Estado espacial de tensiones

2.2.- Estado Espacial de Tensiones

? El estado espacial de tensiones en un punto, puede ser representado a través de una matriz (tensor) de tensiones. Sea N , el vector normal a un plano ubicado en el espacio. Sea ?n , el vector de tensiones que actúa sobre el plano orientado por N. :Tensor de Tensiones xz

yz

z xy

y

zy x

yx

zx ˆ (L,M,N) donde N cos cos y L2 N 2 1 M 2 L,M,N : cosenos directores del vector N N M L cos ) , , ( Vector de Tensiones z y x n ? ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) ˆ ˆ ˆ donde x donde y donde z A*x*N A* y*N A*z*N Ax Ay Az

Realizando equilibrio de Fuerzas en cada una de las direcciones, se obtiene: Escribiendo las ecuaciones de equilibrio en forma matricial: ? Calculemos la tensión Normal y Tangencial que se genera en el Plano definido por el vector Normal N. La tensión Tangencial puede ser calculada a partir del vector de tensiones o calculada a partir de sn. En el plano Principal t = 0 Por definición el vector de tensiones es: PROBLEMA DE VALORES PROPIOS Sistema de ecuaciones de la forma ? AX=0 Acos Acos Acos ; Az ; Ay Ax 0 Acos Acos Acos A i) zx yx x x Fx 0 Acos Acos Acos A ii) zy y xy y Fy 0 Acos Acos Acos A iii) z yz xz z Fz N L M N z zy zx xz

yz xy

y x

yx z x

y n ˆ ? ˆ Plano cuya normal es N

2.2.1.-Esfuerzos Principales en el Estado Espacial de Tensiones

2.2.1.1.- Esfuerzos Principales N n n ˆ ? T n n ˆ ? 2 2 2 n n n ? T N n n n ˆ ˆ ? N n ˆ ? N n ˆ ? N N ˆ ˆ matriz Identidad de 3×3 donde I 0 ˆ ( I) N

(L1,M1,N1) enque L1 Dicho sistema para no tener la Solución Trivial (X = 0), debe cumplirse que: El problema de la solución del sistema de ecuaciones mencionado, recibe el Nombre de “PROBLEMA DE VALORES PROPIOS”.

De la Solución no Trivial se obtienen tres pares de vectores, conocidos como “Vectores Propios” y son: Direcciones Principales, Vectores Unitarios Normales a los planos que actúan las tensiones s1, s2 y s3, respectivamente. Resolviendo el Problema de Valores Propios, se tiene: 2.2.1.2.- Direcciones Principales

El Problema de Valores propios parte del sistema de ecuaciones de: Resolviendo para cada tensión principal, encontramos sus direcciones principales 0 , esdecir Det A 0 I Det ˆ ˆ ˆ ,n3) 3 ,n2) y( 2 ( 1,n1);(

Tensiones Principales y , 3 2 1 ˆ ˆ ˆ n1,n2 y n3 0 z zy yz y yx

zx xz xy x Det 0 ) ( zy zx y yx xz z zx yz yx xy z zy yz y x 3

Donde los términos I1 , I2 e I3 se denominan “INVARIANTES DE TENSIONES” 2 Desarrollando la expresión anterior, llegamos a una ecuación cúbica, de la forma:

1 2 3 0 I3 I2 I1 z y x I1 2 2 2 x x yz xz xy z y z y I2 2 2 2 x 2 z xy y xz x yz xy xz yz z y I3 matriz Identidad de3x3 donde I 0 ˆ ( I) N 1 ˆ 0 ˆ ( 2 N1 2 M1 2 1 n1 I)n1 1 ˆ 0 ˆ ( 2 N2 2 M2 2 2 (L2,M2,N2) enque L2 n2 I)n2 1 ˆ 0 ˆ ( 2 N3 2 M3 2 3 (L3,M3,N3) enque L3 n3 I)n3

? ????? ? ?????? ?? R Resumiendo, tenemos un sistema Espacial de tensiones en un punto de un cuerpo sólido cualquiera: Calculamos las Tensiones y Direcciones Principales: Calculamos el Esfuerzo de Corte Máximo que se desarrolla: Giro de Coordenadas en el Espacio

Cualquier vector de componentes (x,y,z), se puede transformar a un sistema de coordenadas (x’,y’,z’) mediante una Matriz de Rotación ( R ) Son los ángulos que forma el eje x’ con los ejes x, y ,z, respectivamente. r x y cos z'x cos z'y cos z'z z cos x'z cos y'z cos x'y cos y'y cos x'x cos y'x x' y' z' r' , , x'z x'y x'x

? ???2 ?? ? ?????? ? R n ˆ' ' R R n ˆ' Representan a las componentes del vector unitario en la dirección de x’ Por lo tanto se debe cumplir que: Análogamente: Ello significa que: Por otra parte los vectores x’, y’, z’ son ortogonales entre sí, por lo tanto: Ejemplo:

? Apliquemos lo anteriormente visto, al caso plano Sea p la matriz de tensiones en un sistema X,Y,Z y p’ la matriz de tensiones en un sistema X’,Y’,Z’. Sea un plano ? cuya normal en el sistema X,Y,Z es N y en el sistema X’,Y’,Z’ es N’. x'z x'y x'x ,cos ,cos cos ˆ ˆ x' x' 1 1 cos2 cos2 cos2 x'z x'y x'x ˆ ˆ ˆ ˆ y' y' 1

z' z' 1 1

1 cos2

cos2 cos2

cos2 cos2

cos2 y'z

z'z y'y

z'y y'x

z'x I R*R T 1 R R T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x' y' 0

x' z' 0

y' z' 0 0

0

0 cos

cos

cos cos

cos

cos cos

cos

cos cos

cos

cos cos

cos

cos cos

cos

cos y'z

z'z

z'z x'z

x'z

y'z y'y

z'y

z'y x'y

x'y

y'y y'x

z'x

z'x x'x

x'x

y'x R cos( ) cos y ? r ) x 2 cos( cos x' y' r' 1 cos sen sen cos R R T n n n' R n ˆ ˆ y ' R Pero ? ? ˆ pero ˆ n R n ' R T n n ? ? ˆ 'n' T n ?

Luego, se tiene que: