a a o a a a a a a a o a a a i Una Simple Mec´nica Cl´sica Rotacional Antonio A. Blatter Licencia Creative Commons Atribuci´n 3.0 (2015) Buenos Aires Argentina En mec´nica cl´sica, este trabajo presenta una simple mec´nica cl´sica rotacional que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Introducci´n i) Poder hallar de la manera m´s sencilla posible la velocidad angular ? de cualquier sistema de N part´iculas (sea un cuerpo r´igido o no) respecto a cualquier sistema de refe- rencia inercial o no inercial de manera tal que no sea necesario utilizar una componente radial y otra componente angular en cada una de las part´iculas del sistema. ii) Posteriormente, poder desarrollar una din´mica rotacional lo m´s sencilla posible que se pueda aplicar en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Opci´n A Cinem´tica En mec´nica cl´sica, para cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial) la velocidad angular ? de cualquier sistema de N part´iculas (que gira sobre su centro de masa) respecto al sistema de referencia S es igual a la velocidad angular ?S de un sistema de referencia S’ (que gira sobre su origen O’) respecto al sistema de referencia S de manera tal que el origen O’ del sistema de referencia S’ coincida siempre con el centro de masa del sistema de part´iculas y que el momento angular L del sistema de part´iculas respecto al sistema de referencia S’ siempre sea igual a cero. Por lo tanto, el momento angular L del sistema de part´iculas respecto al sistema de referencia S’ siempre es igual a cero. L = mi ( ri × vi ) = 0 1
i e a r ¯ r o r v r i i ¯r r r r r r r r i i ¯r r r r r r r r a i i i i ¯r ¯r r r r r r r r ¯ iculas r r r i i ¯r i i r r r Ahora, la posici´n ri y la velocidad vi de la i-´sima part´icula respecto al sistema de referencia S, est´n dadas por: ri = ri – R = (ri – R) = ¯i vi = vi – ?S × ri – V = (vi – V) – ?S × (ri – R) = vi – ?S × ¯i donde R y V son la posici´n y la velocidad respectivamente del centro de masa del sistema de part´iculas respecto al sistema de referencia S. Sustituyendo ri y vi en la primera ecuaci´n, se obtiene: mi [ ¯i × (¯i – ?S × ¯i )] = 0 mi (¯i × vi ) – mi [ ¯i × (?S × ¯i )] = 0 Puesto que ¯i × (?S × ¯i ) = |¯i |2 ?S – (?S · ¯i ) ¯i , resulta: mi (¯i × vi ) – mi [ |¯i |2 ?S – (?S · ¯i ) ¯i ] = 0 Como ?S = 1 · ?S (tensor unitario) y (?S · ¯i ) ¯i = (¯i ? ¯i ) · ?S (producto tensorial o di´dico) entonces: mi (¯i × vi ) – mi (¯i × vi ) – mi [ |¯i |2 1 · ?S – (¯i ? ¯i ) · ?S ] = 0 mi [ |¯i |2 1 – (¯i ? ¯i ) ] · ?S = 0 Si de?nimos a i mi (¯i × vi ) como el momento angular L del sistema de part´ respecto al sistema de referencia S y a i mi [ |¯i |2 1 – (¯i ? ¯i ) ] como el tensor de inercia I del sistema de part´iculas con respecto al punto R, entonces queda: L – I · ?S = 0 Despejando ?S y como la velocidad angular ?S del sistema de referencia S’ respec- to al sistema de referencia S es igual a la velocidad angular ? del sistema de part´iculas respecto al sistema de referencia S, ?nalmente se obtiene: ? = I-1 · L a = d(?)/dt L = mi (¯i × vi ) = mi [(ri – R) × (vi – V)] I = mi [ |¯i |2 1 – (¯i ? ¯i ) ] = mi [ |(ri – R)|2 1 – (ri – R) ? (ri – R) ] El sistema de part´iculas puede ser cualquier sistema de part´iculas (sea un cuerpo r´igido o no) y si el sistema es de 1 sola part´icula entonces el momento angular y la velocidad angular siempre son iguales a cero. 2
a a a a i i i i i i i i i o a a o o Din´mica En mec´nica cl´sica, para cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial) el momento angular L de un sistema de N part´iculas, est´ ahora dado por: L = mi [(ri – R) × (vi – V)] = mi [(ri – R) × vi ] = mi [ ri × (vi – V)] Derivando con respecto al tiempo, resulta: d(L)/dt = mi [(ri -R)×(ai -A)] = mi [(ri -R)×ai ] = mi [ ri ×(ai -A)] Utilizando solamente la segunda igualdad, se tiene: d(L)/dt = mi [(ri – R) × ai ] Ahora como en todo sistema de referencia inercial ai = Fi /mi (as´ como en todo sistema de referencia no inercial considerando a las fuerzas ?cticias) ?nalmente se obtiene: d(L)/dt = [(ri – R) × Fi ] = M Opci´n B En mec´nica cl´sica, para cualquier sistema de referencia S con origen O (inercial o no inercial) la velocidad angular ? de cualquier sistema de N part´iculas (que gira sobre el origen O) respecto al sistema de referencia S es igual a la velocidad angular ?S de un sistema de referencia S’ (que gira sobre su origen O’) respecto al sistema de referencia S de manera tal que el origen O’ del sistema de referencia S’ coincida siempre con el origen O del sistema de referencia S y que el momento angular L del sistema de part´iculas respecto al sistema de referencia S’ siempre sea igual a cero. El desarrollo de la opci´n B es el mismo que el desarrollo de la opci´n A y las ecuaciones de la opci´n B son las mismas que las ecuaciones de la opci´n A con la particularidad que R, V y A siempre son iguales a cero, ya que ahora no representan la posici´n, la velocidad y la aceleraci´n del centro de masa del sistema de part´iculas respecto al sistema de referencia S sino que representan la posici´n, la velocidad y la aceleraci´n del origen O del sistema de referencia S respecto al sistema de referencia S. La ventaja de la opci´n B es que el momento angular y la velocidad angular de un sistema de 1 sola part´icula no siempre son iguales a cero. 3
a a a i i i i i i i Generalizando En mec´nica cl´sica, para cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial) el momento angular L de cualquier sistema de N part´iculas (sea un cuerpo r´igido o no) con respecto a un punto O (con posici´n Ro y velocidad Vo ) est´ ahora dado por: L = mi [ (ri – Ro ) × (vi – Vo ) ] d(L)/dt = Mo = mi [ (ri – Ro ) × (ai – Ao ) ] [ (ri – Ro ) × (Fi – mi Ao ) ] I = mi [ |(ri – Ro )|2 1 – (ri – Ro ) ? (ri – Ro ) ] Por lo tanto, en cualquier sistema de N part´iculas, se tiene: L = I · ? M = I · a ? = I-1 · L a = I-1 · M M = Mo + M1 + M2 Mo = + M1 = – M2 = + [ (ri – Ro ) × (Fi – mi Ao ) ] mi (ri – Ro ) × { 2 ? × (vi – Vo ) } mi (ri – Ro ) × { ? × [ ? × (ri – Ro ) ] } Por lo tanto, se deduce que el momento angular L de un sistema aislado de N part´iculas permanece constante si los momentos internos Mo (int) logran anularse. 4
a o a o o o o o o Observaciones Estas ecuaciones son v´lidas en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Los sistemas de referencia inerciales nunca deben introducir las fuerzas ?cticias sobre Fi y los sistemas de referencia no inerciales siempre deben introducir las fuerzas ?cticias sobre Fi . La magnitud M contiene un momento ((real)) ( Mo ) y dos momentos ((?cticios)) ( M1 y M2 ) Los sistemas de referencia inerciales y los sistemas de referencia no inerciales siempre deben introducir los momentos ((?cticios)) sobre M. La magnitud M puede hallarse a partir de [ d(L )/dt = i mi ( ri × ai ) = 0 ] (Opci´n A) utilizando el mismo procedimiento que se utiliz´ para hallar ? pero esta vez es para hallar a (considerando que a = aS ) Al trabajar con cualquier sistema de N part´iculas (sea un cuerpo r´igido o no) entonces casi nunca el tensor de inercia I puede permanecer constante. La ecuaci´n Mo = i [ (ri – Ro ) × (Fi – mi Ao ) ] solamente puede ser v´lida si Ao es igual a cero o si Ao puede quitarse de la ecuaci´n. En cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial) la elecci´n del punto O es libre pero teniendo en cuenta el punto anterior. Si el punto O es el origen del sistema de referencia S entonces Ro , Vo y Ao siempre son iguales a cero. Si el punto O es un punto ?jo o si tiene velocidad vectorial constante respecto al sistema de referencia S entonces Ao es igual a cero. Si el punto O es el centro de masa del sistema de part´iculas entonces Vo y Ao se pueden quitar de las ecuaciones ya que las ecuaciones obtenidas son iguales a las ecuaciones originales. La velocidad angular ? de cualquier sistema de part´iculas (respecto al punto O) siempre es igual a la velocidad angular ?S de un sistema de referencia S’ (cuyo origen siempre coincide con el punto O) en el cual el momento angular L del sistema de part´iculas siempre es igual a cero. La aceleraci´n angular a de cualquier sistema de part´iculas (respecto al punto O) siempre es igual a la aceleraci´n angular aS de un sistema de referencia S’ (cuyo origen siempre coincide con el punto O) en el cual el momento angular L del sistema de part´iculas siempre es igual a cero. 5