Integración por sustitución trigonométrica

En ocasiones de manera directa no se pueden realizar las integrales, en otras ocasiones parece ser que pudiéramos integrar de manera inmediata debido a que a primera inspección encontramos similitud con las formulas que tenemos en las tablas de formulas. Inclusive existen algunas de las mismas formulas que podemos deducir mediante algunas técnicas, como la que en esta ocasión nos ocupa, veamos el siguiente ejemplo:   Deduce la siguiente formula:

Pensemos en una sustitución que podamos realizar en la integral de tal forma que nos permita una integración inmediata. Recordemos que:

observemos que sucede si hacemos un cambio de variable que nos conduzca a el uso de esta sustitución, concretamente, sustituyamos

Recordemos que a  lo también queda expresado como:

 de donde 

donde la nueva c se ha juntado con la constante generada con el logaritmo: 

al igual que esta integral se pueden encontrar de la misma forma algunas otras, vale la pena seguir la siguiente recomendación:

hemos de aclarar que esas sustituciones surgen al igual que la sustitución del ejercicio anterior, de observación y comparación de las propiedades trigonométricas:

Calcular la siguiente integral  y comprobar

Solución:

como podemos comprobar la integración no se puede realizar de manera inmediata. Antes de realizar alguna sustitución valdría la pena hacer alguna factorización en el radical

realizando la sustitución

por lo tanto: 

como entonces:

  del triangulo rectángulo siguiente identificamos:

la hipotenusa es 2x y el cateto adyacente es 3 por lo tanto el cateto opuesto es igual a:

por lo que

 Comprobación del resultado.

simplificando tenemos:

Se sugieren los siguientes ejercicios:

Sustitución trigonométrica

 A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma:

Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución: