MA(q) Momentos MA(q) es Estacionario en covarianzas y ergodico, por las mismas por las que lo es un MA(1)
MA(infinito) Es estacionario en covarianzas? El proceso es estacionario en covarianzas, si se cumple que
Procesos Causales y Estacionarios Definición: Un AR(p) definido por la ecuación se dice que es causal, o una función causal de {at}, si existe una secuencia de constantes y
Causalidad es equivalente a
Definicion: Una solucion estacionaria {Zt} de la ecuacion existe (y es la unica sol. estacionaria) si y solo si
Desde ahora en adelante solo trataremos como modelos AR causales
AR(1) Substituyendo hacia atras pogresión geometrica Recordad: es la condición para causalidad y ergodicidad
AR(1) (cont) Por lo tanto, el AR(1) es causal si Alternativamente, considerando la solucion de la ecuación caracteristica: i.e. las raices de esta ecuación estan fuera del circulo unidad. Esperanza Varianza
Autocovarianza de un AR(1) causal Re-escribiendo el proceso como Autocorrelacion de un AR(1) causal ACF PACF: De las ecuaciones de Yule-Walker
AR(p) Causal Todas las p raices de la ecuacion caracteristica fuera del circulo unidad ACF Sistema para resolver las primeras p autocorrelations: p unknowns and p equations ACF decae como una mixtura de exponenciales y/o sinusoidales, dependiendo de si las raices son reales o complejas PACF
Relacion entre un AR(p) y un MA(q) AR(p) Causal Ejemplo
MA(q) Invertible Transforme un MA(2) en un AR(infinito)
ARMA (p,q)
ARMA(1,1)
ACF de un ARMA(1,1) Tomando esperanzas
PACF ACF
ACF and PACF of an ARMA(1,1)
ACF and PACF of an MA(2)
ACF and PACF of an AR(2)
Apendice: Operador de Retardos L Definicion Propiedades Ejemplos
Apendice: Operador Inverso Definicion Observad que : esta definicion no se mantiene porque el limite no existe Ejemplo:
Apendice: Operador Inverso (cont) Supongamos que tenemos el modelo ARMA y queremos encontrar la representacion MA . Se puede intentar hacerlo directamente pero no es nada divertido. Alternativamente se puede encontrar
e igualar coeficientes en los terminos en Lj . Example: Suppose .
que se puede resolver recursivamente INTENTALO!!!
Apendice: Factorizando Polinomios de retardos Supongamos que necesitamos invertir el polinomio Se puede hacer factorizando:
Ahora invirtiendo cada factor y multiplicando:
Check the last expression!!!!
Apendice: Algunos trucos La ultima expresion se puede espresar via la factorizacion parcial. Encuenta las constantes a y b tal que
El numerador del lado derecho debe ser 1, asi que
Apendice: Mas sobre Invertibilidad Considere un MA(1) Definicion Un proceso MA es invertible si se puede re-escribir como un AR( ) Un MA(1) es invertible si Un MA(q) es invertible si todas las raices de la ecuacion caracteristica estan fuera del circulo unidad. Procesos MA tienen representaciones invertibles y no-invertibles Representaciones invertibles: prediciones optimas dependen de informacion pasada. Representaciones no-invertibles: prediciones dependen del futuro!!!
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