Definición Analítica
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
En la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
La Elipse
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
También podemos decir que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva (ver figura). La Elipse es una curva cerrada.
5.1. Elementos de la elipse:
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de Simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
5.2. Excentricidad (e)
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.
5.3. Ecuación Reducida de la Elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son: F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
5.4. Ecuación reducida de la elipse con los focos en el eje OY
Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:
Las coordenadas de los focos son:
Ecuación de la Elipse
Donde A y B tienen el mismo signo.
Ecuación de la Elipse de Eje Vertical
Donde A y B tienen el mismo signo.
La Circunferencia
También podemos llamar circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (ver figura). La circunferencia es un caso particular de elipse.
Ecuación de la Circunferencia
La ecuación anterior elevamos al cuadrado obtenemos la ecuación:
Si desarrollamos:
y realizamos estos cambios:
Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:
Donde el centro es:
y el radio cumple la relación:
Ecuación Reducida de la Circunferencia
Intersección de una Cónica y una Recta
Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas.
En general se obtiene una ecuación de segundo grado, que dependiendo del signo del discriminante, ?=b2-4ac, las siguientes soluciones serán:
La Parábola
La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
También podemos decir que la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
7.1. Elementos de la Parábola
Foco
Es el punto fijo F.
Directriz
Es la recta fija d.
Parámetro
Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
Eje
Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice
Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
Radio vector
Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
7.2. Ecuación Reducida de la Parábola de Eje Horizontal
El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas.
7.3. Ecuación Reducida de la Parábola de Eje Vertical
El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas.
7.4. Ecuación de la Parábola con Eje Horizontal
Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen.
7.5. Ecuación de la Parábola con Eje Vertical
Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen.
La Hipérbola
La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.
a > ß
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.
También podemos decir que la Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante (ver figura).
8.1. Elementos de la Hipérbola:
8.2. Excentricidad
La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.
8.3. Ecuación Reducida de la Hipérbola
Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.
8.4. Ecuación reducida de la hipérbola con los focos en el eje OY
8.5. Ecuación de la Hipérbola
Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro distinto al origen.
Donde A y B tienen signos opuestos.
8.6. Ecuación de la Hipérbola de eje Vertical
Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, y centro distinto al origen.
Donde A y B tienen signos opuestos.
8.7. Ecuación de la hipérbola equilátera
Aplicaciones
Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.
También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.
Autor:
Matemática Castro
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