Presentación Objetivo general Presentar una introducción a los fundamentos de filtros digitales, así como sus parámetros importantes y clascificación. Temática Introducción al procesamiento digital de señales y a los filtros digitales. Metodología Presentación general de la temática, discusión del tema por parte de los estudiantes.
Contenido de la presentación Introducción a los fundamentos de filtros digitales. Conceptos básicos. ¿Cómo se representa la información en las señales? Parámetros en el dominio del tiempo. Parámetros en el dominio de la frecuencia. Filtros Pasa Altos, Pasa Banda, Rechaza Banda. Clasificación de filtros.
Introducción a los filtros digitales Definiciones. El término filtro es comúnmente usado para describir un dispositivo que discrimina, acorde a algún atributo los objetos aplicados a su entrada (Proakis, Manolakis, 1996).
En general, el filtrado es el procesamiento sobre una señal en el dominio del tiempo que ocasiona algún cambio en el contenido espectral de la señal original. Con el objetivo de reducir o filtrar ciertos componentes espectrales no deseados. (Lyons, 2004).
Una aplicación de un sistema discreto LTI es dejar pasar ciertos componentes de frecuencia de una secuencia de entrada sin ninguna distorsión (si es posible) y bloquear otros componentes de frecuencia. Esos sistemas se llaman filtros. (Mitra, 2005)
Introducción a los filtros digitales Los propósitos generales de los filtros digitales son:
Separación de señales que han sido combinadas.
Restauración de señales que han sido distorsionadas de alguna manera. (Smith, 1999)
Introducción a los filtros digitales La separación de señales es necesaria cuando una señal ha sido contaminada con interferencia, ruido
Un ejemplo se puede encontrar, cuando se quiere examinar el latido del corazón de un bebe cuando se encuentra aún en el útero de su madre. Se hace un dispositivo que discrimine entre el latido del corazón de la madre con la del bebe.
Introducción a los filtros digitales La restauración de una señal se usa cuando la señal ha sido distorsionada de alguna manera. Un ejemplo de ello, es cuando se trata de restaurar una señal de audio, contaminada con el ruido que se produce por la mala calidad de la grabadora, o por ejemplo en una imagen que ha sido contaminada con ruido granular, o por lentes mal enfocados.
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Conceptos básicos Cada filtro lineal tiene una respuesta al impulso (impulse response), una respuesta al escalón unitario (step response), y una respuesta en frecuencia (frequency response) . Cada una de estas respuestas contiene una información completa de todo el filtro. Estas representaciones son importantes, porque describen como reaccionará el filtro bajo diferentes circunstancias.
Conceptos básicos Figura 1.1. En el siguiente gráfico se muestra a) la respuesta al impulso, b) la respuesta al escalón y c) la respuesta en frecuencia . (Smith, 1999)
Conceptos básicos La manera más directa de implementar un filtro digital es a través de la convolución de la señal de entrada con la respuesta al impulso del filtro digital. Todos los filtros lineales posibles se pueden realizar de esta manera. Cuando los diseñadores de filtros utilizan a la respuesta al impulso de esta manera, se la conoce como kernel del filtro.
Conceptos básicos
Conceptos básicos Como vimos en la figura 1.2. La respuesta al impulso es la salida del sistema cuando la entrada es un impulso.
De la misma manera la respuesta al escalón es la salida cuando la entrada es un escalón. Hay dos maneras de obtener esta respuesta. (1) Alimentado la entrada del filtro con un escalón y ver que se obtiene a la salida. (2)Integrar la respuesta al impulso.
La respuesta en frecuencia se encuentra, tomando la DFT (usando el algoritmo FFT) de la respuesta al impulso.
Conceptos básicos La respuesta en frecuencia se puede trazar ya sea de manera lineal como en la figura 1.1(c), o a través de una escala logarítmica (decibeles) como se muestra en 1.1(d).
La escala lineal es la mejor para mostrar el rizado en la banda de paso y el roll-off, mientras que la escala en decibeles es necesaria para mostrar la atenuación en la banda de rechazo.
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¿Cómo se representa la información en las señales? Hay muchas formas en que la información pueda ser contenida en una señal, especialmente aquellas señales hechas por el hombre (Ej.: AM, FM, PCM, PWM, etc.). Afortunadamente, solo hay dos formas en la cual la información más común pueda ser representada naturalmente: Representación de la info en el dominio del tiempo. Representación de la info en el dominio de la frecuencia.
¿Cómo se representa la información en las señales? En la información representada en el dominio del tiempo se describe cuando ocurre algo y la incidencia en la amplitud. En contraste, la representación en el dominio de la frecuencia es más indirecta. Muchas cosas en el universo muestran movimientos periódicos. La lectura de la frecuencia, fase, y amplitud de estos movimientos periódicos, nos pueden dar información del sistema que los esta produciendo.
¿Cómo se representa la información en las señales? La respuesta al escalón describe como la información representada en el dominio del tiempo ha sido modificada en el sistema. En contraste la respuesta en frecuencia muestra como la representación en el dominio de la frecuencia es cambiada. Una buena performance en el dominio del tiempo resulta una pobre performance en el dominio de la frecuencia, y viceversa.
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Parámetros en el dominio del tiempo Figura 1.4. Parámetros en el dominio del tiempo
Parámetros en el dominio del tiempo La respuesta al escalón es usada para medir que tan bien un filtro se ejecuta en el dominio del tiempo. Hay tres parámetros que son importantes: Velocidad de transición (risetime), se muestra en (a) y (b). Overshoot, se muestra en (c) y (d). Linealidad de fase (simetría entre los topes alto y bajo del escalón), que se muestra en (e) y (f).
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Parámetros en el dominio de la frecuancia Figura 1.5. Las cuatro respuestas en frecuencia más comunes.
Parámetros en el dominio de la frecuencia En la figura 1.5 se muestra las cuatro respuestas en frecuencia básicas. El propósito de estos filtros es el paso de algunas frecuencias de manera inalterada, mientras se bloquea completamente otras frecuencias. La banda de paso (passband) se refiere a esas frecuencias que están permitidas a pasar. La banda de rechazo (stopband) contiene esas frecuencias que son bloqueadas. La banda de transición esta entre la banda de paso y banda de rechazo. La división entre la banda de paso y la banda de transición se llama frecuencia de corte.
Parámetros en el dominio de la frecuencia Figura 1.6. Parámetros para evaluar la performance en el dominio de la frecuencia. Las respuestas en frecuencia que se muestran son para filtros pasa bajos. Tres parámetros son importantes: nitidez de roll-off, se muestra en (a) y (b), (2) rizad en la banda de paso se muestra en (c) y (d), y (3) atenuación en la banda de rechazo, que se muestra en (e) y (f).
Parámetros en el dominio de la frecuencia En la figura 1.6 se muestran tres parámetros que nos muestran que tan bien se ejecuta el filtro en el dominio de la frecuencia. Para separar las frecuencias espaciadas muy cerca, el filtro debe tener un rápido roll-off, como se ilustra en las figuras (a) y (b). En la banda de paso para que las frecuencias se muevan a través del filtro sin alteraciones, no debe haber rizado en la banda de paso (passband ripple), como se muestra en (c) y (d). Para bloquear las frecuencias en la banda de rechazo, es necesario tener una buena atenuación en la banda de rechazo (stopband attenuation), se puede apreciar en (e) y (f).
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Filtros Pasa Altos, Pasa Banda, Rechaza Banda. Los filtros pasa-altos, pasa-bandas, y rechaza banda se diseñan a partir de los filtros pasa-bajos. Hay dos métodos para convertir un pasa-bajos en un pasa-altos: Inversión espectral. (invertir simétricamente) Reversión espectral. (revertir el kernel)
Filtros Pasa Altos, Pasa Banda, Rechaza Banda. Figura 1.7: Ejemplo de inversión espectral, El kernel del filtro pasa-bajos en (a) tiene su respuesta en frecuencia en (b). Un kernel de un filtro basa-altos, (c), se forma cambiando el signo de cada muestra en (a), y sumándole uno a la muestra en el centro de simetría. Esta acción en el dominio del tiempo invierte el espectro de frecuencia, como se muestra en la respuesta en frecuencia en (d).
Filtros Pasa Altos, Pasa Banda, Rechaza Banda. Figura 1.8: Diagrama de bloques de la inversión espectral. En (a), la señal de entrada , x[n], se aplica a dos sistemas en paralelo, teniendo la respuesta al impulso h[n] y d[n]. Como se muestra en (b), el sistema combinado tiene una respuesta al impulso de d[n]- h[n] . Esto significa que la respuesta en frecuencia del sistema combinado es la inversión de la respuesta en frecuencia de h[n].
Filtros Pasa Altos, Pasa Banda, Rechaza Banda. Figura 1.9: Ejemplo de reversión espectral. El kernel del filtro pasa-bajos en (a) tiene una respuesta en frecuencia que se muestra en (b). Un kernel de filtro pasa-altos, (c), se forma cambiando el signo de cada muestra sucesiva de las muestras en (a). Esta acción en el dominio del tiempo resulta en un vuelco en el dominio de la frecuencia de izquierda a derecha, resultando en la re4spuesta en frecuencia de un filtro pasa altos en (d).
Filtros Pasa Altos, Pasa Banda, Rechaza Banda. Figura 1.10: Diseñar un filtro pasa-banda como se muestra en (a), se puede formar poniendo es cascada un filtro pasa-bajos con un filtro pasa-altos. Se puede reducir este proceso a un solo estado, como se muestra en (b). El kernel del filtro de un solo estado es igual a la Convolución de los kernel pasa-bajos y pasa-altos.
Filtros Pasa Altos, Pasa Banda, Rechaza Banda. Figura 1.11: Como se muestra en (a), un filtro rechaza-banda se forma por la combinación en paralelo de un filtro pasa-bajos y un filtro pasa-altos con sus salidas sumadas. La figura (b) muestra el diagrama reducido a una sola etapa, con el kernel del filtro a través de la sumatoria de los kernels de un filtro pasa-bajos con un filtro pasa-altos.
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Clasificación de filtros.