9 Operaciones Difusas Complemento: NOT m(a) = 1 – m(a) Intersección: m Ç l(a) = min [m(a), l(a) ] Unión: m È l(a) = max [m(a), l(a) ]
10 Ejemplo – “alto y bajo” 1:70 0 1 m(A) A “bajo” “alto”
11 Ejemplo – “alto o bajo” 1:70 0 1 m(A) A “bajo” “alto”
12 Ejemplo – “no alto” 1:70 0 1 m(A) A “alto”
13 Relaciones Difusas La relación difusa sobre dos conjuntos, A y B, es un subconjunto difuso sobre su producto cartesiano – a cada miembro del conjunto producto se le asigna un grado de membresía Ejemplo: B A 0 1 2 0 0.1 0.7 0.9 1 0 0.6 0.5
14 Relaciones Difusas – Ejemplo La relación difusa – “a es similar a b” B A 0 1 2 3 0 1 0.7 0.3 0 1 0.7 1 0.7 0.3 2 0.3 0.7 1 0.7 3 0 0.3 0.7 1
15 Operaciones Las operaciones básicas sobre conjuntos difusos se extienden directamente a relaciones difusas La composición de dos relaciones difusas se define como: l ° m (a, b) = SupB min [m(a, b´), l(b´, c) ]
16 Ejemplo de Composición Relación a-b: b1 b2 b3 b4 b5 a1 0.1 0.2 0 1 0.7 a2 0.3 0.5 0 0.2 1 a3 0.8 0 1 0.4 0.3 Relación b-c: c1 c2 c3 c4 b1 0.9 0 0.3 0.4 b2 0.2 1 0.8 0 b3 0.8 0 0.7 1 b4 0.4 0.2 0.3 0 b5 0 1 0 0.8
17 Ejemplo de Composición Resultado – relación a-c: c1 c2 c3 c4 a1 0.4 0.7 0.3 0.7 a2 0.3 1 0.5 0.8 a3 0.8 0.3 0.7 1 Para cada término – se toma el mínimo de cada valor del renglón de la primera matriz con la columna de la segunda, y el máximo de éstos. Por ejemplo: R(1,1) = MAX [min(0.1,0.9), min(0.2,0.2), min(0,0.8), min(1,0.4), min(0.7,0) ] = 0.4
18 Reglas de Producción Difusas Extienden las reglas de producción tradicionales con la inclusión de términos difusos. Ejemplos de reglas difusas: Si el clima es caluroso entonces la alberca está llena Si el agua está fría entonces cierra ligeramente la llave Si el obstáculo está cerca entonces detente Cada término (premisa, conclusión) corresponde a un conjunto difuso.
19 Inferencia Una regla difusa se puede representar como una relación difusa – expresando los valores de membresía de la conclusión para cada uno de los valores de las premisas Ejemplo: Si agua fría entonces cierra llave Temp Grados cierre 0 45 90 10 0 0.4 0.9 15 0.2 0.7 0.3
20 Inferencia Dada una entrada, mediante una función de membresía, la función conclusión se obtiene mediante la regla de composición Regla composicional de inferencia: f(x) – función de membresía de la entrada g(x,y) – relación que expresa la regla h(y) – función de membresía de la conclusión h(y) = f ° g (y) = SupX min [ f(x), g(x,y) ]
21 Inferencia – ejemplo Regla: Si agua fría entonces cierra llave Temp Grados cierre 0 45 90 10 0 0.4 0.9 15 0.2 0.7 0.3 Entrada: agua fría Temp 10 – 0.8 15 – 0.3 Salida: Grados cierre 0 45 90 0.2 0.4 0.8
22 Defuzificación La “salida” de una regla difusa es un conjunto difuso En muchas aplicaciones es necesario transformar esta salida: Aproximación lingüística – se transforma en una descripción “verbal” Defuzificación aritemétcia – se extrae un valor escalar que represente al conjunto difuso
23 Defuzificación Defuzificación aritemétcia – dos formas básicas: Valor máximo Centro de área (o de momentos) 0 1 X
24 Defuzificación Para el ejemplo de la regla: Salida: Grados cierre 0 45 90 0.2 0.4 0.8 Máximo: 90 Momentos: (0*0.2 + 45*0.4 + 90*0.8)/1.4 = 64.28
25 Ejemplo de Reglas Difusas –control de temperatura Reglas para el control de temperatura de una regadera (tibia): Si agua es FRIA entonces incrementar aprox. en 2 unidades Si agua es FRESCA entonces incrementar aprox. en 1 unidad Si agua es TIBIA entonces incrementar aprox. en 0 unidades Si agua es CALIENTE entonces decrementar en aprox. en 1 unidad
26 Ejemplo control de regadera – temperatura 0 1 m(T) T
27 Ejemplo control de regadera – salida de control 0 1 m(C) C
28 Ejemplo control de regadera – reglas 0 1 m(T,C) T C
29 Ejemplo control de regadera – inferencia (OR implicito) 0 1 m(T,C) T C Temp Entrada
30 Ejemplo control de regadera – salida 0 1 m(C) C Centro de Momento
31 Aplicaciones Control de procesos Sistemas embebidos (lavadoras, cámaras, etc.) Sistemas expertos difusos Percepción Robótica
32 Ventajas
Analogía con forma de expresión humana Simplicidad y eficiencia computacional Aplicaciones exitosas
33 Desventajas Dificultad de interpretación de valores difusos (semántica no clara) Mútiples difiniciones de operadores y reglas de inferencia difusas No hay una buena justificación de operadores difusos
34 Referencias L.A. Zadeh, “Fuzzy Sets”, Information and Control 8, 1965 I. Graham, P. Jones, “Expert Systems”, Chapman and Hall, 1988 – Capítulo 5 H. Zimmermann, “Fuzzy Set Theory and its Applications”, Kluwer, 1985
35 Actividades Entrega de proyecto final Reporte escrito (formato reportes técnicos) Presentación y demo. programa (máximo 20 minutos)
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