Como graficar una desigualdad o inecuación (programación lineal)

100 80 60 40 20 100 80 60 40 -1- COMO GRAFICAR UNA DESIGUALDAD O INECUACIÓN (PROGRAMACIÓN LINEAL) Para fijar mejor la idea procederemos a mostrar varios ejemplos de menor a mayor grado de dificultad. EJEMPLO 1: Determinar gráficamente el área que cumple con la siguiente desigualdad: X + Y = 100 El primer paso consiste en graficar la recta X + Y = 100, recordando que en Programación Lineal solo se estudia el primer cuadrante ya que los valores que pueden tomar las variables son positivos o iguales a cero ( X = O , Y = O). Una expresión matemática del tipo “aX + bY > c” ó “aX + bY < c” divide al plano “ XY” en dos áreas, una que cumple con la expresión y otra que no cumple, la separación de dichas áreas está representada por la recta “aX + bY = c”. Para determinar estas áreas basta con escoger cualquier punto en el plano e introducir sus valores en la desigualdad. Si se cumple para dicho punto se cumplirá para todos los puntos que se encuentran de ese mismo lado. Si no se cumple, tampoco se cumplirá para ninguno de los otros puntos de ese mismo lado. En este caso escogeremos el punto (40,20) para determinar si cumple o no con X + Y = 100 20 40 60 80 100 Sustituyendo estos valores (40,20) en la desigualdad tendremos: 40 + 20 = 100 ; 60 = 100 Como si se cumple la desigualdad (60 es menor que 100) quiere 20 X + Y = 100 decir que todos los puntos que se encuentran a la izquierda y debajo de la recta cumplen con la desigualdad X+Y<100. Los puntos que se encuentran a la derecha y por encima de la recta no cumplirán. 20 40 60 80 100 Probemos con un punto que se encuentre por encima de la recta para verificar que es cierto lo que hemos dicho anteriormente: es decir NO DEBE CUMPLIR con X+Y<100. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING. José Luis Albornoz Salazar

60 40 100 80 60 40 20 -2- Estudiando el punto (60,70): Recuerde: Si se cumple para un punto se cumplirá para todos los que estén de ese mismo lado. Si no se cumple para un punto no se cumplirá para ninguno de los que estén de ese mismo lado. 100 80 EJEMPLO 2: Determinar gráficamente el área que cumple con la siguiente desigualdad: A –3 B = 0 20 Graficamos la recta A – 3 B = 0 : 20 40 60 80 100 Sustituyendo estos valores (60,70) en la desigualdad tendremos: 60 + 70 = 100 ; 130 = 100 NO se cumple la desigualdad (130 NO es menor que 100). El plano quedará dividido de la siguiente manera: 60 A – 3B = 0 40 100 20 80 20 40 60 80 100 Estudiando el punto (100,10) tendremos: A – 3 B = 0 ; 100 – 3 (10) = 0 ; 100 – 30 = 0 ; 70 = 0 20 40 60 80 100 Como 70 NO es menor que cero, quiere decir que NO cumple con la desigualdad y por consiguiente todos los puntos que están debajo de La parte sombreada representará el área del plano que cumple con la desigualdad “X + Y < 100” , y esta misma área más los puntos contenidos en la recta cumplen con la desigualdad “X + Y = 100”. Para determinar las áreas que cumplen o no con la desigualdad basta estudiar un solo punto. En el ejemplo anterior trabajamos con dos puntos para fijar bien la idea. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD la recta “A – 3 B = 0” tampoco cumplen. En atención a lo dicho anteriormente, la zona que cumple con la expresión “A – 3 B = 0” será la que se encuentra ubicada por encima de la recta graficada más los puntos contenidos en ella. El área sombreada cumple con la desigualdad: “A – 3 B = 0”: ING. José Luis Albornoz Salazar

100 80 60 40 y -3- EJEMPLO 4: Determinar gráficamente el área que cumple con la siguiente desigualdad : “Y = 60” Primero grafico la recta “Y = 60” y observo que los valores menores a 60 se encontrarán por debajo de esta recta.: 60 40 20 100 20 40 60 80 100 80 Y=60 Escoja cualquier punto que esté en esta área sombreada y verifique que si cumple con A – 3 B = 0. 20 20 40 60 80 100 EJEMPLO 3: Determinar gráficamente el área que cumple con la siguiente desigualdad : “X = 40” EJEMPLO 5: Determinar gráficamente el área que cumple con las siguientes desigualdades : Primero grafico la recta “X = 40” y observo que los valores mayores a 40 se encontrarán a la derecha de esta recta. Dicha área sombreada es la que cumple con “X = 40”. “X + Y = 100” y. “X – 3Y = 0” Primero estudio la primera desigualdad ( “X + Y = 100”) determino el área que cumple con ella: 100 80 100 60 40 20 X=40 80 60 40 X + Y = 100 20 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING. José Luis Albornoz Salazar

y ; ; ; ; -4- Sobre esta misma gráfica estudio la otra desigualdad teniendo presente que el área a determinar debe cumplir con las dos desigualdades al mismo tiempo. El área que cumple las desigualdades “X + Y = 100” “X – 3Y = 0” será la que se muestra sombreada a continuación : Graficando la recta “X – 3Y = 0” tenemos: 100 100 80 80 60 X + Y = 100 X – 3Y = 0 60 40 X – 3Y = 0 40 20 20 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 Para comprobar que esta zona cumple con las dos restricciones Cuando estudiamos la segunda desigualdad “X – 3Y = 0” notamos que los puntos que cumplen con ella están ubicados por encima de la recta “X – 3Y = 0”. Quiere decir que el área sombreada por debajo de la recta “X – 3Y utilice cualquier punto que esté ubicado en la zona sombreada e introdúzcalo en las dos desigualdades. Probemos con el punto (20,40), que está resaltado en el gráfico anterior dentro del área sombreada: = 0” cumple con la primera desigualdad “X + Y = 100” pero no con la segunda (entonces no forma parte del área buscada). X + Y = 100 20 + 40 = 100 ; 60 = 100 De igual forma notamos que hay dos áreas ubicadas por encima de la recta “X – 3Y = 0”, una que está sombreada (cumple con la X – 3Y = 0 20 – 3 (40) = 100 ; – 100 = 0 primera desigualdad “X + Y = 100” ) y otra que está en blanco (no cumple con la primera desigualdad pero cumple con la segunda). Como debemos indicar el área que cumple con las dos desigualdades no tomo en cuenta la que está ubicada por encima de la Notamos que al sustituir los valores (20,40) en las dos desigualdades ambas se cumplen. Probemos con el punto (60,80), que está ubicado fuera del área sombreada: recta “X – 3Y = 0” (cumple con la segunda desigualdad “X – 3Y = 0” ) y que no cumple con “X + Y = 100”. En otras palabras dejo la que está sombreada y no tomo en cuenta la que está en blanco. X + Y = 100 X – 3Y = 0 60 + 80 = 100 ; 140 = 100 60 – 3 (80) = 100 ; – 180 = 0 Quedará sombreada únicamente el área que cumpla con las dos desigualdades. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD Notamos que al sustituir los valores (60,80) en las dos desigualdades, se cumple en la segunda pero NO en la primera. ING. José Luis Albornoz Salazar

500 – -5- EJEMPLO 6: Determinar gráficamente el área que cumple con las siguientes desigualdades : A1 + A2 = 500 (1) – A1 + A2 = 0 (2) – 2 A1 + A2 = 0 (3) A1 = 100 (4) Y a la condición de no negatividad que implica que todas las variables de decisión sean positivas (valores mayores o iguales a cero) A1 , A2 = 0 (5) Solución Gráfica: El problema tiene solamente dos variables de decisión, A1 y A2, y por lo tanto sólo dos dimensiones, así que podemos usar un procedimiento gráfico para resolverlo. Dicho proceso consiste en dibujar un gráfico en dos dimensiones, utilizando a A1 y A2 como los ejes. El primer paso consiste en identificar los valores de A1 y A2 permitidos por las restricciones, esto es, la región o área factible de solución determinada por las restricciones. El procedimiento más recomendado consiste en trazar la recta (“generada por la restricción”) y sombrear el lado factible y a medida que vayamos graficando nuevas rectas “borramos” el área sombreada anteriormente que no cumpla con esta nueva restricción. En el gráfico anterior notamos que el punto (100,200) cumple con la restricción (100 + 200 < 500) por lo que todos los que están en el primer cuadrante y del lado izquierdo de la recta también. – Estudiando la restricción 2: – A1 + A2 = 0 (2) A2 El área sombreada representa el espacio de solución factible de A1 + A2 = 500 y – A1 + A2 = 0 – A1 + A2 = 0 A1 + A2 = 500 Recuerde que las restricciones de no negatividad ( A1 = 0 ; A2 = 0) limitarán la región factible a estar en el cuadrante positivo (conocido como primer cuadrante). Estudiando la primera restricción A1 + A2 < = 500 (1) 100 300 500 A1 A2 500 A1 + A2 = 500 El área sombreada representa el espacio de solución factible de A1 + A2 = 500 El punto (100,200) cumple con la restricción dos (-100 +200 > 0) y ya vimos que cumple con la restricción 1. Sin embargo el punto (200,100) cumple con la restricción 1…. (200+100 < 500) pero NO cumple con la restricción 2… (-200+100 no es mayor que 0) por lo tanto no estará dentro del espacio de solución. El estudiante debe recordar que para formar parte del espacio de solución o área factible los puntos deben cumplir con todas las restricciones que se vayan estudiando. El último aspecto señalado permite garantizar que la solución encontrada cumpla con todas las restricciones o limitaciones que impone el Modelo Matemático. 100 300 500 A1 Nótese también que a medida que se van analizando las restricciones el espacio factible (área sombreada) se hace menor. JAMAS crecerá. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING. José Luis Albornoz Salazar

-6- – A2 Estudiando la restricción 3: – 2A1 + A2 = 0 (3) El área sombreada representa el espacio de solución factible 500 – 2 A1 + A2 = 0 – A1 + A2 = 0 A1 + A2 = 500 500 A1 de – 2 A1 + A2 = 0 A1 + A2 = 500 – A1 + A2 = 0 – Estudiando la restricción 4: A2 A1 = 100 (4) A1 = 100 – 2 A1 + A2 = 0 El área sombreada representa el espacio TOTAL de solución 500 – A1 + A2 = 0 A1 + A2 = 500 A1 500 Definida como ha sido el área total de factibilidad, el último paso consiste en escoger el punto de dicha región que maximiza o minimiza el valor de la función objetivo. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING. José Luis Albornoz Salazar