(1) (2) EL POR QUÉ DE LAS DIMENSIONES “EXTRA”, por Alejandro R. Álvarez Silva. Es bien sabido que desde que apareció la Teoría de la Relatividad einsteniana, nos movemos en un mundo de cuatro dimensiones, a saber, las tres dimensiones espaciales (ancho, largo y alto, o bien x, y, z) y el tiempo considerado como una dimensión. Pero, ¿cuál es el verdadero rostro de esta dimensión?… ¿por qué ahora y no antes –de Einstein, se entiende- el tiempo es considerado como una magnitud insustituible en el campo físico?… Con anterioridad podía separarse nítidamente, por un lado el espacio (las tres coordenadas x, y, z), y por otro el tiempo. Para un tiempo t determinado, el espacio (x, y, z) estaba también totalmente determinado para cualquier suceso o acontecimiento del mundo físico. De igual forma, en una “localización” prefijada (x, y, z), un suceso o acontecimiento se produce en el instante t de forma totalmente determinista. Y esto ocurría para cualquier observador, por supuesto, fuese cual fuese su estado de movimiento. Ahora bien, tal obviedad fue sustancialmente cambiada al advenimiento de las llamadas “Ecuaciones de Lorentz”, que daban explicación o resolvían la aparente paradoja que surgía de la “experiencia de Michelson-Morley”, y se deducían u obtenían al traducir algebraicamente los dos principios de la Relatividad Restringida: 1. La luz se propaga con la misma velocidad c en todos los sistemas galileanos; 2. Los sistemas galileanos son equivalentes en el sentido de que existe una perfecta reciprocidad entre sus observaciones físicas. En tales ecuaciones las relaciones entre las (x, t) y las (x´, t´) obtenidas por los observadores que se mueven uno con respecto a otro a la velocidad v (para acontecimientos que se producen a lo largo del eje de las x), son: x´= (x-vt)/(1-v2/c2)½ t´= (t-vx/c2)/(1-v2/c2)½ (siendo c la velocidad de la luz en el vacío) Ahora calculemos la expresión: c2 t´2 –x´2 De las expresiones anteriores (1), tendremos: = c2 (t-vx/c2)2 (1-v2/c2) – (x-vt)2/(1-v2/c2)= (Haciendo operaciones)= c2 t2 – x2 Vemos, pues, que la expresión s= c2 t2 –x2 es un invariante que se llama “intervalo de universo” o “línea de mundo”. Espacio y tiempo, según (1), son variables, pero la cantidad (2), compuesta por espacio y tiempo sí se conserva, lo que nos lleva a la posibilidad de contabilizar los sucesos o acontecimientos de nuestro universo físico relativista sobre esta magnitud invariante, “intervalo de universo”, que es la única que está ahora bien “determinada” para cualquier observador. (Ni el espacio ni el tiempo en este mundo relativista están ya determinados, pues aparecen “entrelazados” entre sí por las expresiones de Lorentz, según el movimiento relativo de cada observador). 1
Tomando el espacio galileano con dos dimensiones (x, y) –fig. 1-, un acontecimiento acaecido en el punto P queda definido, para un observador S, por las coordenadas (x, y) y el instante t, para un observador situado en O. Ahora bien, para otro observador ? que se desplace con velocidad v respecto al observador S, situado también en O, el acontecimiento de P se producirá en las coordenadas (x´, y´) y el tiempo t´ definidos por (1), o sea, diferentes a los anteriores, así que la relatividad de los movimientos de los observadores S y ? da al traste con la evidente “utilidad” que se obtenía con los sistemas de coordenadas galileanos en un mundo no relativista. Todo nos conduce a buscar un “sistema de representación” de coordenadas que se “aproveche” de la anteriormente encontrada invariancia, es decir, del “intervalo de universo”. Esa es la base para la introducción de una dimensión “imaginaria”, en una representación muy útil para la conservación del citado “intervalo de universo”. Si en la fig. 1 sustituimos el eje y por el eje imaginario ict {i = (-1)½}, tendremos la “representación de Minkowski” (fig. 2). (En esta representación se suele tomar la velocidad de la luz igual a la unidad). 2
La distancia OP que en la fig. 1 era igual a x2+y2, aquí será x2+i2c2t2= x2-c2t2, y la distancia de P a O entonces c2t2 –x2, que es precisamente el “intervalo de universo”, distancia que es invariante sea cual sea el estado de movimiento del observador (S, ?, etc.) situado en O. Recapitulando: Las ecuaciones de Lorentz relativistas que nos señalan la variabilidad del espacio y el tiempo, nos indican la “conveniencia” práctica de introducir la unidad imaginaria temporal en un sistema de coordenadas llamado de Minkowski, muy útil para el encasillamiento de los sucesos o acontecimientos de nuestro universo espacio- temporal. A continuación, describiremos la “representación de Minkowski” con un poco más detenimiento (fig. 3). Sea un observador S. Se contará su tiempo sobre el eje ct, o paralelamente a él. (Además, como dijimos, se toma c=1). Consideremos uno sólo de los ejes de longitudes, x. El esquema permite explicar los acontecimientos de este universo lineal: cada acontecimiento, con sus coordenadas x y t, para dicho observador,
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