- Máximos y mínimos de funciones de varias variables
- Método del Gradiente o descenso rápido
- Solución de un problema de Programación Cuadrática con SOLVER
- Comandos del MatLab para Máximos y Mínimos
Modelamiento industrial mediante programación cuadrñatica aplicando Excel-Solver incluyendo: Multiplicadores de Lagrange, Máximos y mínimos de funciones de varias variables y Método del Gradiente o descenso rápido.
1. Máximos y mínimos de funciones de varias variables
Ejemplos
Hallar los puntos críticos, los máximos, mínimos y puntos de silla de la función:
Como la función es un polinomio en dos variables, tiene derivadas parciales continuas de todos los órdenes en cada punto de
. En consecuencia los puntos críticos son únicamente soluciones de la ecuación
, esto es, del sistema no lineal:
[
] [
]
De aquí se tienen 4 sistemas de ecuaciones
(
)
Resolviendo cada sistema se obtienen los puntos críticos
CÁLCULO DE LA SOLUCIÓN CON MATLAB
>> ecua = '2*x*y+y^3-y=0, x^2+3*x*y^2-x=0'
ecua =
2*x*y+y^3-y=0, x^2+3*x*y^2-x=0
>> [x,y] = solve(ecua)
x =
0
0
0
1
2/5
2/5
y =
0
1
-1
0
1/5*5^(1/2)
-1/5*5^(1/2)
Análisis en los puntos críticos ayudado por el MatLab
1) punto critico p5
x=2/5; y=5^(0.5)/5;
Componentes de la Matriz Hessiana
a=2*y;
b=2*x+3*y^2-1;
c=6*x*y;
Menores principales
» H1=a
H1 = 0.8944
» H2=det([a b;b c])
H2 = 0.8000
El punto critico corresponde a un mínimo relativo.
f=x^(2)*y+x*y^(3)-x*y;
f = -0.0716 =mínimo relativo
2) punto crítico p6
x=2/5;
y= – 5^(0.5)/5;
a=2*y; b=2*x+3*y^2-1;c=6*x*y;
» H1=a
H1 = -0.8944
» H2=det([a b;b c])
H2 = 0.8000
El punto critico corresponde a un máximo relativo
» f=x^(2)*y+x*y^(3)-x*y
f = 0.0716 = máximo relativo
3) punto crítico p4
x=0;
y=-1;
a=2*y; b=2*x+3*y^2-1;c=6*x*y;
»H1=a
H1 = -2
» H2=det([a b;b c])
H2 = -4
El punto crítico corresponde a un Punto de Silla
» f=x^(2)*y+x*y^(3)-x*y
f = 0
(0,-1,0)= punto de silla
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