1 GEOMETRÍA CONCEPTOS FUNDAMENTALES PROPOSICIÓN.- Es una sucesión finita de signos (palabras o términos) que se puede calificar como verdadero o como falso pero nunca como ambos valores a la vez, es decir, es imposible que una proposición rea verdadera y falsa al mismo tiempo, Las proposiciones más comunes son: Axiomas, postulados, teoremas y corolarios, AXIOMAS.- Es una proposición que se admite sin demostración debido a que en tan sencilla y evidente, se la emplea en todas las ciencias del conocimiento, Ejemplos: – El todo es mayor que cualquiera de sus partes e igual a la suma de las mismas. – Si cantidades iguales se multiplican por cantidades iguales, los productos son iguales. POSTULADOS.- Es una proposición no tan evidente como un axioma pero también se admite sin demostración, se los emplea generalmente en Geometría. Ejemplos: – Si en un plano, dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, la suma de las medidas de los ángulos internos formados de un mismo lado es igual a 180º (ángulos colaterales). – Dos rectas no paralelas solo tienen un punto en común. – Cualquier figura geométrica puede moverse sin que cambie su forma y tamaño. TEOREMA.- Es una proposición que necesita demostración .La demostración consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. Un teorema consta de dos partes: Hipótesis.- Que son las condiciones o datos del problema Tesis.- Es lo que se quiere demostrar. Ejemplo. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180o Hipótesis: A,B,C son ángulos interiores del triángulo ABC Tesis: A+B+C=180O COROLARIO.- Es una proposición que es una consecuencia inmediata de un teorema demostrado, por lo tanto no requiere de demostración. Es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo. Ejemplos Del teorema: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, se deduce el siguiente corolario: “La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90°” AXIOMAS DE LA IGUALDAD EN LOS NÚMEROS REALES 1.- AXIOMA DE DICOTOMÍA.- Para todo número a y b elemento de los reales, solo una de las siguientes afirmaciones es verdadera: – Que a sea igual a b – Que a sea diferente de b Simbólicamente: a = b o a ? b 2.- AXIOMA REFLEXIVO.- Dado un número real cualquiera, éste es siempre igual a sí mismo Simbólicamente: a = a 3.- AXIOMA SIMÉTRICO.- Para todo número real a y b, si a es igual a b, entonces b es igual a a Simbólicamente: a = b ? b = a
2 4.- AXIOMA TRANSITIVO.- Para todo número a, b,c elementos de los reales, si a es igual b, y b es igual a c, entonces a es igual a c. Simbólicamente: a = b y b = c ? a = c
5.- AXIOMA ADITIVO.- Para todo número a, b, c, si a es igual a b. entonces, a más c es igual a b más c. Simbólicamente: a = b ? a + c =b + c
6.- AXIOMA MULTIPLICATIVO.- para todo a, b, c, si a es igual a b, entonces, a por c es igual a b por c. Simbólicamente: a = b? a. c = b.c
SEGMENTOS DEFINICIONES BÁSICAS:
PUNTO.- Se ha dicho que el punto no se define. La idea del punto esta sugerida por la huella que deja en el papel un lápiz bien afilado. Un punto es imaginado tan pequeño que carece de dimensión. Notación,- Los puntos los representamos por letras mayúsculas ? ???? RECTA.- Es un conjunto de puntos que se ubican en una misma dirección, se prolonga indefinidamente en ambas direcciones. No comienza ni termina, admitimos los siguientes postulados: "Por dos puntos pasa una recta y solamente una" “Dos rectas cuando son perpendiculares no pueden tener más que un solo punto en común” Notación,- La recta se suele designar por dos de sus puntos con el símbolo ? encima o por medio de una letra mayúscula cerca de la recta
SEGMENTO.- Es la parte comprendida entre dos puntos de una recta, llamados origen y extremo del segmento o simplemente extremos. El segmento de extremos A y B se simboliza por AB
Medida de segmentos.- Medir un segmento es compararlo con otro elegido como unidad. El número que expresa a que distancia se encuentra A de B se llama medida o longitud de AB. Usaremos la simbología ?? ??? para denotar la longitud del segmento AB. P = Punto P p
3 Congruencia de segmentos Dos o más segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Ejemplo: Operaciones con segmentos.- Consiste en encontrar un segmento de longitud igual a las longitudes de los segmentos dalos.
Suma de longitudes de segmentos. Ejemplo: ???? ? ? ??? ??? ???? ? ? ? ? ?? ?? AC = AB + BC = a + b
Diferencia de longitudes de segmentos. Ejemplo:
AB = AC – BC = c – b
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D son tales que AD = 16, BD = 10 y AC = 11. Hallar BC. Solución: Realizando un gráfico ilustrativo se obtiene: Planteando la Hipótesis y la Tesis: H) AD = 16 BD=10 AC = 11 T) BC=?
4 Proposiciones 1) AD = AC + CD 2) 16 = 11 + CD 3) CD = 16 -11= 5
4) BD = BC + CD 5) 10 = BC + 5 6) BC = 10 – 5 = 5 Demostración Razones 1) Suma de segmentos 2) Sustitución de valores 3) Transposición y reducción de términos semejantes 4) Suma de segmentos 5) Sustitución de valores 6) Transposición y reducción de términos semejantes AB= 2. Sobre una línea recta se ubican en forma consecutiva los puntos A, B, C, de tal manera que 2BC y AC = 30. Determinar la longitud del segmento BC.
Solución: Realizando un gráfico ilustrativo se obtiene:
Planteando la Hipótesis y la Tesis: H) AB = 2BC Haciendo BC = X AB = 2X
T) BC =?
Demostración Proposiciones 1) AC = AB + BC 2) 30 = 2X + X 3) 3X = 30 4) X = 10 5) BC = X = 10 Razones 1) Suma de segmentos 2) Sustitución y cambio de variable 3) Reducción de términos semejantes. 4) Axioma multiplicativo. 5) Hipótesis 3. Sobre una línea recta se ubican en forma consecutiva los puntos A, B, C, de tal manera que AC= 14 y AB – BC = 2 Determinar la longitud de BC. Solución: Realizando un gráfico ilustrativo: Planteando la Hipótesis y la Tesis: H) AC = 14 AB – BC = 2
5 DE ? EF AB ? BC AD+CF 2 T) BC = ?
Proposiciones 1) AB + BC = AC 2) AB + BC =14 3) AB – BC =2 4) 2AB = 16 5) AB = 8 6) BC = 6 Demostración Razones 1) Suma de segmentos 2) Hipótesis 3) Hipótesis 4) Suma de igualdades (2) y (3) 5) Axioma multiplicativo 6) Sustituyendo (5) en (2) 4. Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D son tales que AC = CD, Demostrar que BD – AB BC = 2 Solución: Realizando un gráfico ilustrativo: Planteando la Hipótesis y la Tesis: H) AC = CD BD – AB T) BC = 2
Proposiciones 1) BD = BC + a 2) AB = a – BC 3) BD – AB = 2BC Demostración Razones Suma de segmentos Suma de segmentos Suma de igualdades (1) y (2) 4) BC = AD-AB 2 Axioma multiplicativo.
TAREA 1) A B C D H) AC = BD T) AB = CD 2) A B C D E F H) T) BE =
6 AC +CD 2 AB = AD = 2 3) A B C D H) T) ?????? ?????? 4) Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D. Hallar AD, sabiendo que AC=BD= l6m y BC = 400 cm. AD= 24m
5) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E, F de modo que BE=5AF/8. Calcular AF sabiendo que: AC+BD+CE+DF = 39 24
ÁNGULOS
DEFINICIÓN.- Consideremos una semirrecta en el plano y hagámosla rotar alrededor del origen O. este movimiento de rotación que hacemos sobre la semirrecta ???? en el plano con el punto O fijo, hasta una posición final ???? determina una figura geométrica que llamamos ángulo por rotación. ?????? ?????? ?????? La semirrecta ???? la llamamos lado inicial del ángulo y la semirrecta ???? la llamamos lado terminal del ángulo respectivo. El punto O de intersección coincide con el sentido de la semirrectas en el vértice.
Si la rotación de la semirrecta ???? es contraria a la de las agujas o manecillas del reloj, diremos que el ángulo es positivo. Si la rotación coincide con el sentido de giró de las agujas del reloj diremos que el ángulo es negativo.
NOTACIÓN AOB (la letra del vértice en el centro) BOA ó
o también:
O; O ; etc.
7 ÁNGULOS CONGRUENTES
Dos ángulos son congruentes si tienen igual medida. m AOB ? o también AOB = m EOF
EOF si nos referimos a las medidas CLASIFICACIÓN
Por su magnitud se clasifican en:
ANGULO NULO.- Su magnitud es igual a 0° AOB = 0° Agudo.- Su medida es mayor que 00 y menor que 90 o A > 0° y A < 0° A
Recto.- Su magnitud es igual a 90 o A > 90° y A < 180° A B O B
B = 90°
Obtuso.- Su magnitud es mayor que 90 o y menor que 180o A
8 B = 180° R = 360° Por la relación de sus lados se clasifica en:
Ángulos Consecutivos.- Dos ángulos son consecutivos si tienen el mismo vértice; un lado común y los otros lados en regiones distintas del común. Ángulos adyacentes.- Denominado también par lineal; son dos ángulos consecutivos cuyas medidas suman 180º. AOC + COB = 180º Ángulos complementarios.- Ángulos complementarios son los que, sumados, dan un ángulo recto (90º). Ángulos suplementarios.- Ángulos suplementarios son aquellos que sumados dan como resultado un ángulo llano (180º). Los ángulos suplementarios no tienen por qué ser necesariamente adyacentes. Angulo llano.- Mide 180°
B
Angulo plano.- Su magnitud es igual a 360° R
9 Opuestos por el vértice.- son dos ángulos no adyacentes formados cuando dos rectas se intersecan. Ángulos formados en dos rectas cortadas por una transversal Internos.- Son aquellos que están dentro de las rectas 3, 4, 5 y 6
Externos.- Aquellos que están fuera de las rectas 1, 2, 7 y 8
Alternos internos.- Se encuentran dentro de las rectas y a cada lado de la trasversal.
3 y 6, 4 y 5
Aleatorios externos.- Están fueras de las rectas y a diferente lado de la trasversal.
1 y 8, 2 y 7
Correspondientes.- Son aquellos que están al mismo lado de la trasversal, el uno interior y el otro exterior.
1 y 5, 3 y 7, 2 y 6, 4 y 8
Colaterales.- Son aquellos que están dentro de las rectas o fuera de ellas, pero al mismo lado de la trasversal.
1 y 7, 3 y 5, 2 y 8, 4 y 6
10 MEDIDA DE ÁNGULOS La magnitud de un ángulo en la amplitud de rotación para llegar desde el lado inicial hasta el lado terminal. Los sistemas más utilizados para medir ángulos son el sistema sexagesimal y el Sistema Internacional (SÍ)
Sistema sexagesimal.- Sus unidades son el grado (0), el minuto (’) y el segundo (’’) Un grado sexagesimal (1o) es la medida de un ángulo formado por 1/360 de un giro completo en sentido opuesto.
Un giro o revolución mide 360o, es decir, 1?????? = 3600 Un grado es igual a 60 minutos, es decir, 10 = 60' Un minuto es igual a 60 segundos, es decir, 1' = 60''
Sistema Internacional.- Su unidad es el radian (rad) Un radián es la de un ángulo central que determina un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. 1?????? = ???????????????? ???? ???? ???????????????????????????? ?????????? ???? ???? ???????????????????????????? = 2???? ?? = 2?? Por lo tanto un giro completo es igual a 2?rad, es decir, 1?????? = 3600 = 2????????
EQUIVALENCIAS NOTA: se requiere que el estudiante complete el cuadro de equivalencias
11 TEOREMAS
1. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes: Opuestos por el vértice H) T) a y a ? ß ß m a +m 1 = 180º 1) Par lineal (Suplementarios) ß +m 1 m m m ß +m a +m a =m 1 = 180º 1=m ß Par lineal. Axioma transitivo
Axioma cancelativo. a ? ß Definición de congruencia. 2. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante los ángulos alternos internos son congruentes. H) L1 / / L2 T) 3 ? 6 6+ m 5 m m m m 3+m 6+m 3+m 3=m 5 = 180º 5 = 180º 5=m 6 Ángulos conjugados internos (Postulado) Par lineal. Axioma transitivo Axioma cancelativo. 3 ? 6 Definición de congruencia.
12 3. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante los ángulos alternos externos son congruentes. H) L1 / / L2 T) 1 ? 8 8+ m 7 m m m m 1+m 8+m 1+m 1=m 7 = 180º 7 = 180º 7=m 8 Ángulos conjugados externos (Postulado) Par lineal. Axioma transitivo Axioma cancelativo. 1 ? 8 Definición de congruencia. 4. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante los ángulos correspondientes son congruentes. H) L1 / / L2 T) 2 ? 6 m m m 7 7 6 2=m 6=m 2=m 2 ? 6 Ángulos alternos externos(Teorema 3) Ángulos opuestos por el vértice (Teorema 1) Axioma transitivo Definición de congruencia.
13 5. Las bisectrices de los ángulos de un par lineal forman entra sí un ángulo cuya medida es 90º COB Suplementarios AOC COB H)
T) AOC y ON bisectriz OM bisectriz
NOM=90º 2m
m 1 + 2m
1+m 2 = 180º
2 = 90º Suma de ángulos a un mismo lado de una recta.
Axioma multiplicativo. m NOM = 90º Axioma. 6. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales. H) AOB y COD Opuestos por el vértice. T) m
2m YOX = 180º
1 = 2m 2 Ángulos opuestos por el vértice (Teorema1) m
m
m 1 =m
2+m
1+m 2
2+m
2+m a = 180º
a = 180º Axioma multiplicativo.
Suma de ángulos a un mismo lado de una recta.
Sustitución m YOX = 180º El todo es igual a la suma de sus partes(Axioma)
14 Ángulos de lados perpendiculares
7. Si los dos ángulos son agudos y tienen sus lados respectivamente perpendiculares serán iguales. 8. Si dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso tienen sus lados respectivamente perpendiculares entonces serán suplementarios. a ?
ß +
ß + 1
1 = 180º
a = 180º Por construcción
Ángulos agudos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares.
Suplementarios.
Sustitución 9. Si los dos ángulos son obtusos y tienen sus lados respectivamente perpendiculares, será iguales. a +
ß +
a –
a = 1 = 180º
1 = 180º
ß =0
ß Ángulos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares. Suplementarios.
Restando las igualdades.
Axioma aditivo.
15 Ángulos de lados paralelos.-
10. Si los ángulos son agudos y dirigidos en el mismo sentido éstos serán iguales. a ?
ß ?
a ? 1
1
ß Correspondientes.
Correspondientes.
Axioma Transitivo. 11. Si los ángulos son agudos y sus lados dirigidos en sentido contrario, estos ángulos también será iguales. a ?
ß ?
a ? 1
1
ß Correspondientes.
Alternos internos.
Axioma Transitivo. 12. Si uno es agudo y el otro obtuso siendo los dos lados del mismo sentido y los otros de sentidos contrarios los ángulos serán suplementarios. a + 1 = 180º Ángulos colaterales.
16 1 ?
a + ß
ß = 180º Correspondientes.
Sustitución Propiedades.-
Si L1 // L2 => a + b = Ø +ß +a L1 // L3 // L4 // L5 Por construcción a= b= Ø+ a + 1 2 Axioma. El todo es igual a la suma de sus partes. Axioma. 2 a+
ß =
a+ b=
1+
b= Ø+
2
Ø+ a +
a + 1+
ß Suma de igualdades.
Axioma.
Sustitución. Ejemplos ilustrativos
1. La suma de complementos y suplementos de dos ángulos que se diferencian en 40º es 400º. Calcular el complemento del mayor ángulo. ? – ß = 40º (1) Hipótesis S? + Sß + C? + Cß = 400º Hipótesis
(180º-?)+(180º-ß )+(90º- ?)+(90º-ß )= 400º Definición de suplemento y complemento 540º- 2? – 2ß = 400º Propiedad clausurativa y reducción de términos semejantes.
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