17 140º = 2? + 2ß Axioma aditivo 70º = ? +ß (2) Axioma multiplicativo. (1) ? – ß = 40º (2) ? +ß = 70 2? = 110º ? = 55º, ß =15º
C? = C55º= 35º Hipótesis Ecuación deducida Suma de igualdades. Axioma multiplicativo.
Complemento del mayor ángulo. 2. Dos veces la medida de un ángulo es igual el suplemento de dicho ángulo. Hallar los ángulos.
Solución: 2a =ß a +ß = 180º a +2a = 180º 3a =180º a = 60º ?ß = 120º Hipótesis. Suplementarios. Sustitución. Reducción de términos semejantes. Axioma multiplicativo. Suplementario. 3. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC, luego se traza OM , bisectriz del AOC. Calcular la BOC – m AOB =30º. medida del ángulo MOB, sabiendo que m
Resolución: m BOC – m AOB =30º Hipótesis. (m x+m 1)-( m 1- m x) = 30º Axioma. 2m m x = 30º x = 15º Axioma cancelativo. Axioma multiplicativo.
18 TAREA
1) Realice un organizador gráfico de la clasificación de los ángulos
2) Termine de llenar la siguiente tabla 3) Dos ángulos son complementarios y uno le ellos es ? rad/10 más que el triple del otro. Cuánto mide cada ángulo. 18°, 72o
4) Calcular el valor de dos ángulos suplementarios de modo que si el quíntuplo del menor le disminuye la mitad del mayor, se obtiene el triple del menor aumentado en ? rad/18.
40°, 140°
5) De dos ángulos suplementarios, los 2/3 de uno de ellos más la sexta parte del otro forman un ángulo recto, -cuanto mide cada ángulo. 60°, 120° 6) Los 4/7 de un ángulo menos la cuarta parte de su suplemento, dan su suplemento aumentado en ? rad/6. ¿Cuánto mide el ángulo?
140°
7)
19 8) 9) 10)
20 11) 12) Si L1 // L2,hallar x 90º 13) Hallar x 85º
21 TRIÁNGULOS
Definición.- Es una porción de plano limitado por tres segmentos.
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO:
Mediana.- Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. El punto de intersección de las medianas se llama BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD.
Mediatriz.- Es la perpendicular trazada en el punto medio de uno de los lados. a su lado opuesto o su Se denomina CIRCUNCENTRO al punto de intersección de las mediatrices. Es el centro del círculo circunscrito.
Altura.- Es el segmento que parte de un vértice en forma perpendicular prolongación. El punto de intersección de las tres alturas se llama ORTOCENTRO.
22 Bisectriz.- Es el segmento que divide al ángulo en dos ángulos de igual medida. La intersección de las bisectrices toma el nombre de INCENTRO. Es el centro del círculo inscrito.
CONGRUENCIA (? ) DE TRIÁNGULOS
Dos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño. Postulados
1) Dos triángulos son congruentes si y sólo si, son respectivamente congruentes sus dos lados; el ángulo comprendido entre ellos. A este postulado se le conoce como criterio de congruencia lado, ángulo, lado que se representa como: L.A.L. ?ABC ? ?A´B´C´(L.A.L)
23 2) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes un lado y los ángulos adyacentes a éste. A este postulado se le conoce como criterio de congruencia ángulo, lado, ángulo que se representa como A.L.A. ?ABC ? ?A´B´C´(A.L.A)
3) Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los lados correspondientes de otro, entonces los dos triángulos son congruentes. A este criterio se le conoce como lado, lado, lado, que se abrevia como L.L.L. ?ABC ? ?A´B´C´(L.L.L.) 4) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos ángulos y un lado homólogo cualquiera entonces son congruentes. A este criterio se le conoce como ángulo, ángulo, lado que se representa como A.A.L. ?ABC ? ?A´B´C´(A.A.L)
24 Teoremas 1) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. H) ABC Triángulo T) m A+m B+m C= 180º D) CE // AB Por construcción. m m
m ECG = m ECB = m
GCE + m A B
ECB + m C= 180º Correspondientes. Alternos internos. Suma de ángulos a un mismo lado de una recta. m A+m B+m C= 180º Sustitución. 2) El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes. H) BCF es exterior al ?ABC T) m BCF = m A+m B D) m BCF + m C = 180º Suplementarios. m A+m B+m C= 180º Teorema. m BCF + m C=m A+m B+m C Axioma transitivo. m BCF = m A+m B Axioma cancelativo.
25 3) En todo triángulo; la suma de los ángulos exteriores es 360º. H) ? , ? , a ángulos exteriores al ?ABC T) ? + ? + a = 360º D) m
m
m
(m B+m
A+m
C+m
B+m ? ? a
A+m = 180º
= 180º
= 180º
C)+m ? +m ? +m Suplementarios.
Suplementarios.
Suplementarios. a =540º Suma de igualdades y propiedad asociativa. 180º + m ? +m ? +m a = 540º Teorema 1 m ? +m ? +m a = 360º Axioma aditivo 4) En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes. H) ?ABC Isósceles AC ? BC T) A ? B
26 C D) CE bisectriz AC ? BC Por construcción. Hipótesis. m ACE = m BCE CEbisectriz de C. CE ? CE ?ACE ? ?BCE Lado común. Postulado(LAL) m B A=m A ? B Partes homólogas. Definición de congruencia. 5) Todo triángulo isósceles tiene dos bisectrices laterales congruentes. B A H) ?ABC Isósceles BQ bisectriz AP bisectriz
T) AP ? BQ D) A? B Teorema. 1? 2 de ángulos Bisectrices congruentes AB ? AB ?BAQ ? ?ABP BQ ? AP Lado común Postulado(A.L.A.) Partes homólogas.
27 6) Todo triángulo isósceles tiene dos alturas laterales congruentes. H) ?ABC Isósceles AM altura. BT altura.
T) AM ? BT D) ATB? BMA Hipótesis. A? B Teorema. AB ? AB ?BAT ? ?ABM BT ? AM Lado común Postulado(A.A.L.) Partes homólogas. 7) Todo triángulo isósceles tiene dos medianas laterales congruentes. H) ?ABC Isósceles AM Mediana BN Mediana
T) AM ? BN D) AN =
BM = AC 2 BC 2 Axioma.
Axioma.
28 Como AC ? BC
AN ? BM Lados de un triángulo isósceles. Axioma transitivo. A? B Teorema AB ? AB ?NAB ? ?MBA ? BN ? AM Lado común
Postulado L.A.L.
Partes homólogas. 8) El ángulo formado por dos bisectrices internas de un triángulo es igual a 90º más la mitad de la medida del ángulo no bisecado.
H) O incentro ?ABC T) m X = 90º + m C 2 D) En el ?ABC m A+m B+m C = 180º Suma de ángulos internos de un triángulo. m A 2 +m B 2 +m C 2 = 90º (1) Axioma multiplicativo. En el ?AB0 Suma de ángulos internos de un triángulo. m
m A 2 A 2 +m
+m B 2 B 2 +m
+m X = 180º (2)
X = 180º (2) m A 2 +m B 2 +m C 2 = 90º (1) m X-m C 2 = 90º Restando las ecuaciones (2) y (1). m X = 90º + m C 2 Axioma aditivo.
29 9) El ángulo formado por las bisectrices interna y externa de vértices diferentes de un triángulo; es igual a la mitad de la medida del ángulo interno en el tercer vértice. H) O ex-centro ?ABC T) m X=m B 2 D) En el ?ACO m 2= m X+m 1 (1) Ángulo exterior a un triángulo. En el ?ABC 2m
m 2 = 2m
2=m 1+ m
1+ m B 2 B
(2) Ángulo exterior a un triángulo.
Axioma multiplicativo. 1+ m B 2 m
m X+m
X=m 1=m
B 2 Axioma transitivo (1)=(2).
Axioma cancelativo. 10) El ángulo formado por dos bisectrices externas de un triángulo; es igual a 90º disminuido en la mitad del ángulo interno en el tercer vértice.
30 H) O ex-centro ?ABC T) m X = 90º – m A 2 D) En el ?BOC m 1+m 2+m X = 180º Suma de ángulos internos de un triángulo. m X = 180º – m 1–m 2 (1) Axioma aditivo. En el ?ABC 2m 2=m A+m B Ángulo exterior a un triángulo. m 2=m A 2 +m B 2 (2) Axioma multiplicativo. 2m 1=m A+m C Ángulo exterior a un triángulo. m 1=m A 2 +m C 2 (3) Axioma multiplicativo. m X = 180º – (m A 2 +m C 2 ) – (m A 2 +m B 2 ) Sustituyendo (3) y (2) en (1) m X = 180º – m A 2 –m C 2 –m A 2 –m B 2 ) Destruyendo paréntesis. m X = 180º – (m A 2 +m B 2 +m C 2 ) –m A 2 Propiedad conmutativa y asociativa. m X = 180º – 90º – m A 2 Semisuma de ángulos internos de un triángulo. m X = 90º – m A 2 Propiedad clausurativa.
31 Teorema de Thales.
11) Si tres o más rectas paralelas determinan segmentos congruentes sobre una transversal, determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra transversal. H) L1 // L2 // L3 AB ? BC T) DE ? EF
D) DH ? EM // AC AB ? DH BC ? EM AB ? BC DH ? EM Por construcción.
Lados opuestos de un paralelogramo.
Lados opuestos de un paralelogramo. Hipótesis. Axioma transitivo. m
m m m HDE = m
DHE = m HEM = m DHE = m MEF
HEM EMF EMF Correspondientes.
Alternos internos. Alternos internos. Axioma transitivo. ? HDE ? ?MEF DE ? EF Postulado (A.L.A.) Partes homólogas 12) El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de sus vértices. H) P punto medio de AB
T) AP ? PB ? PC
32 D) PQ//CB mQP = mQP Por construcción.
Lado común. m PQA = m PQC = 90º PQ//CB mAQ = mQC
? APQ ? ? CQP AP ? PC AP ? PB AP ? PB ? PC Si una recta biseca a un lado de un triángulo y es paralelo a otro lado, biseca también al tercer lado. Postulado (L.A.L.) Partes homólogas. Hipótesis. Axioma transitivo.
Ejemplos ilustrativos 1) H) O Centro del semicírculo. EP =
T) m AB 2
X=? Resolución
OB = OA = r Hipótesis. = r EP =
EP = AB 2 2r 2 Hipótesis.
Sustitución. OE:radio Por construcción. m m m m EOA = 15º CEO = 30º ECO = 30º X = 45º A lados iguales, se oponen ángulos iguales. Ángulo exterior a ? OEP. A lados iguales, se oponen ángulos iguales. Ángulo exterior a ? COP.
33 2) H) BC = 2AB T) m C=? Resolución
AM Por construcción m AMB = m MAB = 60º ? ABM Isósceles y equilátero. CAM
C 60º = m
60º = m
60º = 2 m C+ m
C+ m
C Ángulo exterior a ? CMA. ? CMA Isósceles
Reducción de términos semejantes. m C = 30º Axioma multiplicativo. 3) H) BP ? AC T) m X=? Resolución
CM altura CM = a Por construcción.
Lado opuesto al ángulo de 30º en el AMC. m BCM = 45º Ángulo complementario. BM = CM = a
MP = a A ángulos iguales, se oponen lados iguales.
EL todo es igual a la suma de sus partes. m X = 45º ? PMC rectángulo e Isósceles.
34 TAREA
1) Consultar la clasificación de los triángulos de acuerdo a sus lados, a sus ángulos y a sus líneas notables. 2) Realice un organizador gráfico de los postulados de congruencia de los triángulos presentados en este documento. 3) Realice un organizador gráfico de los teoremas de los triángulos presentados en este documento 4) 5) 6) 7)
35 8) 9) 10) Consulte y resuelva un ejercicio similar a los anteriores
36 CIRCUNFERENCIA
Circunferencia.- Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto de dicho plano llamado centro.
Circulo.- Es la porción de plano que comprende la circunferencia y su interior. Ángulos en la circunferencia y su medida.
Ángulo Central.- Es el ángulo que tiene como vértice el centro de la circunferencia y como lados dos radios.
Teorema La medida del ángulo central es igual a la medida del arco que subtiende sus lados. H) X Ángulo central. AB
T) m Arco que subtiende sus lados.
X = m AB D) CB : m CAB = 180º Diámetro por construcción. Longitud de arco de una semicircunferencia. m
m BOC = 180º
BOC = m CAB Ángulo llano.
Axioma transitivo.
37 m X = m AB En forma proporcional. Ángulo Inscrito.- Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.
Teorema La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. H) X
AC Ángulo inscrito.
Arco que subtiende sus lados. T) m X = mAC 2 D) BD: OA y OC Diámetro por construcción. Radios por construcción. a ? BAO = m
BCO = m a ? m
m
m m 2m 2m ABO = m
CBO = m
AOD = 2 m DOC = 2 m a = m AD ? = m DC ? BOA Isósceles.
? BOC Isósceles.
Ángulo exterior a un triángulo. Ángulo exterior a un triángulo. Ángulo central. Ángulo central. 2m 2(m a + 2m a +m ?= m AD + m DC ?)= m AD + m DC Suma de igualdades Factorando. m X= mAC 2 La suma de las partes es igual al todo.
38 Ángulo Semi -inscrito.- Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son una cuerda y una tangente. Teorema La medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendida entre sus lados. H) X
AB Ángulo semi – inscrito.
Arco que subtiende sus lados. T) m
D) AC:
m m mAB X = 2
TAC = 90º X = 90º – m ? (1) Diámetro por construcción. TT` – AC El todo es igual a la suma de sus partes. m ? = mBC 2 (2) Ángulo inscrito. m X = 90º – mBC 2 Sustitución (2) en (1). m
m X=
X= 180 º-mBC 2
mAB 2 Sumando.
El todo es igual a la suma de sus partes. Ángulo Interior.- Es el ángulo que tiene su vértice dentro de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas que se cortan.
Teorema La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos correspondientes. H) X Ángulo interior. AB ? DC Arcos que subtienden sus lados. T) m X = mAB + mDC 2
39 D) BC Cuerda por construcción. m X=m ? + m ß Ángulo exterior a un triángulo. m X= mDC 2 + mAB 2 Ángulo inscrito. m X= mDC + mAB 2 Sumando. Ángulo Exterior.- Es el ángulo que tiene su vértice fuera de la circunferencia y sus lados son dos secantes o dos tangentes, o una secante y una tangente.
Teorema La medida del ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos interceptados. H) X Ángulo exterior. AB ? AD Arcos que determinan sus lados. T) m X = mBC – mAD 2 D) m m ? =m X=m ß +m ? -m X ß Ángulo exterior a un triángulo. Axioma aditivo. m X= mBC 2 – mAD 2 Ángulo inscrito. m X= mBC – mAD 2 Sumando.
40 Ángulo Ex-inscrito.- Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son una cuerda y una secante. Teorema La medida del ángulo ex-inscrito es igual a la semisuma de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo y entre los lados del ángulo opuesto por el vértice. H) X Ángulo ex-inscrito. AB ? BC Arcos que determinan sus lados. T) m X = mAB + mBC 2 D) m a = m mAC 2 Ángulo inscrito. m X = 180º – m a Suplementarios. m X = 180º – mAC 2 Sustitución. m
m X=
X= 360 º-mAC 2
mABC 2 Sumando.
El todo es igual a la suma de sus partes. T) m X = mAB + mBC 2 El todo es igual a la suma de sus partes. TAREA
1) Realice un organizador gráfico sobre ángulos en la circunferencia y su medida
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