Matemáticas 5. Propiedades de los números enteros

Propiedades de los números enteros

Orden numérico. Es el que da la idea de que un número es mayor o menor que otro número, o que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo: el orden de los cursos de la educación primaria es (1º primero, 2º segundo, 3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto)

Número mayor: Que supera en cantidad a otro.

Número menor: Que es inferior en cantidad a otro.

El número siguiente a otro, es el número considerado más una unidad , por ejemplo 6 = 5 + 1.

El número anterior a otro, es el número considerado menos una unidad, por ejemplo 4 = 5 – 1.

Recta numérica. es la que esta dividida en intervalos iguales de distancia. La diferencia entre una división y la siguiente es siempre la unidad (1).

Tareas 1 y 2

1. Escribe los números que faltan en la recta numérica.

2. Observa la recta. Luego responde.

• ¿Sobre qué número está el conejo?

• ¿Sobre qué número está el gato?

• ¿Qué número está a la izquierda de la tortuga?

• ¿Qué números están entre el conejo y el gato?

• ¿Qué números están entre la tortuga y el conejo?

Unidad (1), se llama a un objeto de comparación, por ejemplo un cubo.

Decena (10), se llama a un grupo formado por diez (10) unidades, por ejemplo a una columna formada por 10 cubos.

Centena (100), se llama a un grupo formado por diez decenas o cien (100) unidades, por ejemplo un muro formado por 10 columnas de 10 cubos cada una.

Milenia (1000), se llama a un grupo formado por diez (100) centenas o mil (1000) unidades, por ejempl0 un cubo grande formado por mil cubitos.

Tareas 1, 2, 3 y 4.

1. Escribe en el cuadrito las unidades indicadas.

2. Escribe en el cuadrito las decenas de cada instrumento de medida.

3. Escribe en el cuadrito las unidades de cada billete.

4. Escribe en el cuadrito las milenias de cada billete.

Posición numérica. Es el sitio o lugar ocupado por un número.

Valor de un número. Es la cantidad de unidades, o fracciones de unidades que representa el número. Por ejemplo, caja o bolsa de 1.5 kilogramos, informa que la caja o bolsa hay un kilogramos y medio del producto.

Un número de varias cifras se puede descomponer en una tabla o un ábaco de posición con unidades, decenas y centenas.

Por ejemplo, la descomposición del número 329.758

Tabla o ábaco de posición

Ábaco

Tareas 1, 2 y 3.

• 1. Descomponga en una tabla de posición y en un ábaco cada uno de los siguientes números:

2. Qué número tiene:

• 3 UM, 4 C y 3D _______________________________

• 4 U, 8C, 6 UM y 4D ____________________________

3. Cuántas monedas:

• de 50 pesos recibo por el cambio de un billete de 2000 pesos: _____________.

• de 200 pesos recibo por el cambio de un billete de 50.000 pesos: ___________.

Valor de posición

El valor de una cifra depende de la posición que ocupa en el número.

Ejemplo:

697.123.854 = 600.000.000 + 90.000.000 + 7.000.000 + 100.000 + 20.000 + 3.000 + 800 + 50 + 4

Tareas 1 y 2

1.

2. Escribe el valor de posición de la cifra encerrada en un círculo en cada número.

Valor de posición de números decimales

Los números decimales están formados por una parte entera y otra decimal separadas por una coma. Por ejemplo:

Tareas 1 y 2.

1. Ubica en la tabla la posición de cada cifra de los siguientes números decimales.

2. Selecciona por los números de las piedras las que corresponde a cada uno de los tres niños: a Diana las que tiene cuatro decimas, a Luis las que tienen cinco centésimas y a José las que tiene dos milésimas.

Piedras de Diana____________________________________________________

Piedras de Luis_____________________________________________________

Piedras de José_____________________________________________________

Igual a, mayor que, menor que. Cuando comparamos las cantidades que representan los números puede suceder que:

• Una cantidad sea igual a otra, lo cual se escribe con el signo (=), ejemplo: 23 = 23.

• Una cantidad sea desigual a otra, lo cual se escribe con el signo (?), ejemplo:

1988 ? 2000.

• Una cantidad sea mayor que otra, lo cual se escribe con el signo (>), ejemplo: 50>22.

• Una cantidad sea menor que otra, lo cual se escribe con el signo (<), ejemplo: 12<33.

Comparación de números con algunas cifras iguales

De derecha a izquierda se comparan las cifras hasta encontrar cifras diferentes. El número mayor será aquel que tenga mayor esta cifra diferente.

Ejemplo: Comparar los números 4 5 6 9 2 8 y 4 5 6 9 7 2.

Tareas 1 y 2.

1. Compara los siguientes números:

Comparación de números fraccionarios.

• Dos fracciones que tienen el mismo denominador se comparan por el numerador, ejemplo:

• Dos fracciones que tienen diferente denominador, se amplifican o simplifican hasta obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador, y luego se comparan, ejemplo:

Conversión a común denominador: Multiplica el numerador de cada fracción por los denominadores de las demás fracciones. Este será el nuevo numerador de cada fracción Multiplica los denominadores. Este será el denominador común.

Tareas 1 y 2.

1. Compara las siguientes fracciones:

2. Compara las siguientes fracciones:

Comparación de números decimales. Para comparar dos números decimales primero se comparan las partes enteras.

• Si son diferentes, es mayor el número que tiene la mayor parte entera. Ejemplo:

• Si son iguales, se verifica que tengan la misma cantidad de cifras decimales para comparar. Si no las tienen se igualan las cifras con ceros. Ejemplo: 6,16 y 6,2. Igualemos cifras con un cero: 6,16 y 6,20.

Tarea 1

1. Escribe el signo >, <, = según corresponda.

Números impares y números pares

Tareas 1 y 2.

• 1. Escribe en la tabla los números impares de 1 a 100.

• 2. Escribe en la tabla los números pares de 2 a 100.

Número primo

Es el que tiene únicamente dos divisores. El 1 y él mismo. Ejemplo: El número 7 es un número primo porque es divisible solamente en 1 y en 7.

Método tabular para encontrar números primos. Por ejemplo entre 1 y 100.

Descomposición de números en sus factores primos. Por divisiones sucesivas, ejemplo:

Tareas 1 y 2.

1. Traza la ruta de una abeja para salir del panal, si sólo pasa sobre números primos.

2. Con el método tabular encuentra los números primos entre 101 y 200

Múltiplos de un número

Son los números que se obtienen al multiplicar el número por los números naturales incluyendo el cero, ejemplo: Los múltiplos del número 3 son:

Tarea

1. Escribe los diez primeros múltiplos de los números 7 y 15, y encuentra el mínimo común múltiplos (mcm) de ellos.

Divisores de un número

Son aquellos números que lo dividen en forma exacta, ejemplo:

2 es divisor de 12 porque la división es exacta, o sea, el residuo es

¿Cómo encontrar los divisores de un número?, por ejemplo del número 12. Se buscan todos los factores cuyo producto sea el número: 1 x 12 = 12, 2 x 6 = 12, 3 x 4 = 12

Tarea

1. Encuentra el conjunto de divisores de cada número.

Máximo común divisor (mcd), entre dos números, es el mayor divisor que tienen en común estos números, ejemplo:

Tarea

1. Encuentra el conjunto de divisores y el máximo común divisor de los siguientes números

Propiedades de las operaciones con números

Propiedad asociativa. Una operación es asociativa, si al agrupar sus términos en diferente forma, el resultado no cambia. Ejemplos,

Suma asociativa: (324 + 125) + 216 = 324 + (125 + 216)

Multiplicación asociativa: 5 x (4 x 3) x 2 = 5 x 12 x 2 = 120

Tareas 1, 2, 3 y 4

Sumas asociativas

1. Coloca en el cuadro los números de 1 al 9 en tal forma que las filas, las columnas y las diagonales sumen siempre 15.

2. Coloca en el cuadro los números de 4 al 12 en tal forma que las filas, las columnas y las diagonales sumen siempre 24.

Multiplicaciones asociativas

Agrupa con paréntesis distintos pares de números y resuelve la operación.

Propiedad conmutativa. Una operación es conmutativa si al cambiar el orden de sus términos el resultado no cambia. Ejemplos,

Suma conmutativa: • 71 + 28 = 28 +71 = 99

• La suma de los huevos en ambas bandejas es igual

Multiplicación conmutativa: 7 x 4 = 4 x 7 = 28

Tareas 5, 6 y 7

Sumas conmutativas

Escribe en cada caso el sumando que falta para que la igualdad sea verdadera

7. El número de botellas en cada canasta es igual? _____.

Propiedad distributiva. Es la posibilidad de escribir en otra forma, una suma o una resta ambas multiplicativas, ejemplos:

Propiedad distributiva de la suma: 6 x (3 + 4) = (6 x 3) + (6 x 4) = 18 + 24 =42

Propiedad distributiva de la resta: 9 x (6 – 2) = (9 x 6) – (9 x 2) = 54 – 18 = 36

Tareas 8 y 9

Escribe de otras formas las siguientes sumas y restas multiplicativas.

Potenciación

La potenciación es un producto de factores iguales, ejemplo:

Exponente

Base: Es el factor que se repite (4). Exponente: Es la cantidad de veces que se multiplica la base. Producto: Es el resultado de la operación.

Potencias de 10: El exponente indica el número de ceros después del número. Ejemplos:

Tareas 1 y 2.

1. Resuelve las siguientes potencias:

2. Calcula la cantidad de cubitos que hay en cada cubo y escribe el resultado en forma de potencia.

Radicación

La radicación es una operación inversa a la potenciación, es decir, conociendo el producto y el exponente se halla la base.

Número o producto

Tareas 1 y 2.

Logaritmación

La logaritmación es la operación que averigua el exponente conociendo la base y el producto.

Tareas 1 y 2.

1. Escribe cada potencia en forma de raíz y de logaritmo.

Logaritmos decimales.

Logaritmos naturales. Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

ln 1 = 0, ln e = 1, e = 2.71828.

El logaritmo común de un número, multiplicando por 2,3026 da el logaritmo natural del número. Por ejemplo, Log 1,60 = 0.2041. Ln 1,60 = 2.3026 x 0.2041 = 0.4700. Entonces, el logaritmo natural de 1.60 es 0.4700.

2. Completa la tabla.

Propiedades de los conjuntos

Conjunto es un grupo de elementos con las mismas características, propiedades o cualidades. Elemento es un componente de un conjunto.

Pertenencia.

Tareas 1 y 2.

Unión.

Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a dos o más conjuntos. La unión de dos conjuntos

Representación gráfica:

• Cuando no tienen elementos comunes.

Tareas 1 y 2.

1. Escribe los nombres faltantes de los elementos en los conjuntos.

2. Escribe los nombres faltantes de los elementos en los conjuntos.

• Cuando tienen algunos elementos comunes.

Tareas 1 y 2.

1. Escribe los nombres faltantes de los elementos en los conjuntos.

2. Escribe las letras faltantes de los elementos en los conjuntos.

• Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto.

Tareas 1 y 2.

1. Escribe las letras faltantes de los elementos en los conjuntos.

2. Escribe las letras faltantes de los elementos en los conjuntos.

Intersección.

Se define a la intersección que contiene el conjunto de elementos comunes a dos conjuntos A y B.

Representación gráfica:

Tareas 1 y 2.

1. Escribe las letras faltantes de los elementos en los conjuntos.

• Cuando tienen algunos elementos comunes

2. Escribe las letras faltantes de los elementos en los conjuntos.

• Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto

Diferencia

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto C formado por todos los elementos de A, que no pertenecen a B.

Tarea 1 y 2

1. Escribe los nombres faltantes de los elementos en los conjuntos

Representación gráfica:

2. Escribe los nombres faltantes de los elementos en los conjuntos

Complemento (C), es el conjunto con los elementos que le faltan a un conjunto (A) para que sea igual al conjunto universal (U).

Representación gráfica:

Tarea

1. Escribe los nombres faltantes de los elementos en los conjuntos

Fracciones de conjuntos, ( Fc ), son números fraccionarios que se usan para describir elementos comunes de un conjunto.

Tarea

1. Escribe en letras y en números cada fracción de elementos iguales que hay en el conjunto,

Comparación entre conjuntos

La comparación de la cantidad de elementos de un conjunto puede estar entre los siguientes tres casos:

• Tantos elementos como

El conjunto A tiene tantos platos como el conjunto B

• Más elementos que

El conjunto C tiene más copas que el conjunto D

• Menos elementos que el conjunto E tiene menos floreros que el conjunto F

Tareas 1, 2 y 3.

1. Escribe las palabras que faltan en la frase de comparación de los conjuntos.

El conjunto G tiene ______ ______ _______ el conjunto H.

2. Escribe las palabras que faltan en la frase de comparación de los conjuntos.

El conjunto I tiene ______ ______ _______ el conjunto J.

3. Escribe las palabras que faltan en la frase de comparación de los conjuntos.

El conjunto K tiene ______ ______ _______ el conjunto L.

Estadística

Redondeo de datos

Los redondeos más usados son a la unidad, a la décima o a la centésima más cercanos. El número que se redondea permanece igual cuando el que se desprecia es menor a 5 y aumenta en una unidad cuando es mayor a 5.

Ejercicios:

• 1. Redondear cada uno de los números siguientes:

Notación científica

En números grandes, especialmente con varios ceros, se usan las potencias de 10.

Ejemplos:

Ejercicios:

La media aritmética

La media aritmética, media o promedio de un conjunto de números es el resultado de dividir la suma de estos números por el número total de números del conjunto.

Ejemplo:

La nota promedio en matemáticas de un estudiante de cuarto grado fue el promedio de sus cuatro notas bimestrales:

Tareas 1, 2 y 3.

• 1. Seis compañeros de clase pesan: 54, 46, 52, 48, 47 y 58 kg. ¿Cuál es el peso medio?

___________________________

• 2. El profesor de matemáticas desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son:

¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase?

________________________________

• 3. Las edades de mis amigos y yo son: 12, 13, 10, 9, 12 y 11 años.

¿Cuál es el promedio de nuestras edades?

La mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

Conjunto impar

Cuando el conjunto de números es impar, el número central del conjunto de números, ordenados en forma creciente o decreciente, es la mediana.

Ejemplo:

Conjunto de números ordenados en forma creciente:

3, 4, 7, 88

Mediana es el número central 7.

Conjunto par

Cuando el conjunto de números es par, el promedio del par de números centrales, es la mediana.

Ejemplo:

Conjunto de números ordenados en forma creciente

1, 2, 2, 5, 7, 7, 8, 9

Tarea 1.

• 1. Hallar la mediana del siguiente conjunto de números:

• a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8. _________________

• b) 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 8, 9. ___________

• c) 4, 5, 7, 9, 2, 7, 5. _____________________

La moda

El valor del número presente más veces, es decir, el valor más frecuente en un conjunto de números ordenados creciente o decreciente es la moda.

Ejemplos:

En el conjunto: 2, 2, 5, 5, 9, 9, 9, la moda es 9.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, no hay moda.

2, 3, 3, 5, 6, 6, 8, hay dos modas 3 y 6.

Los conjuntos con una moda se llaman unimodales.

Los conjuntos con dos modas se llaman bimodales.

Tareas 1, 2, 3 y 4

• 1. Hallar la moda de los siguientes conjuntos de números

a) 77, 78, 78, 78, 79, 80, 81, 81

• a) 356, 356, 357, 358, 359, 359

• b) 920, 921, 922, 923, 924, 925

• c) 763, 763, 764, 764, 765, 765

• 2. Escriba cuál es la moda del corte de pelo. ______________

• 3. Escriba cuál es la moda? minifaldas___, jeans__, shorts___, capris___?

• 4. Escriba cuál es la moda de los zapatos tenis _____________.

Probabilidad o éxito

Cuando un evento puede presentarse de n maneras, o la probabilidad de suceder de p formas, se llama probabilidad (p) o éxito.

Ejemplo 1:

A la probabilidad p = 1, o de 100%, se llama certeza. Con un dado, teóricamente debe caer en número específico, por ejemplo 5, dentro de 6 lanzamientos consecutivos.

Ejemplo 2:

Si una lotería vende un millón de billetes, la posibilidad de ganarla comprando un solo billete es una millonésima:

Para tener la certeza de ganarla tendría que comprar el millón de billetes. Sin embargo, la posibilidad de ganarla incrementa lentamente con cada billete adicional que compre.

Si otra lotería vende 100 billetes, la posibilidad de ganarla comprando con un solo billete es de una centésima.

Para tener la certeza de ganarla tendría que comprar los 100 billetes. Sin embargo, la posibilidad de ganarla crece un poco mejor con cada billete adicional que se compre.

Tareas 1 y 2

• 1. ¿Si en la escuela están vendiendo la rifa de un ponqué con 50 puestos, cuántos puestos debo comprar para tener una probabilidad del 60% de ganarlo?__________________.

• 2. ¿Si el tablero de una ruleta tiene 30 cavidades para que se detenga la esfera, qué probabilidad tengo de ganar si hago 25 lanzamientos de la esfera consecutivos?_______.

Experimento aleatorio.

Es un procedimiento en el cual hay varios posibles resultados finales, ejemplo: Lanzamiento de una moneda.

Espacio muestral

Es el conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio, ejemplo, del lanzamiento de una moneda:

Espacio muestral = {cara, sello}

Tareas 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

1. Haga 4 lanzamientos con dos monedas y registre los resultados en la siguiente tabla.

2. Observe el espacio muestral del experimento de lanzar cuatro veces dos monedas y escríbelo.

3. Contesta las siguientes preguntas:

• ¿Cuántas y cuáles posibilidades se pueden obtener para este espacio muestral? _____.

_____________________________________________________________.

• ¿Qué posibilidades no se obtuvieron?___________________________________.