Cálculo aproximado de las derivadas y derivadas parciales de orden superior
Enviado por Aladar Peter Santha
Résumé
Dans cet article on expose le calcul des dérivés d"ordre supérieur d"une fonction d"une suele variable et le calcul des dérivés partielles des fonctions de deux ou trois variables. L"ordre des dérivés a calculer et la precisión de ces calculs dépendent uniquement de la précision avec laquelle on peut calculer les valeurs de la fonction. Le calcul avec des nombre entiers tres grands ou avec des decimaux très longs et le calcul des valeurs des fontions élémentaires avec grande précision, se trouvent éxposés (par le même auteur) dans Monografias.com. La théorie est accompagnée par la codification nécésaire en Visual-Basic, pour calculer les dérivés ou les derivés partielles. Pour le calcule des dérivés d"une fontion d"une seule variable on utilise la formule suivante:
Teorema 1:
Así, el teorema queda demostrado. Por consiguiente, para h bastante pequeño tenemos la aproximación siguiente:
Según el teorema anterior,
Si se quieren aproximar derivadas de orden más elevadas o se quieren calcular las derivadas con más precisión, hay que aumentar la precisión con la que se calculan las funciones elementales (esto es posible pero aumenta el tiempo de ejecución del cálculo).
Ejemplo 1:
Para calcular el valor de la función y de todas sus derivadas hasta el orden m (inclusive), hay que modificar el programa anterior de la manera siguiente:
Para aproximar a la vez todas las derivadas hasta la derivada de orden m, se puede proceder también de la manera siguiente:
La función siguiente, devuelve el valor de la derivada de orden m de 
en el punto t:
Ejemplo 2:
Todo depende de la precisión con que se pueden calcular los valores de la función y de las funciones elementales (en la monografía [6] se han propuesto programas para el cálculo de las funciones elementales con una precisión que puede alcanzar las 140 cifras después del punto decimal, y esto también se podría aumentar modificando un poco los programas).
En el caso de una función real de dos variables reales, se puede hablar de las derivadas parciales y presenta interés calcular los valores de estas derivadas en ciertos puntos, sin calcularlas de manera simbólica. Los programas anteriores se pueden adaptar para el cálculo numérico de las derivadas parciales no mixtas, de cualquier orden. Las funciones siguientes devuelven una derivada parcial no mixta de orden m:
Public Function DerParxOm(ByVal t1 As String, ByVal t2 As String, ByVal m As Integer) As String
End Function
Public Function DerParyOm(ByVal t1 As String, ByVal t2 As String, ByVal m As Integer) As String
End Function
Para calcular todas las derivadas parciales no mixtas de orden menor o igual a m, se pueden utilizar las funciones siguientes:
Public Function DerParxHOm(ByVal t1 As String, ByVal t2 As String, ByVal m As Integer) As Variant
End Function
Public Function DerParyHOm(ByVal t1 As String, ByVal t2 As String, ByVal m As Integer) As Variant
End Function
Ejemplo 3:
End Function
, en la caja de texto Text1 aparecen los resultados siguientes:
Continuando así y sin entrar en los detalles de los cálculos, se puede averiguar que:
Si no se necesitan las derivadas parciales de orden mayor que 5, para el cálculo de estas derivadas se puede utilizar el código siguiente:
End If
'—————————————————-
End If
'——————————————————
End If
'———————————————————-
If m >= 4 Then
End If
'————————————————–
End Function
Ejemplo 4:
End Function
Luego, ejecutando el código:
EnFunction
, en el punto de coordenadas 
se obtienen los resultados siguientes:
En general se puede enunciar el teorema siguiente:
Teorema 2:
Obviamente, la relación (25) es equivalente a cada una de las relaciones siguientes:
Por consiguiente, el teorema 2 queda demostrado.
End Function
End Function
Luego, efectuando el código:
End Function
, se obtiene el resultado siguiente:
Valores de la función y de sus derivadas parciales en el punto 
Lo expuesto para las funciones reales de dos variables se puede enunciar (con pocas modificaciones) para las funciones reales de tres o más variables reales.
Teorema 3:
En los otros dos casos, después de cambiar el orden de los sumatorios, se procede de manera análoga. Así el teorema queda demostrado y se observa que es fácil extenderlo para funciones de más de tres variables.
End Function
Ejemplo 6:
End Function
Luego, ejecutando el código siguiente se obtienen los valores numéricos de las derivadas parciales hasta el orden m;
End Function
Bibliografía
[1] B. Démidovitch et I. Maron, Éléments de calcule numérique, Éditions MIR, Moscou, 1973.
[2] C.M. Bucur, Metode numerice, Editura FACLA, Timi?oara, en rumano, 1973.
[3] N. Bakhvalov, Métodos Numéricos, traducido del ruso e impreso en España, 1980.
[4] J.B.Scarborough, Numerical Mathematical Analysis, John Hopkins, 1950
[5] W.E. Milne, Numerical Calculus, Princeton University Press, 1949
[6] A. Peter Santha, Cálculo de las funciones elementales con precisión grande, Monografias.com, 2013.
[7] A. Peter Santha, Cálculo con números enteros grandes en ordenadores, edu.red, 2012.
[8] A. Peter Santha, Cálculo con decimales largos en ordenadores, edu.red, 2012.
Autor:
Aladar Peter Santha