8. Solución:
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:
9. Solución:
No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:
10. Solución:
Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8:
11. Solución:
El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7 y TL6:
12. Solución:
Teorema de Estricción y Límites de Funciones Trigonométricas
El llamado teorema de estricción, de intercalación, o del "sandwiche" es importante para la demostración de otros teoremas. También se utiliza el teorema de estricción para calcular cierta clase de límites.
Teorema de estricción (TL9):
Demostración:
Teorema de límite10:
Teorema de límite11:
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
Límites Unilaterales
Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.
Ejemplo:
Límite unilateral por la derecha:
Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe
Límite unilateral por la izquierda:
Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe
Límite bilateral:
Teorema de límite12:
S o l u c i o n e s
1. Solución:
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
Límites Infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.
Crecimiento infinito:
Decrecimiento infinito:
Teorema de límite13:
Teorema de límite14:
Teorema de límite15:
Teorema de límite16:
Teorema de límite 17:
Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente. Trazar las asíntotas, tanto verticales como horizontales (más adelante nos ocuparemos de estas últimas), es de gran ayuda para dibujar la gráfica de una función.
Asíntota vertical:
Una asíntota vertical es una recta paralela al eje y.
Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
6. Solución:
Límites en el Infinito
Teorema de límite18:
Asíntota horizontal:
Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje x.
Teorema de límite19:
S o l u c i o n e s
Ejercicios propuestos desarrollados por los estudiantes
DE CAP: CONTABILIDAD III C – 2009
Resolución de ejercicios de límites al infinito
Resolución de ejercicios de límites laterales
A mis Padres por el
Apoyo incondicional
que me brindan
Económicamente y moralmente.
Autor:
Yonny David Paredes Díaz
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