal del alternador durante la constante de tiempo del monoestable talta . A la salida del operacional tendremos un voltaje continuo V1(t). Para la demostración matemática el conversor de frecuencia aplicamos la ley de corriente en el punto de 2 del amplificador operacional de la figura 4-06, y tenemos la siguiente ecuación. IP(t)+ I1(t)+ I2(t) = 0 +C = 0 R dt Despejando la corriente tenemos: C I (t) C V (t) RC V (t) R V1(t) dt dV1(t) dt = -IP(t) Aplicando la transformada de laplace a la ecuación queda de la siguiente forma. 1 C 1 RC V1(s) = – sV1(s) + £{i(s)} ……………….. (5) Según la forma de señal de la corriente de saturación I p(t) en la entrada del pin 2 del amplificador operacional. Con esta función de corriente, demostraremos una ecuación de tensión de salida en el pin “1” del amplificador que es proporcional a la frecuencia de señal del alternador.

£{ ) (t i }= p …} )) ( ( ) ( { )} ( ) ( [{ + + – – – + – – alta alta t t t T t t t t I µ µ µ µ ))} ( ( ) ( { alta p t nT t nT t I + – – – ? µ µ ) ( e e alta t nT s snT + – – ( s I p – ? £{ ) (s i } = 0 n= ? 1 ? ? ? 8 1 ? ? – – – ? st snT alta e e ) ( 1 ) )( )( ( ? – = s V ) ( 1 ? ? ? + 4 2 1 C s 1 0 ? ? 3 4 s 1 x ex + + = + 3 2 x x – ) ( snT ?e ? = A= =0 n ) ( snT – [ ] ? ? – ) ( i alta st ? – = – ? – 1 ) ( 1 st e alta ? ? ? =0 ! i i ) ( ) ( 3 2 alta alta st st ! 3 ! 2 ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 2 T n s 2 alta t s 3 alta t s p I ?? ? ? 1 C ? ? s ? ? + s ? ? ? 1 p I ? ? ? 2 2 2 T n s 2 alta t s 3t s ? ? ? + 1 C s ? + – ? + – ? ? – = …. …… 1 ) ( ) ( alta alta t snT s V ? ? ? ? ? ? ? RC max C P I = es como sigue. corriente V V CEQ 18 3 – R8 0 3 ˜ CEQ V IP = 1.8mA = ? ? ? 2 2 2 T n s ? ? ? 3 alta t s 2 alta t s p I ? ? 1 ? ? + – ? ? + – ? ? – = …… 1 ) ( 1 alta t snT Lim s V ! 3 ! 2 ! 2 ? ? ? ? ? ? + sC alta p CC t I R V * * 1 – = f t R I t V alta p * * * ) ( 1 – = , O = K R 10 6 6 5 * 1 . 1 R C talta = ? ? ? B ? ? ! ] La función u (t) es el escalón unitario o función de Heaviside. Despejado tenemos lo siguiente 8 £{i(t)} = n Resolviendo esta ecuación en función de transformada de laplace queda de la siguiente manera. 8 ) s Remplazando en la ecuación de (5) tenemos que ? ? IP n= 1 4243? ? RC ? A Considerando como series exponenciales de … ( 2! 3! ) a los valores de A y B de la ecuación 4-08 tenemos lo siguiente:

8 8 i -snT i=0 i! 2 +1- snT + …….. A= 2! 8

B= stalta – + …… B=

Ahora remplazando los valores de A y B en la ecuación (6) ? ? 2 3 V1(s) = -? ( ) 1- snT + ……?( )?stalta – + ….? 2! 2! 3! ? RC ? ? ? 2 3 2! 2! 3 (7)

El valor de CD o componente continua de este voltaje se halla tomando el límite a cero para la variable s (frecuencia cero) a la ecuación (7). ? ? 2 3 s?0 ? R ? /T

(8)

Esta es la ecuación general que hemos demostrado matemáticamente del conversor de frecuencia a voltaje CD de la salida en la primera etapa del amplificador operacional. Como podemos analizar que es proporcional a la frecuencia de la señal del alternador. Ahora remplazando por sus valores respectivos de IP =1.8mA R = 8.1KO talta =1.1mSeg. Tenemos una ecuación proporcional a la frecuencia del alternador como se muestra en la ecuación siguiente V1(t) = 0.0161* f (9)

Diseño y elección de los componentes del convertidor de frecuencia a voltaje: En los siguientes cálculos, seleccionaremos los dispositivos con sus respectivos parámetros de potencia. El circuito temporizador NE/SE 555 monolítico es altamente estable capaz de producir retardos exacto de tiempo, u oscilaciones. Primer cálculo, determinación de la corriente del pulso monoestable: A continuación hallaremos el valor de la corriente IP(t) de saturación del transistor Q3 . Por catálogo de diseño sabemos que los transistores de baja potencia tienen una corriente IC max ˜ 200mA. Para que el transistor Q3 funcione como conmutador, lo recomendable es que la corriente de colector en saturación IP tiene que ser mucho menor que la corriente IC max, en este caso lo I recomendable es que 100 , remplazando el valor tenemos la corriente IP = 2mA. Según la ley del Ohm del circuito de la figura 4-06 la I p

= 2mA , donde en estado de saturación. EntoncesR8 = 9KO (Este es el valor de la resistencia R8 que comercialmente en el mercado no se consigue, pero sí encontramos de 10KO, entonces asumiendo este valor de la resistencia hallaremos la corriente de saturación IP real del transistor Q3. 18V 10k? . Esta es el valor real de la corriente de saturación del transistor Q3 que hemos hallado para remplazar en la ecuación (8).

Segundo cálculo, determinación de la duración del pulso monoestable: Calcularemos el tiempo de la señal alta rectangular del temporizador monoestable 555, seleccionando los siguientes valores de C5 = 0.1µf

(10) Remplazando lo valores tenemos el siguiente resultado talta =1.1(0.1µf )(10KO) talta =1.1mSeg. Tercer cálculo, determinación de la resistencia R en el filtro pasabajo de corriente del convertidor f/v:

R10 = 3.3KO Rfijo + variable = 8.1KO V1 = ? ? ?* V1 = ? ?*21 R fijo + = 8.1KO I POTENCIOMETRO = = 3.6mA ICQ1 = 2mA 0.125 = *I1 R3 =15KO 5V -VCEQ1 VCEQ1 = 0 ICQ1 = =1.28mA P = R3*I1 En el diseño del conversor de frecuencia a voltaje CD se obtuvo experimentalmente un valor muy importante. En la primera etapa del conversor de frecuencia de 1 V para 62.3 Hz de la señal del alternador. Este valor es muy importante porque nos ayuda calcular la resistencia R de la ecuación (8). V1 = -I p *R*talta * f Como dato tenemos I p =1.8mA talta =1.1mSeg. 1V= (1.8mA) (R ) (1.1mS)(10/5.5)(62.3Hz) R˜8.1KO (Esta resistencia es la suma de las resistencias de más la variación del potenciómetro R11de 10KO. Estos valores podemos justificar de la siguiente manera: Asumimos el valor de un potenciómetro de 10KO por ser un valor muy comercial, fácil de conseguir. Según la gráfica tenemos una relación de la ecuación R 2 (11) Remplazando los valores tenemos lo siguiente 10 2 R fijo = 3.1KO (Esta resistencia no es lo comercial, pero sí asumimos un valor comercial de 3.3KO) Rfijo = 3.3KO Ahora remplazando los valores hallados de la ecuación (8) resulta ser proporcional a la frecuencia del alternador como lo muestra la ecuación

Cuarto cálculo, determinación de las resistencias del divisor de tensión: Como primer parámetro del diseño tenemos que la máxima amplitud de señal ingreso del amplificador operacional es de 18 Voltios según el catálogo de diseño. V1 =18 Voltios P = 0.125Vatios (Valor asumido por conveniencia a la mitad de una resistencia de ¼ de vatio que es 0.250 vatios) *I1 V1 2 P = Remplazando el valor correspondiente hallaremos la corriente eficaz nominal. 18 2 I1 =10mA La única manera de evitar el valor máximo eficaz de la corriente I1es restringiendo la corriente I1. Para ello asumiendo los valores muy elevadas de las resistencias R3 y R2 como se demuestra a continuación. (Valor asumido) 2 0.125 =15K *I1 2 I1 = 3mA ? Como puede observar este valor de la corriente I1de 3mA es mucho menor que el valor nominal, con este valor se puede garantizar que las resistencias del divisor de tensión no se deterioren con el tiempo. El valor que calcularemos es el de R2, para que la tensión pico a la entrada del operacional no sobrepase los 18 voltios. Este valor nos garantiza una tensión aceptable del señal (V1) en el amplificador.

Como parámetro de dato experimental tenemos que la tensión del alternador en vacío es de 21 voltios, con este valor ya podemos demostrar un valor muy importante. La señal de ingreso (V1 ) del amplificador operacional. Por división de tensión tenemos la señal de ingreso al amplificador. ? R3 ? ? R3 + R2 ? (Señal del alternador) ? 15 ? ?10 +15? V1 =12.6 Voltios eficaz. V1 =17.8 Voltios de Amplitud.

Estos dos valores hallados nos da la garantía que el amplificador operacional trabajará dentro de sus valores de diseño.

Quinto cálculo, determinación del potenciómetro para el umbral de tensión: Para evitar que pequeñas tensiones de ruido ingresen al convertidor F/V a través del convertidor de senoidal a cuadrado, se requiere una señal de referencia que defina un umbral de tensión, se asume un potenciómetro de 10KO y luego calculamos la corriente de consumo para elegir la potencia máxima del potenciómetro. 18V -(-18V) 10kO WPOTENCIOMETRO =V *I = 36V *3.6mA = 0.129W Entonces asumimos: Wpotenciómetro ˜ 0.5Vatios Sexto cálculo:Como ya se ha mencionado anteriormente para que el transistor Q1 de baja potencia trabaje en el estado de conmutación, lo conveniente es que . Por la ley de tensiones tenemos que 5=R5 *ICQ1 +VCEQ1 R5 = 2mA Donde por estado de saturación R5 = 2.5KO Este valor no se encuentra comercialmente en el mercado, pero sí el valor de 3.9KO , entonces asumiremos este valor para determinar la corriente de ICQ1 5V 3.9KO

Séptimo cálculo, determinación de la resistencia de base de Q1:

C +C2)*R5