a) x – 5x + 6 = 0 g) 12 = x + x m) x – 6x + 10 = 0 b) x + 5x + 6 = 0 n) x + c) x – x – 6 = 0 i) x – 4x + 4 = 0 ñ) x + 3x + d) x + x – 6 = 0 j) 9x – 6x + 1 = 0 o) -2x – x – 1 = 0 e) 8x – 10x + 3 = 0 k) 100x + 20x = -1 p) -x + 2x – 3 = 0 l) x + x + 1 = 0 a) 3x + 2x – 9 = 0 b) 5x – 6x + 10 = 0 d) x = 2x – 8 Ecuaciones de segundo grado completas
2 completa. Las dos soluciones de la ecuación son de la forma: x = ?b? b2 ?4ac 2a 2 ecuación de segundo grado:
Si ? > 0: La ecuación tiene dos soluciones distintas.
Si ? = 0: La ecuación tiene dos soluciones iguales (solución doble).
Si ? < 0: La ecuación no tiene solución.
39 Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado:
2
2
2
2
2
40 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas: 2 2 2 2 h) 3x + 10 = x 2 2 5 2 x+1=0 2 2 2 9 4 =0 2 2 2 2 2 2 f) 4x + 1 = -4x 2 2 41 ¿Cuánto vale el discriminante en las siguientes ecuaciones? 2 ? = c) x – 1 = 3x 2 ? = 2 ? = 2 ? =
a) x – 2x + 1 = 0 d) x + 4x + 4 = 0 b) 3x – 2x + 1 = 0 e) 2x – x + 3 = 0 c) x + 3x + 2 = 0 f) x + x + 1 = 0 a) 2x – 4x + m = 0 b) mx + 2x + 1 = 0 c) x – mx + 36 = 0 Producto de las soluciones de la ecuación : ax + bx + c = 0 a) 4x + 5x – 6 = 0 b) x + x – 56 = 0 c) 5x – 5x = 16 d) 4x + 28x = 0 e) -3x + 18 x = 0 f) 6x – 12 = 0 g) -3x – 30x + 27 = 0 42 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones distintas, cuáles dos soluciones iguales y las que no tienen solución. 2 2 2
2 ? =
? =
? = 2
2 ? =
? =
? = 43 Calcula el valor de m para que las siguientes ecuaciones tengan raíz doble: 2
2 2 m=
m=
m= Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado
2 b a S = x1 + x2 = ?
2 P = x1 · x2 = c a Conocidas la suma y el producto de las raíces de una ecuación de segundo grado podemos escribir esta ecuación directamente.
2
2 12 = 0
44 Calcula, sin resolverlas previamente, cuánto vale la suma y el producto de las raíces de las ecuaciones siguientes: 2
2
2
2
2
2
2 S=
S=
S=
S=
S=
S=
S= P=
P=
P=
P=
P=
P=
P=
h) -3x + 3x – 6 = 0 a) 6x + 3x – 3 = 0 c) 2x + 9x – 5 = 0 b) 2x + 5x – 3 = 0 d) x + x – 2 = 0 2 S= P= 45 Escribe la ecuación de segundo grado correspondiente a las raíces cuya suma y producto se indica. a) S = 7, P = 0 Ecuación: d) S = 2, P = 2/3 Ecuación: b) S = 6, P = 8 Ecuación: e) S = -2 , P = -15 Ecuación: c) S = 1, P = -2 Ecuación: f) S = 14, P –3/5 Ecuación: 46 Escribe la ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: a) x1 = 2, x2 = 1
b) x1 = 3, x2 = -2
c) x1 = -1, x2 = 5 S=
S=
S= P=
P=
P= Ecuación:
Ecuación:
Ecuación: Factorización
2
2
2 2
Por tanto, conocidas las raíces de una ecuación de segundo grado, se puede saber cuál es ésta sin más que realizar el proceso inverso.
Ejemplo: si las raíces son 5 y -6, la ecuación será:
2
47 Resuelve y factoriza las siguientes ecuaciones: 2 2 Soluciones de la ecuación: x1 = Soluciones de la ecuación: x1 = x2 = x2 = Ecuación factorizada: Ecuación factorizada: 2 2 Soluciones de la ecuación: x1 = Soluciones de la ecuación: x1 = x2 = x2 = Ecuación factorizada: Ecuación factorizada:
48 Completa la siguiente tabla:
Resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado
Hay problemas que se plantean y resuelven mediante una ecuación de segundo grado.
2 ¿Cuál es el lado del cuadrado? Área del cuadrado: L 2 Área del rectángulo: 2·2L = 4L 2
Soluciones: L = 4 cm, L = -8 cm Sólo la solución L = 4 cm verifica la condición del problema.
2
50 Halla tres números enteros consecutivos cuyo producto sea igual a su suma. ¿Cuál sería la solución si se pidieran números naturales?
2 pequeña que la del cuadrado primitivo. ¿Cuáles eran las dimensiones primitivas de este cuadrado?
52 Al añadir a un número 3 unidades y multiplicar por sí mismo el valor resultante, se obtiene 100. Calcula dicho número.
53 La diferencia de dos números es 3 y la suma de sus cuadrados es 117. ¿Cuáles son esos números?
54 La suma de dos números es 15 y su producto es 26. ¿Cuáles son dichos números?
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