Las Cónicas

Introducción

Gérard Desargues (Lyon, 1591 –Lyon, 1661). Matemático y arquitecto francés. Profesor de matemáticas en París. Fue el iniciador de le geometría proyectiva. Estableció la teoría de la involución sobre una recta, de la que se deduce el teorema que lleva su nombre para un haz puntual de cónias y formuló el teorema sobre los triángulos homológicos que también llevan su nombre. Introdujo la idea de el punto en el infinito de una recta que hace posible identificar en términos proyectivos un cilindro con un cono de vértice en el infinito.

La parábola

La parábola, la elipse y la hipérbola se denominan secciones cónicas o simplemente cónicas.

La parábola (del griego pa?aß???) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia en el punto fijo del plano que no pertenece a la recta.

El punto fijo se denomina foco y la recta fija directriz de la parábola. Tal como puede observarse en la figura designemos por F y l el foco y la directriz de una parábola, respectivamente. La recta A que pasa por F y es perpendicular a l se le denomina eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF está, por definición, sobre la parábola. Este punto se llama vértice de la parábola. El segmento de recta, tal como BB', que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por el foco como CC", se denomina cuerda focal. La cuerda focal LL" perpendicular al eje se llama lado recto. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto se llama radio focal de P o radio vector.

• ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

La ecuación de una parábola adopta su forma más simple cuando su vértice está en el origen y su eje coincide con uno los ejes coordenados.

Tal como puede observarse en la figura 2.1, consideremos la parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X. Sean (p,O) sus coordenadas. Por definición de parábola la ecuación de la directriz l es x= -p.

Sea P (x,y) un punto cualquiera de la parábola. Tracemos por P el segmento PA perpendicular a l. Entonces, por la definición de parábola el punto P debe satisfacer la condición

Evidentemente la parábola considerada pasa por el origen y n tiene otra intersección con los ejes coordenados. La única simetría que posee es con respecto al eje X. Despejando y de la ecuación tenemos

Por lo tanto para valores reales y diferentes de cero, p y x deben ser del mismo signo.

Fig. 2-1

Si p>0, deben excluirse todos los valores negativos de x, y toda la curva se encuentra a la derecha del eje Y. Como no se excluye ningún valor positivo de x, y como y puede tomar todos los valores reales se obtiene una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y a la arriba y abajo del eje X. En este casos se dice que la parábola se abre hacia la derecha.

Análogamente, si p<0, todos los valores positivos de x deben excluirse en la ecuación y la curva aparece a la izquierda del eje y tal como puede observarse en la figura 2.1. En este caso se dice que la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el eje Y, se demuestra que la ecuación de la parábola es

Tal como puede observarse en la figura 2-2, si p>0, la parábola se abre hacia arriba.

Si p<0, la parábola se abre hacia abajo tal como se observa en la figura 2-3.

Tal como puede observarse en la figura 2-4, consideremos la parábola cuyo vértice es el puto (h,k) y cuyo eje es el paralelo al eje x.

Si los ejes coordenados se trasladan de modo que el nuevo origen 0" coincide con el vértice (h,k), la ecuación de la parábola con respecto alos nuevos ejes X" e Y" vendrá dada por