Series de ponencias, intervalos de convergencias y radios de convergencias (página 2)

Se dirá que es una serie de potencias de .

Los números an se llaman Coeficientes de la serie. La primera cuestión que nos planteamos es el estudio de su dominio de convergencia. Se llama así al conjunto formado por todos los valores de x para los que es convergente absolutamente la serie. Nótese que una serie de potencias cualquiera siempre es convergente para x = x0 y su suma es a0. Vamos a probar que el dominio de convergencia de una serie de potencias cualquiera es un intervalo centrado en x0, pudiéndose dar los casos extremos de que el intervalo se reduzca al único punto de convergencia x0 o que el intervalo de convergencia sea todo R. Denotaremos por rc el radio de este intervalo, radio de convergencia, y entonces el intervalo de convergencia adopta la forma (x0 – rc; x0 + rc). La demostración general de estos hechos, así como la expresión explicita del radio de convergencia se escapa de los objetivos.

En primer lugar, veremos un hecho general que tiene una demostración muy simple y nos permite intuir que el dominio de convergencia de una serie de potencias arbitraria debe ser un intervalo centrado en x0.

Teorema 1.

DEMOSTRACIÓN:

Este resultado nos sugiere que el dominio de convergencia de una serie de potencias es un intervalo centrado en x0 cuyo radio sería el supremo de las cantidades, tales que la serie

es convergente.

De hecho, se prueba que fuera del intervalo [x0 – r; x0 + r] no hay convergencia alguna. Este modo de enfocar el problema es difícil y tiene, además, el inconveniente de que no obtenemos una expresión explicita del radio de convergencia rc. Por ello, en lugar de seguir considerando una serie completamente arbitraria, vamos a suponer, en todo lo que resta de sección, que nuestra serie verifica la condición siguiente:

(C) Existe (finito o infinito)

Teorema 2.

Además, se cumplen las siguientes formulas:

En cada caso, el radio de convergencia de la serie obtenida es igual a R.

Ejemplo

Solución:

Bibliografía

• Earl W.Swokoswski, calculo con geometría analítica, cuarta edición, grupo editorial Iberoamérica 1989.

• Series de potencias. Operaciones con series de potencias, Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González, universidad de simón bolívar república bolivariana de Venezuela.

• Desarrollos en la series de Taylor, Marlon fajardo, universidad del atlántico 2007.

• series de potencias, Patricia Molinas Mata (pmolinas[arroba]uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezbos[arroba]uoc.edu) 2007.

Autor:

Marlon Fajardo Molinares