Integración por sustitución trigonométrica (página 2)

Partes: 1, 2

Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:

S o l u c i o n e s

MathType 5.0 Equation

Imagen de mapa de bits

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

MathType 5.0 Equation

Imagen de mapa de bits

(Fig.1)

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

MathType 5.0 Equation

Documento Microsoft Office Word

Imagen de mapa de bits

Documento Microsoft Office Word

Imagen de mapa de bits

Documento Microsoft Office Word

Integración por sustitución trigonométrica

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

$displaystyle {sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}},;sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}, sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}}}$ con y

La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:

A .Â Â Â Â Â Â Â El integrando contiene una función de la forma $displaystyle {sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}}$ con

Se hace el cambio de variable escribiendo

$displaystyle {x =frac{a}{b};sen;theta,}$ donde $theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[; y ;x;varepsilon left]frac{-a}{b}, frac{a}{b}right[$

Si $displaystyle {x =frac{a}{b};sen;theta}$ entonces $dx = frac{a}{b};cos;theta;dtheta$

Además:

$displaystyle {=sqrt{a^{2}(1-sen^{2}theta)} = sqrt{a^{2};cos^{2}theta} = vert a;cos;thetavert = a;cos;theta,}$ pues y como

$displaystyle {theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$ entonces por lo que

Luego: $displaystyle {sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}} = a;cos;theta}$

Como $displaystyle {x =frac{a}{b};sen;theta}$ entonces $sen;theta = frac{bx}{a} ; y; theta = arcsenleft(frac{bx}{a}right)$

Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Ejemplos:

1.	$displaystyle {int sqrt{16 - x^{2}};dx; x varepsilon ]-4,4[}$

Sea con $displaystyle {theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

Luego: $displaystyle {16-x^{2} = 16-16;sen^{2}theta = 16;(1-sen^{2}theta) = 16;cos^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{16-x^{2}} = 4;cos;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int sqrt{16-x^{2}};dx = int 4;cos;theta cdot 4;cos;theta;dtheta = 16int cos^{2}theta;dtheta}$

$displaystyle {= 16int frac{1+cos;2theta}{2};dtheta = 8int (1+cos;2theta);dtheta}$

$displaystyle {= 8;(theta + frac{1}{2};sen;theta) + C}$

Como entonces $displaystyle {sen;theta = frac{x}{4}}$ y $displaystyle {theta = arcsenleft(frac{x}{4}right)}$

Además $displaystyle {sqrt{16-x^{2}} = 4;cos;theta}$ por lo que $displaystyle {cos;theta = frac{sqrt{16-x^{2}}}{4}}$

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Por último:

$displaystyle {int sqrt{16-x^{2}};dx = 8;theta + 8;sen;theta;cos;theta + C}$

$displaystyle {=8;arcsenleft(frac{x}{4}right) + 8cdot frac{x}{4}cdot frac{sqrt{16-x^{2}}}{4} + C}$

$displaystyle {int sqrt{16-x^{2}};dx = 8;arcsenleft(frac{x}{4}right) + frac{xsqrt{16-x^{2}}}{2} + C}$

2.	$displaystyle {int frac{dx}{xsqrt{25-4x^{2}}},; x varepsilon left]frac{-5}{2},frac{5}{2}right[}$

Sea $displaystyle {x = frac{5}{2};sen;theta,; theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = frac{5}{2};cos;theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {25-4x^{2} = 25-4cdot frac{25}{4};sen^{2}theta = 25-25;sen^{2}theta}$

$displaystyle {25-4x^{2} = 25(1-sen^{2}theta) = 25;cos^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{25-4x^{2}} = 5;cos;theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{xsqrt{25-4x^{2}}} = int frac{frac{5}{2};cos... ...sen;thetacdot 5;cos;theta} = frac{1}{5}int frac{dtheta}{sen;theta}}$

$displaystyle {=frac{1}{5}int csc;theta;dtheta}$

$displaystyle {=frac{1}{5} ;lnvert csc;theta - cot;thetavert + C}$

Como $displaystyle {x = frac{5}{2};sen;theta}$ entonces $displaystyle {sen;theta = frac{2x}{5}}$ por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:

$displaystyle {csc;theta = frac{1}{sen;theta} = frac{1}{frac{2x}{5}} = frac{5}{2x}}$

Luego:

$displaystyle {int frac{dx}{xsqrt{25-4x^{2}}} = frac{1}{5};lnleftvertfrac{5}{2x} - frac{sqrt{25-4x^{2}}}{2x} rightvert + C }$

3.	$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{4-x^{2}}},; x varepsilon ]-2,2[}$

Sea $displaystyle {x = 2;sen;theta; hspace{2cm} theta;varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

Además: $displaystyle {4-x^{2} = 4-4;sen^{2}theta = 4;cos^{2}theta}$

$displaystyle { sqrt{4-x^{2}} = 2;cos;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{4-x^{2}}} = int frac{(2;sen;theta)^{2};2;cos;theta;dtheta}{2;cos;theta}= 4 int sen^{2}theta ;dtheta}$

$displaystyle {= 4int frac{1-cos;2theta}{2};dtheta = 2 int (1 - cos;2theta);dtheta}$

$displaystyle {= 2left(theta - frac{1}{2};sen;2thetaright) + C}$

$displaystyle {= 2;arcsenleft(frac{x}{2}right) - 2;cdot frac{x}{2} cdot frac{sqrt{4-x^{2}}}{2} + C}$

$displaystyle {= 2;arcsenleft(frac{x}{2}right) - frac{x;(4-x^{2})}{2} + C}$

4.	$displaystyle {int frac{dx}{(5-x^{2})^{frac{3}{2}}},; x varepsilon ]-sqrt{5},sqrt{5}[}$

Sea $displaystyle {x = sqrt{5};sen;theta; hspace{2cm} theta;varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

Luego $displaystyle {5-x^{2} = 5-5;sen^{2}theta = 5;cos^{2}theta}$

$displaystyle {(5-x^{2})^{frac{3}{2}} = (5;cos^{2}theta)^{frac{3}{2}} = sqrt{(5;cos^{2}theta)^{3}}}$

$displaystyle {(sqrt{5};cos;theta)^{3} = 5;sqrt{5};cos^{3}theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{(5-x^{2})^{frac{3}{2}}} = int frac{sqrt{5};c... ...} int frac{dtheta}{cos^{2}theta} = frac{1}{5} int sec^{2}theta;dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{5};tan;theta + C}$

$displaystyle {= frac{1}{5}cdot frac{x}{sqrt{5-x^{2}}} + C}$

pues $displaystyle {sen;theta = frac{x}{sqrt{5}}}$ y $displaystyle {cos;theta = frac{sqrt{5-x^{2}}}{sqrt{5}}}$

También puede utilizarse:

5.	$displaystyle {int x^{2};sqrt{25-x^{2}};dx}$ Ejercicio para el estudiante
6.	$displaystyle {int frac{x^{2}}{(4-x)^{frac{3}{2}}};dx}$ Ejercicio para el estudiante
7.	$displaystyle {int frac{x^{3};dx}{sqrt{16-x^{2}}}}$ Ejercicio para el estudiante

B)Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â El integrando contiene una expresión de la forma $displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}}$ con

Hacemos un cambio de variable escribiendo $displaystyle {x = frac{a}{b};tan;theta,}$ donde $displaystyle {theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$ y

Si $displaystyle {x = frac{a}{b};tan;theta}$ entonces $displaystyle {dx = frac{a}{b};sec^{2}theta;dtheta}$

Además $displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = sqrt{a^{2} + b^{2} cdot frac{a^{2}}{b^{2}};tan^{2}theta} = sqrt{a^{2} + a^{2};tan^{2}theta}}$

$displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = sqrt{a^{2}(1+tan^{2}theta )} = sqrt{a^{2};sec^{2}theta} = vert a;sec;thetavert}$

Como y $displaystyle {theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$ entonces $displaystyle {sen;theta = frac{1}{cos;theta}}$ es positiva

y por tanto $displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = a;sec;theta}$

Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente figura:

Ejemplos:

1.	$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{4+x^{2}}}}$

Sea $displaystyle {x = 2;tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = 2;sec^{2}theta;dtheta}$

Luego: $displaystyle {4+x^{2} = 4+4;tan^{2}theta = 4(1 + tan^{2}theta)}$

$displaystyle {4+x^{2} = 4;sec^{2}theta }$

$displaystyle {sqrt{4+x^{2}} = sqrt{4;sec^{2}theta} = vert 2;sec;thetavert = 2;sec;Theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{4+x^{2}}} = int frac{2;sec^{2}theta;dtheta}{2;sec;theta} = int sec;theta;dtheta}$

$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{4+x^{2}}} = lnleftvert frac{sqrt{4+x^{2}}}{2} + frac{x}{2}rightvert + C}$

2.	$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{x^{2}+6}}}$

Sea $displaystyle {x = sqrt{6};tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = sqrt{6};sec^{2}theta;dtheta}$

Luego: $displaystyle {x^{2} + 6 = 6;tan^{2}theta + 6 = 6(tan^{2}theta + 1) = 6;sec^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{x^{2}+6} = sqrt{6;sec^{2}theta} = sqrt{6};sec;theta... ...heta>0 si theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[right)}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{x^{2}}{sqrt{^{2}+6}};dx = int frac{6;tan^{2}the... ...a;dtheta}{sqrt{6};sec;theta} = 6int tan^{2}theta;sec;theta;dtheta}$

$displaystyle {= 6 int (sec^{2}theta - 1);sec;theta;dtheta = 6int(sec^{3} - sec;theta);dtheta}$

$displaystyle {= 6 left[frac{1}{2}(sec;theta;tan;theta) + ln;vert sec... ...eta + tan;thetavertright] -6;ln;vert sec;theta + tan;thetavert + C}$

$displaystyle {= 3 cdot frac{sqrt{x^{2}+6}}{sqrt{6}}cdot frac{x}{sqrt{6}... ...;leftvertfrac{sqrt{x^{2}+6}}{sqrt{6}} + frac{x}{sqrt{6}}rightvert + C}$

$displaystyle {= frac{xsqrt{x^{2}+6}}{2} - 3;ln;leftvertfrac{sqrt{x^{2}+6} + x}{sqrt{6}}rightvert + C}$

3.	$displaystyle {int frac{x;dx}{(9+4x^{2})^{frac{3}{2}}}}$

Sea $displaystyle {x = frac{3}{2};tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = frac{3}{2};sec^{2}theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {9 + 4x^{2} = 9 + 4cdot frac{9}{4};tan^{2}theta = 9 + 9;tan^{2}theta = 9(1 + tan^{2}theta)}$

$displaystyle {9 + 4x^{2} = 9;sec^{2}theta}$

$displaystyle {(9 + 4x^{2})^{frac{3}{2}} = (9;sec^{2}theta)^{frac{3}{2}} = (9;sec^{2}theta)^{3}}$

$displaystyle {(9 + 4x^{2})^{frac{3}{2}} = (3;sec;theta)^{3} = 27;sec^{3}theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{x;dx}{(9+4x^{2})^{frac{3}{2}}} = int frac{frac{3... ...}theta};dtheta = frac{1}{12} int frac{tan;theta;dtheta}{sec;theta}}$

$displaystyle {= frac{1}{12} int frac{frac{sen;theta}{cos;theta}}{frac... ...heta = frac{1}{12} int sen;theta;dtheta = frac{1}{12}(-cos;theta) + C}$

Como

$displaystyle {tan;theta = frac{2x}{3}}$ de la sustitución inicial

Por tanto:

$displaystyle {int frac{x;dx}{(9+4x^{2})^{frac{3}{2}}} = frac{-1}{12} cdotfrac{3}{sqrt{9+4x^{2}}} + C}$

$displaystyle {= frac{-1}{4sqrt{9+4x^{2}}} + C }$

4.	$displaystyle {int frac{dx}{x^{4}sqrt{x^{2}+3}}}$

Sea $displaystyle {x = sqrt{3};tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = sqrt{3};sec^{2}theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {x^{2} + 3 = 3;tan^{2}theta + 3 = 3(tan^{2}theta + 1) = 3;sec^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{x^{2}+3} = sqrt{3;sec^{2}theta} = sqrt{3};sec;theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{x^{4}sqrt{x^{2}+3}} = int frac{sqrt{3};sec^{... ...{3};sec;theta} = frac{1}{9}int frac{sec;theta;dtheta}{tan^{4}theta}}$

$displaystyle {= frac{1}{9} int frac{cos^{4}theta}{cos;thetacdot sen^{4}theta};dtheta = frac{1}{9}int frac{cos^{3}theta}{sen^{4}theta};dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{9} int frac{(1-sen^{2}theta)cos;theta}{sen^{4}t... ...n^{4}theta}- frac{sen^{2}theta;cos;theta}{sen^{4}theta}right);dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{9} int cos;theta(sen;theta)^{-4};dtheta - frac{1}{9}int cos;theta(sen;theta)^{-2};dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{9};frac{(sen;theta)^{-3}}{-3} - frac{1}{9};frac{(sen;theta)^{-1}}{-1} + C}$

$displaystyle {= frac{-1}{27;sen^{3}theta} + frac{csc;theta}{9} + C}$

Como entonces $displaystyle {tan;theta = frac{x}{3}}$

Por lo que:

se obtiene: $displaystyle {sen;theta = frac{x}{sqrt{x^{2}+3}}, csc;theta = frac{sqrt{x^{2}+3}}{x}}$

Por último:

$displaystyle {int frac{dx}{x^{4}sqrt{x^{2}+3}} = frac{-(sqrt{x^{2} + 3})^{3}}{27;x^{3}} + frac{sqrt{x^{2}+3}}{9x} + C}$

5.	$displaystyle {int frac{sqrt{4x^{2}+1}}{x};dx}$ Ejercicio para el estudiante

6.	$displaystyle {int frac{x^{3};dx}{sqrt{9+3x^{2}}};dx}$ Ejercicio para el estudiante

El integrando contiene una expresión de la forma $displaystyle {sqrt{b^{2}x^{2}- a^{2}}}$ con y

En este caso la sustitución adecuada es:

$displaystyle {x = frac{a}{b};sec;theta,}$ donde $displaystyle {theta varepsilon left]0, frac{pi}{2}right[ ;U;left]pi, frac{3pi}{2} right[}$

y $displaystyle {x; varepsilon left]-infty, frac{-a}{b}right[ bigcup left]frac{a}{b}, +infty, right[, o; sea vert xvert>frac{a}{b}}$

Si $displaystyle {x = frac{a}{b};sec;theta}$ entonces $displaystyle {dx = frac{a}{b};sec;theta;tan;theta;dtheta}$

Además $displaystyle {sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}} = sqrt{b^{2}cdot frac{a^{2}}{b^{2}}cdot sec^{2}theta -a^{2}} = sqrt{a^{2}(sec^{2}theta-1)}}$

de donde $displaystyle {sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}} = sqrt{a^{2};tan^{2}theta} = vert a;tan;thetavert = a;tan;theta,}$

pues y para $theta varepsilon left]0, frac{pi}{2}right[ bigcup left]pi, frac{3pi}{2}right[$

Como $displaystyle {x = frac{a}{b};sec;theta}$ entonces $displaystyle {sec;theta = frac{bx}{a}}$ por lo que $displaystyle {theta = arcsenleft(frac{bx}{a}right)}$

Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las otras funciones trigonométricas:

Ejemplos:

1.	$displaystyle {int frac{x;dx}{sqrt{x^{2}-9}}, vert xvert>3}$

Sea

$displaystyle {dx = 3;sec;theta;tan;theta;dtheta, theta varepsilon left]0, frac{pi}{2}right[ bigcup left]pi, frac{3pi}{2}right[}$

Luego $displaystyle {x^{2}-9= 9;sec^{2}theta-9 = 9(sec^{2}theta-1) = 9;tan^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{x^{2}-9} = sqrt{9;tan^{2}theta} = 3;tan;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac {x;dx}{sqrt{x^{2}-9}} = int frac{3;sec;theta cdot 3;sec;theta;tan;theta;dtheta}{3;tan;theta}}$

$displaystyle {= 3int sec^{2}theta;dtheta = 3;tan;theta + C = sqrt{x^{2}-9}}$

2.	$displaystyle {int frac{sqrt{4x^{2}-1}}{x};dx, vert xvert>frac{1}{4}}$

Sea $displaystyle {x = frac{1}{2};sec;theta}$

$displaystyle {dx = frac{1}{2};sec;theta;tan;theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {4x^{2}-1= 4cdotfrac{1}{4};sec^{2}theta-1 = sec^{2}theta-1 = tan^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{4x^{2}-1} = sqrt{tan^{2}theta} = tan;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{sqrt{4x^{2}-1}}{x};dx = int frac{tan;thetacdot frac{1}{2};sec;theta;tan;theta;dtheta}{frac{1}{2};sec;theta}}$

$displaystyle {= int tan^{2}theta;dtheta = int(sec^{2}theta-1);dtheta}$

$displaystyle {= int tan;theta - theta + C = sqrt{4x^{2}-1} - arcsec;(2x) + C}$

3.	$displaystyle {int frac{du}{u^{2}sqrt{u^{2}-8}}, vert uvert>2sqrt{2}}$

Sea

Luego $displaystyle {u^{2}-8= 8;sec^{2}theta-8 = 8(sec^{2}theta-1) = 8;tan^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{u^{2}-8} = sqrt{8;tan^{2}theta} = sqrt{8};tan;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{du}{u^{2}sqrt{u^{2}-8}} = int frac{sqrt{8};sec;... ...2}theta;sqrt{8};tan;theta} = frac{1}{8}int frac{dtheta}{sec;theta}}$

$displaystyle {= frac{1}{8}int cos;theta;dtheta = frac{1}{8};sen;theta + C}$

Como $displaystyle {sec;theta = frac{u}{sqrt{8}}}$ puede utilizarse la siguiente figura para determinar

Por último:

$displaystyle {int frac{du}{u^{2}sqrt{u^{2}-8}} = frac{1}{8};frac{sqrt{u^{2}-8}}{u} + C}$

4.	$displaystyle {int x^{3}sqrt{4x^{2}-9};dx}$ Ejercicio para el estudiante

5.	$displaystyle {int frac{sqrt{y^{2} - 25}}{y^{4}};dy}$ Ejercicio para el estudiante

Otras integrales en las que se utiliza alguna de las sustituciones trigonométricas que hemos estudiado, son aquellas que contienen una expresión de la forma $displaystyle {(Ax^{2}+Bx+C)^{frac{1}{2}}}$ . En los siguientes ejemplos se ilustra el procedimiento a seguir:

Ejemplos:

1.	$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{x^{2}-6x+13}}}$

Podemos escribir $x^{2}-6x+13$ como $x^{2}-6x+9+4$ o sea $(x-3)^{2} + 4$

Luego $displaystyle {int frac{dx}{sqrt{(x-3)^{2}+4}}}$ es la integral que debemos calcular

Sea $displaystyle {x - 3 = 2;tan;theta, theta varepsilon left]frac{-pi}{2}, frac{pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = 2;sec^{2}theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {(x-3)^{2}+4= 4;tan^{2}theta + 4 = 4;sec^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{(x-3)^{2}+4} = sqrt{4;sec^{2}theta} = 2;sec;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{(x-3)^{2}+4}} = int frac{2;sec^{2}theta;dtheta}{2;sec;theta} = int sec;theta;dtheta}$

$displaystyle {=frac{1}{2};ln;vert sec;theta + tan;thetavert + C}$

$displaystyle {=frac{1}{2};ln;leftvertfrac{sqrt{(x-3)^{2}+4}}{2} + frac{x-3}{2}rightvert + C}$

$displaystyle {=frac{1}{2};ln;leftvertfrac{sqrt{(x-3)^{2}+4} + (x-3)}{2}rightvert + C, x;varepsilon I!!R}$

2.	$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{21+4x-x^{2}}}}$

Se tiene que: $displaystyle {21+4x-x^{2} = 21-(x^{2}-4x)}$

$displaystyle {= 21-(x^{2}-4x+4-4)}$

$displaystyle {= 21-(x-2)^{2}-4}$

$displaystyle {= 21-(x-2)^{2}+4 = 25-(x-2)^{2}}$

Luego la integral se convierte en: $displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{25 - (x-2)^{2}}}}$

y se utiliza la sustitución de donde:

Luego: $25-(x-2)^{2} = 25-25;sen^{2}theta = 25;cos^{2}theta$

$displaystyle {sqrt{25-(x-2)^{2}} = 5;cos;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{25-(x-2)^{2}}} = int frac{(2+5;sen;theta)^{2};5;cos;theta;dtheta}{5;cos;theta}}$

$displaystyle {=int (4+20;sen;theta + 25;sen^{2}theta);dtheta}$

$displaystyle {=int 4;dtheta + 20int sen;theta;dtheta + 25int frac{1-cos;2theta}{2};dtheta}$

$displaystyle {=int 4;dtheta + 20int sen;theta;dtheta + frac{25}{2}int dtheta - frac{25}{2}int cos;2theta;dtheta}$

$displaystyle {=4;theta - 20;cos;theta + frac{25}{2};theta - frac{25}{4};sen;2theta + C}$

$displaystyle {=frac{33}{2};theta - 20;cos;theta + frac{25}{2};sen;theta;cos;theta + C}$

$displaystyle {=frac{33}{2};arcsenleft(frac{x-2}{5}right) - 20;frac{sqr... ...}}{5} + frac{25}{2}cdot frac{x-2}{5}cdot frac{sqrt{25-(x-2)^{2}}}{5} + C}$

$displaystyle {=frac{33}{2};arcsenleft(frac{x-2}{5}right) - 4sqrt{21+4x-x^{2}} + frac{(x-2)sqrt{21+4x-x^{2}}}{2} + C}$

con o sea

3.	$displaystyle {int frac{2x;dx}{sqrt{x^{2}+4x+3}}}$

Se tiene que $x^{2}+4x+3 = x^{2}+4x+4-1 = (x+2)^{2}-1$

por lo que $displaystyle {int frac{2x;dx}{sqrt{x^{2}+4x+3}} = frac{2x;dx}{sqrt{(x+2)^{2}}-1}}$ , con

sea de donde

Luego $(x+2)^{2} - 1 = sec^{2}theta-1 = tan^{2}theta$ y $sqrt{(x+2)^{2}-1 = tan;theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{2x;dx}{sqrt{(x+2)^{2}-1}} = int frac{2;(sec;theta-2);sec;theta;tan;theta;dtheta}{tan;theta}}$

$displaystyle {= 2int (sec^{2}theta-2;sec;theta);dtheta}$

$displaystyle {= 2sqrt{(x+2)^{2}-1}-4;ln;vert x+2+sqrt{x^{2}+4x+3}vert + C}$

4.	$displaystyle {int frac{(x+2);dx}{(3+2x-x^{2})^{frac{3}{2}}}}$

Se tiene que $3+2x-x^{2} = 4-(x-1)^{2}$ (completando cuadrados)

Luego la integral que se debe determinar es:

$displaystyle {int frac{(x+2);dx}{left[4-(x-2)^{2}right]^{frac{3}{2}}}}$

Sea

Luego $4-(x-1)^{2} = 4-4;sen^{2}theta = 4(1-sen^{2}theta) = 4;cos^{2}theta$

$left(sqrt{4-(x-1)^{2}}right)^{3} = left(sqrt{4;cos^{2}theta}right)^{3} = (2;cos;theta)^{3} = 8;cos^{3}theta$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{(x+2);dx}{left[4-(x-2)^{2}right]^{frac{3}{2}}} = int frac{(1+2;sen;theta+2);2;cos;theta;dtheta}{8;cos^{3}theta}}$

$displaystyle {=frac{1}{4} int frac{(3+2sen;theta);dtheta}{cos^{2}theta... ...frac{3}{cos^{2}theta} + frac{2;sen;theta}{cos^{2}theta}right);dtheta}$

$displaystyle {=frac{3}{4}int sec^{2}theta;dtheta + frac{1}{2}cdot sen;theta;(cos;theta)^{-2};dtheta}$

$displaystyle {=frac{3}{4};tan;theta - frac{1}{2}cdot frac{(cos;theta)^{-1}}{-1} + C}$

$displaystyle {=frac{3}{4};tan;theta + frac{1}{2;cos;theta}+ C}$

Como entonces $displaystyle {sen;theta = frac{x-1}{2}}$ y utilizando que

se obtiene finalmente que

$displaystyle {=int frac{(x+2);dx}{(3+2x-x^{2})^{frac{3}{2}}} = frac{3}{4}cdot frac{(x-1)}{sqrt{4-(x-1)^{2}}} + frac{1}{sqrt{4-(x-1)^{2}}} + C,}$ con

En cada caso determine el intervalo sobre el cual es válido el resultado.


5.	$displaystyle {int frac{(2x-3);dx}{(x^{2}+2x-3)^{frac{3}{2}}}}$ Ejercicio para el estudiante

6.	$displaystyle {int frac{sqrt{x^{2} + 2x}}{x+1};dx}$ Ejercicio para el estudiante

7.	$displaystyle {int frac{sec^{2}x;dx}{(4-tan^{2}x)^{frac{3}{2}}}}$ Ejercicio para el estudiante

8.	$displaystyle {int frac{e^{-x};dx}{(9;e^{-2x}+1)^{frac{3}{2}}}}$ Ejercicio para el estudiante

Autor:

Luis Teschi

Partes: 1, 2

Página anterior

Volver al principio del trabajo

Página siguiente