y x
yx cos sen sen cos R x yx cos yxsen cos xsen ysen y cos xysen xy cos R ' y' y'x' x'y' x' T R R enque (cos2 2 cos2 sen cos sen2 ) sen cos sen2 sen2 y xy x x'y' y cos 2 xysen cos x y' y 2 xysen cos x x' y x y' x' (1 cos2 ) 1 2 cos2 (1 cos2 ) 1 2 sen2 2sen cos sen2 (4) cos(2 ) 2 2 sen(2 ) xy y x y x x' (6) cos(2 ) 2 2 sen(2 ) xy y x y x y' (5) cos(2 ) 2 xy y x x'y' sen(2 ) (7) ) ( y 2
x xy tg(2 p)
Ejemplo:
? Un punto de un sólido cualquiera, se encuentra solicitado por el estado tensional mostrado en la figura adjunta. Se pide determinar:
i) Las Tensiones Principales y las Direcciones Principales ii) La Tensión de Corte Máxima iii) La Tensión Normal y Tangencial al plano cuya normal corresponde a (0,9623 ; 0,1925 ; 0,1925).
Solución:
1. Determinamos el Tensor de Tensiones c/r al Sistema de Orientación OXYZ : Desarrollando el Determinante Obtenemos: Calculamos los Invariantes de Tensiones Tensiones Principales en Ton/m2 Ton/m 2 1 9 donde a yz
z y
zy yx
zx xz xy x 10 a 5 20 34 17 10 61 20 17 0 10 9 5 9 34 9 10 9 20 9 17 9 9 17 9 20 9 2. Resolvemos el Problema de Valores Propios:
61 Det 0 I Det 0 2 3 I3 I2 I1 10 x z y I1 10 2 2 2 x x yz xz xy z y z y I2 24 2 2 2 2 x z xy y xz x yz xy xz yz z y I3 0 24 10 10 2 3 2,599 1,088 8,489 2
3 1
M1 3. Direcciones Principales
? Tensión Principal Mayor ? Tensión Principal Intermedia ? Tensión Principal Menor 4. Tensión de Corte Máxima 1 ˆ 0 ˆ ( 2 N1 2 2 (L1,M1,N1) enque L1 n1 8,489 I)n1 0 0 0 10/9 -9,0446 -4,7112 10/9 20/9 17/9 17/9 20/9 -1,7122 M1 N1 L1 0,5365 0,2748 M1 N1 L1 1,0 (0,8565 ;0,4595 ;0,2353) ˆ n1 1 ˆ 0 ˆ ( 2 N2 2 M2 2 (L2,M2,N2) enque L2 n2 2,599 I)n2 0 0 0 10/9 -3,1546 1,1788 10/9 20/9 17/9 17/9 20/9 4,1788 M2 N2 L2 1,8390 0,04896 1,0 M 2 N2 L2 (0,4776 ;-0,8727 ;-0,2337 ) ˆ n2 1 ˆ 0 ˆ ( 2 N3 2 M3 2 (L3,M3,N3) enque L3 n3 1,088 I)n3 0 0 0 10/9 0,5324 4,8658 10/9 20/9 17/9 17/9 20/9 7,8658 M3 N3 L3 0,6753 4,9572 M3 N3 L3 1,0 (0,1960 ;0,1324 ;-0,9716 ) ˆ n3 ˆ ˆ ˆ n3 Se debe verificar que:n1 n2 ˆ(0,1959) 0,0234 0,8783 0,4776 0,2353 0,4595 0,8564 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 0,1324) k( 0,9716) j ˆ i k j i n3 (0,1959 ;0,1324; 0,9716) ˆ n3 OK 3 1 13 4,789 Ton/m 2 2 máx 5. Tensión Normal y Tangencial al Plano cuya normal es N
(0,9623 ;0,1925 ;0,1925) ˆ N
Calcularemos el Vector de Tensiones en el Plano definido por la Normal N Calcularemos la Tensión Normal al Plano definido por la Normal N 2.3.- Tensiones en Cáscaras de Pared Delgada
2.3.1.- Cáscara Cilíndrica (tubo) de Pared Delgada sometida a una Presión Interna (cte.)
Cilindro de radio “r” y espesor “t” (t
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