Integrales por sustituciones trigonometricas

INTEGRALES POR SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2008 [email protected] [email protected] [email protected] RESUMEN METODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA Un buen numero de integrales que contienen polinomios de segundo grado, se pueden transformar a integrales directas o inmediatas si se utilizan sustituciones de variables que contienen funciones trigonometricas que transforman la expresión en una identidad trigonométrica a2 + x2 ? x = a tg z ? x2 = a2 tg2 z a2 – x2 ? x = a sen z ? x2 = a2 sen2 z Reemplazando a2 + x2 = a2 + (a2 tg2 z ) a2 + x2 = {a2 + a2 tg2 z} a2 + x2 = { a2 (1 + tg2 z )} a2 + x2 = a2 (sec2 z ) Reemplazando a2 – x2 = a2 – (a2 sen2 z ) a2 – x2 = {a2 – a2 sen2 z} a2 – x2 = { a2 (1 – sen2 z )} a2 – x2 = a2 (cos2 z ) x2 – a2 ? x = a sec z ? x2 = a2 sec2 z Reemplazando x2 – a2 = (a2 sec2 z ) – a2 x2 – a2 = { a2 sec2 z – a2 } x2 – a2 = { a2 (sec2 z -1 )} x2 – a2 = a2 (tg2 z ) 1

? ? u u 2 2 + c 1 2 TABLA DE INTEGRALES ? du = u + c ? a du = a u + c donde a es una constante u n du = u n +1 n + 1 + c ? n ? -1 ? du u = Ln u + c a u du = a u Ln a + c donde a. > 0 y a ? 1 ? e du = e + c ? sen u du = – cos u + c ? cos u du = sen u + c ? sec u du = tg u + c ? csc u du = – ctg u + c ? sec u tg u du = sec u + c ? csc u ctg u du = – csc u + c ? tg u du = Ln sec u ? ctg u du = Ln sen u + c + c ? sec u du = Ln sec u + tg u ? csc u du = Ln csc u – ctg u + c = Ln tg u + c 2

? x ? = x – a ? x ? ? ? ? x ? ? 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 x x 2 a 2 2 ? ? x 2 x ? x ? Las siguientes integrales se pueden usar para resolver en forma directa, además se pueden demostrar ? a dx 2 + x 2 = 1 a arc tg ? ? + c ? a ? ? a dy 1 2 – x 2 2 a Ln a + x a – x + c dx ? 2 2 = 1 2a Ln x – a x + a + c dx a 2 – x 2 dx x 2 – a 2 = arc sen ? ? + c ? a ? = Ln x + x 2 – a 2 + c dx x x 2 – a 2 = 1 a arc sec ? ? + c donde a > 0 ? a ? ? a + x dx = 2 a + x 2 + a 2 2 Ln a 2 + x 2 + x + C1 ? x – a dx = x 2 – a 2 + a 2 2 Ln x 2 – a 2 + x + C1 ? a – x = arc sen + a 2 a – x 2 + c dx x x 2 + a 2 = 1 a Ln x 2 + a 2 – a x + c x 2 dx x 2 + a 2 = a 2 ? sec3 z dz – a 2 ? sec z dz = 2 2 + a 2 – a Ln x 2 + a 2 + x 2 + c1 dx x 2 a 2 – x 2 = – a 2 – x 2 a 2 x + c a 2 – x 2 2 dx = – a 2 – x 2 x – arc sen x a + c 3

? ? ? ?? ? x ? ? ? ? 1 1 a a ? 1 a dx 1 a ? ? ? ? z a x ? ? ? ? ? x ? ? x ? ? x 2 dx ? a 2 – x 2 ? 3 2 = x a 2 – x 2 – arc sen x a + c Encuentre una formula directa para la aplicación de la siguiente integral ? a dx a 2 + x 2 dx 2 + x 2 = 1 a arc tg ? ? + c ? a ? dx a 2 + x 2 = ? a sec 2 z dz a 2 sec 2 z a 2 + x 2 ? x = a tg z a sec 2 z dz a 2 sec 2 z = ? 1 a dz x = a tg z x2 = a2 tg2 z dz = ? dz = (z ) + c Reemplazando ? = (z ) + c a 2 + x 2 a + x 2 si x = a tg z ? dx = a sec 2 z dz a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tg 2 z a 2 + x 2 = a 2 ?1 + tg 2 z ? a 2 + x 2 = a 2 ? sec 2 z ? a dx 2 + x 2 = 1 a arc tg ? ? + c ? a ? si x = a tg z ? tg z = z = arc tg ? ? ? a ? x a 4

= dx ? ? dx dz 1 1 = ? 1 a x a 1 a 1 a 1 1 a ? 2 ? z (a – x)(a + x) Encuentre una formula directa para la aplicación de la siguiente integral dx a 2 – x 2 = ? a 2 – x 2 a cos z dz a 2 cos 2 z a 2 – x 2 ? x = a sen z (x )2 = a 2 sen 2 z dz Simplificando ? = ? a 2 – x 2 a cos z a cos z dz = ? sec z dz Si x = a sen z ? dx = a cos z dz a 2 – (x )2 = a 2 – a 2 sen 2 z Tabla de integrales ? sec z dz = ln sec z + tg z + c Reemplazando a 2 – x 2 = a 2 (1 – sen 2 z ) a 2 – x 2 = a 2 (cos 2 z ) si x = a sen z ? sen z = ? sec z dz = Ln sec z + tg z + c si cos z = a 2 – x 2 a ? sec z = a a 2 – x 2 1 a ? sec z dz = Ln a a a 2 – x 2 + x a 2 – x 2 + c tg z = x a 2 – x 2 1 a ? sec z dz = Ln a + x a 2 – x 2 + c 1 a ? sec z dz = 1 a(2) Ln (a + x )2 ? a – x 2 ? ? ? 2 + c = 1 2 a Ln (a + x )(a + x) + c a 2 – x 2 a x Cancelando términos semejantes 1 2 a Ln (a + x )(a + x ) + c = 1 Ln a + x + c 2 a a – x a 2 – x 2 ? dx a 2 – x 2 = 1 2 a Ln a + x a – x + c 5

? ? = ? ? dz 1 1 cos z dz 1 x a ? x ? x a x a 1 a 1 a 1 1 – x – a + c Ln 2 ? x – a ? ? ? 1 (x – a )(x + a ) dx 1 Encuentre una formula directa para la aplicación de la siguiente integral dx x 2 – a 2 dx x 2 – a 2 = = ? a sec z tg z dz a 2 tg 2 z x 2 – a 2 ? x = a sec z x 2 = a 2 sec 2 z sec z dz 1 1 1 a tg z a cos z tg z Si x = a sec z ? dx = a sec z tg z dz x 2 – a 2 = a 2 sec 2 z – a 2 1 1 ? a cos z 1 1 ? a sen z ctg z dz = ? a cos z sen z dz = ? csc z dz a x 2 – a 2 = a 2 (sec 2 z – 1) x 2 – a 2 = a 2 (tg 2 z ) si x = a sec z ? sec z = Tabla de integrales z = arc sec ? ? ? a ? ? csc z dz = ln csc z – ctg z + c si sec z = ? cos z = ? csc z dz = Ln csc z – ctg z + c si tg z = x 2 – a 2 a ? cot z = a x 2 – a 2 Reemplazando Ln csc z – ctg z + c = Ln a a x x 2 – a 2 a x 2 – a 2 + c si sen z = x 2 – a 2 x ? csc z = x x 2 – a 2 1 a 1 2a Ln Ln + c = x 2 – a 2 (x – a )(x – a ) + c x 2 – a 2 = 1 2a 2a (x – a )2 ? 2 2 ? ? ? Ln (x – a )(x – a ) + c x z a x 2 – a 2 Cancelando términos semejantes 1 2a Ln x – a x + a + c ? x = 2 – a 2 2a Ln x – a x + a + c 6

? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? x a ? x ? ? x ? ? Encuentre una formula directa para la aplicación de la siguiente integral dx a 2 – x 2 = arc sen ? ? + c ? a ? a 2 – x 2 ? x = a sen z dx a 2 – x 2 = ? a cos z dz a cos z x 2 = a 2 sen 2 z Si x = a sen z ? dx = a cos z dz a cos z dz a cos z = ? dz a 2 – x 2 = a 2 – a 2 sen 2 z Tabla de integrales ? dz = z + c a 2 – x 2 = a 2 – x 2 = a 2 ?1 – sen 2 z ? ? ? a 2 ? cos 2 z ? ? ? ? dz = z + c Reemplazando z + c = ar