Sistemas de Control. Ganancias de Realimentación y Observadores de Estado
Enviado por Nabil El Halabi
Problemas Resueltos
Los sistemas de control se fundamentan básicamente en el análisis de las plantas y su debido compensación para lograr un resultado deseado de operación.
En este breve informe, se presentan ciertas metodologías para estudiar la estabilidad de las plantas, así como el diseño de controladores y observadores de estado.
Además, se presentan resultados gráficos hechos en Matlab para visualizar los efectos relevantes en cada caso.
Diciembre 2004
Ganancias de Realimentación y Observadores de Estado
Dado el siguiente sistema de control;
Para ello determinamos la función de transferencia a lazo abierto donde
al obtener la anti-transformada de laplace , se obtiene la relación de y y r en el tiempo para así determinar las variables de estado. Más fácil aún, es introducir la f.t. y usando el comando [A,B]=tf2ss(sistema) en Matlab llegamos a los siguientes resultados
- Representación en Variables de Estados de la planta sin compensar;
- Matriz ganancia de realimentación y tercer polo que satisface requisito a baja frecuencia
Para satisfacer el requisito de error en régimen permanente
ess=0
se requiere primero determinar la función de transferencia a lazo cerrado y luego calcular las constantes a través de;
donde Wcl(s) representa la f.t.l.c, y se calcula por etapas
y finalmente la f.t.l.c es
como se puede notar, para lograr requisito de salida solo se requiere determinar la k1
donde
. Ahora para cumplir con el requisito de polos deseados
S1,2= -1 ± j
Para ello, empleamos el método de ubicación de polos para obtener la matriz de ganancias de realimentación de estado K. Una vez que se determina el vector K se obtiene el tercer polo S3 mediante una simple igualación
Primero construimos la matriz de controlabilidad Wc
esto es;
luego, verificamos la controlabiliad del sistema
rank(Wc) = 3 = dim(A)
Para obtener el polinomio característico de la matriz A
PcA(s)=poly(A)=
PcA(s)=
Con los coeficientes a1, a2. a3 construimos la matriz M
M=
Hallamos la matriz de transformación T;
y la inversa de T es
Luego se construye la matriz Pd(s) cuyo diagonal será conformada por los pols deseados;
donde la ecuación característica deseada es
Xd(s) = poly(Pd) = 
De aquí
donde los coeficientes son
Finalmente, la matriz de ganancia de realimentación K es;
Por lo tanto, para conocer el tercer polo S3 igualamos la última ecuación resultante de la multiplicación de ambas matrices; es decir,
Este es el tercer polo que satisface la condición en régimen permanente
Sustituyendo S3 en la Ec. I, se obtiene las demás ganancias de realimentación
Como se puede notar, al fijar un requisito a baja frecuencia los polos se limitan en el plano complejo S ya que solo en una región determinada se podrán ubicar los polos a L.C. que cumplan dicho requisito a baja frecuencia.
La reubicación arbitraria de los polos se da en el caso en que no hay restricciones de salida o que los polos deseados de la ecuación característica se encuentren bien definidos, de lo contrario se tendrá que proceder a calcular el respectivo polo que cumpla el requisito luego hallar las demás ganancias.
.- Se tiene el siguiente modelo linealizado de una planta;
y por razones económicas se tiene que estudiar la salida más apropiada a dicha planta, entre las cuales figuran;
Simplemente determinamos el polinomio característico de la matriz A ya que
y sus respectivos polos son, p=roots(Xcl)
S1 = 0
S2 = 0
S3 = -5.0912
S4 = 5.0912
- Polinomio característico de la Planta
La matriz de controlabilidad es;
Wc = ctrb(A,B),
;rank(Wc) = 4 y coincide con la dimensión de A, dim(A)=4
por la tanto la planta es controlable;
- Controlabilidad de la Planta
Esto se logra examinando la matriz de observabilidad para cada salida;
Wob = obsv(A,C)
Por lo tanto, la única la salida que cumple con la condición de observabilidad
es Wob3;
- Salida adecuada para que la planta sea observable
- Verificamos si con esta salida la planta es fuertemente estabilizable
Para ello determinamos la función de transferencia de la planta
o simplemente usando el comando ss2tf nos da la función de transferencia de la planta
Ceros:
z1=1.535
z2=-1.535
z3,4= infinito
Polos:
p1,2 = 0
p3,4 = ±5.0912
Aplicando el teorema,
Se puede observar que el número de impares entre inf y 1.53 es
lo cual indica que la planta no es fuertemente estabilizable.
e) Se diseña una ley de control u(t)=r(t)-k.x(t) = r(t)-[k1,k2,k3,k4]*x(t)
e.1) Valores del vector k que satisfacen la condición de polos deseados a L.C.
Para ello, se emplea el mismo procedimiento de ubicación de polos empleado en la parte 1, solo varía la matriz de controlabilidad Wc y por ende la matriz de transformación T;
M=
Luego
Matriz construida por los polinomios deseados;
p= poly(Pd) = [1 22 142 240 200]
x= poly(A) = [1 0 -25.92 0 0]
Finalmente la matriz de ganancia de realimentación viene dada por;
k = [-2407 -436 -84 -101] ; matriz de ganancia de realimentación
e.2) Gráfico de las trayectorias de estados para r(t)= 0 y x(0)=[0.1 0 0.1 0]
Esto se logra mediante el siguiente procedimiento;
La nueva representación en variables de estados queda expresado como
y la nueva B viene siendo
luego reescribiendo las ecuación obtenemos que
de estas igualdades se puede decir que
CC=AA y DD=BB
Por lo tanto la respuesta del sistema ante dichas condiciones iniciales se dan mediante
[x,y,t]=step(AA,BB,CC,DD,1,t)
plot(t,x)
e.3) Para cumplir con la siguiente condición de polos deseados a lazo cerrado
Realizamos el mismo procedimiento y determinamos que la matriz de ganancias de realimentación viene expresada por;
k = [-9923 -1687 -1357 -814]
Nótese que al introducir el polo deseado que es el dos veces mayor que el del e.1 el sistema se hace mucho más rápido y tiende a cero en tan solo 2seg. A diferencia de los polos iniciales el sistema es más lento y converge a cero en aprox. 5 seg. Esto implica que manejando adecuadamente los polos deseados podemos cumplir con el requisito que corresponde a la rapidez del sistema para fines deseados.
f) Observador de Orden Completo
El problema se reduce en determinar simplemente Le para cumplir con la ecuación característica deseada descrita en el punto e.1.
Este se transforma a un problema dual ya que, con la debida manipulación matemática se puede demostrar que Le .
Primero verificamos que el sistema sea observable, condición mínima para diseño de un observador;
En el sistema dual la matriz de Observabilidad viene siendo
Wob=[Ctr Atr.C Atr2.C Atr3C]
Rank(Wob)= 4, por lo tanto la planta es observable,
Esto nos permite emplear el algoritmo de ubicación de polo y determinar la matriz de ganancia K del sistema dual, luego como los sistemas duales tienen la misma ecuación característica se simplifica el problem a K= Le
Por lo tanto empleamos el mismo algoritmo para determinar K solo que esta vez la matriza de controlabilidad será
con estas modificaciones determinamos la nueva K del sistema dual,
K=[ -57.6949 251.0942 22.0000 167.9200]
Como Le = K, luego la matriz de ganancia del observador es;
g) Observador con polos 10 veces más rápidos que el sistema a L.C. original
Implementamos el diseño de un observador de estado completo cuyos polos deseados serán aproximadamente 10 veces más los polos del sistema a lazo cerrado
i.e. 
Determinados un observador de orden completo ya que si es de orden mínimo tendríamos una ganancia del observador infinita.
Primero, introducimos la matriz de Observabilidad que es la misma que la vez pasada
Por lo tanto al ver que el rango es igual a la dimensión de la matriz A es posible el diseño del observador;
Se introduce el polinomio característico deseado
J=
JJ=poly(J)=[ 1 440 56800 1920000 32000000]
Construimos el polinomio característico Phi
Phi=polyvalm(J,A)=
Finalmente la matriz de ganancia del observador Le se obtiene
Le=Phi*Wob-1*[ jj(5)-a(5);jj(4)-a(4);jj(3)-a(3);jj(2)-a(2)]
Le debe ser relativamente grande debido a que funciona como una señal de corrección para el modelo de planta que incorpora los factores desconocidos de la planta
.- Se tiene el siguiente sistema;
y se quiere que los polos deseados del observador de orden completo sea;
a) Diseño del observador de orden completo para este sistema;
Como se trata de un sistema de orden mínimo (menor igual que 3 grados) podemos implementar la fórmula de Ackermann para la obtención de la matriz de ganancia Le del observador de orden completo.
Inicialmente, verificamos que la planta sea observable;
- Matriz de Observabilidad
Nótese que la planta está expresada en la forma canónica de controlabilidad y el rango de matriz de Observabilidad Wob es 3, por lo tanto la planta es controlable y observable
Por ende, es posible el diseño de un observador;
Matriz del Polinomio característico deseado;
Luego se determina el polinomio característico Phi
Phi = polyvalm(poly(Jd),A)=
Sea
a=poly(A)=[ 1.0000 3.1460 -0.3656 -1.2440]
Por lo tanto la matriz de ganancia del observador Le se determina como;
Por lo tanto el observador de orden completo para este sistema es;
b) Simulación en Matlab
Matriz de ganancia del sistema
K = [0.0020 -0.0001 -0.0049]
A continuación se presenta los gráficos del observador de estado con distintos vectores iniciales xob(0) = random, en la cual se verifica la convergencia de cada uno de los componentes del observador con sus respectivos componentes del vector de estado x(t).
– Xob(0)=[1; 0; 0.1]
– Xob(0)=[0.1; 0.1; 0.1]
– Xob(0)=[2; 0; 1]
Esto es un indicador de que los polos que se seleccionan para el observador son tales que representen una respuesta más rápida que la respuesta del sistema. Esto hace que el estado observado converja rápidamente hacia el estado actual.
Bibliografía:
– OGATA, Katsuhiko, Ingeniería de Control Moderna, Pearson Education, 1998
– Dorsey, Análisis de Sistemas de Control, 2002
– Prof. José Ferrer, Manuel Andrade, Pedro Teppa y Leonardo Contreras,
Introducción a la teoría de Señales y Sistemas. 2004
Autor:
Nabil El Halabi
Caracas, Venezuela.