Area de los polígonos

Presentación

Lo que se desarrolla en las páginas siguientes forma parte de un estudio más amplio sobre Geometría, iniciado con la finalidad de mejorar sustancialmente la enseñanza del cálculo de áreas de polígonos, en Educación Básica. El estudio se inició con la intención de estructurar un procedimiento didáctico que permita la deducción de las fórmulas particulares para calcular las áreas de los polígonos, utilizando el Método Deductivo en su sentido estricto; es decir: de lo general a lo particular; en contraposición a lo que habitualmente se hace: de lo particular a lo particular.

Durante la investigación se evidenció que tal procedimiento era imposible debido a que la Geometría actual no contempla una fórmula general para el cálculo de áreas de los polígonos; lo que motivó la necesidad de resolver previamente la carencia citada, como problema atinente sólo a la Matemática, para volver más tarde al problema de la Didáctica.

En ese sentido, se estructuró una teoría basada en aspectos aceptados en la Geometría actual, concluyendo con el diseño de la fórmula general antes citada; que, como se verá más adelante, permite a deducción directa de las fórmulas conocidas para triángulos y polígonos de cuatro lados; igualmente permite deducir directamente otras fórmulas no usuales para el último tipo de polígonos.

Al momento de deducir la fórmula particular para el cálculo de áreas de los polígonos regulares, se concluyó que era preferible utilizar el procedimiento indirecto de triangulación (división del n-polígono regular en n triángulos isósceles con vértice común en el centro del n-polígono), por cuanto en forma directa es sumamente difícil (o no es posible) llegar a la fórmula conocida: A=p ap/2. No obstante, al tratar de deducir la fórmula desde la general para los polígonos, se constató que el procedimiento conocido falla debido a omisiones que se cometen durante el proceso, al no tomar en cuenta todas las características que deben cumplir los triángulos isósceles que se trazan desde el centro del polígono hacia cada uno de sus lados.

En vista de que la deducción de la fórmula para el cálculo de las áreas de los polígonos regulares, a partir de la general para el cálculo del área de cualquier polígono, debe concluir con la fórmula correcta, el desarrollo de lo que presento comienza por demostrar la invalidez de la fórmula usual y la deducción de la correcta.

PARTE I.

Acerca de la invalidez de la formula conocida para calcular areas de los polígonos regulares

A= pap/2 (PERÍMETRO POR APOTEMA SOBRE DOS) Para demostrar la invalidez de la fórmula partiremos del procedimiento habitual, utilizado por el docente, para la enseñanza de la fórmula A=pap/2; que se aplica, comúnmente, a partir del pentágono, dejando a un lado el triángulo equilátero y el cuadrado que, como figuras regulares, deben cumplir con la mencionada fórmula.

El procedimiento consta de los siguientes pasos:

• 1. Dividir el polígono en tantos triángulos isósceles iguales, con vértices comunes con el centro de la figura, como lados tenga el polígono.

• 2. Realizar una analogía entre las alturas de los triángulos con la apotema (ap) del polígono.

• 3. Calcular el área de uno de éstos triángulos, tomando como base el lado del polígono.

• 4. Multiplicar el área por el número de triángulos.

• 5. Operar convenientemente y concluir: A=pap/2, donde p es el perímetro del polígono y ap la apotema.

• 6. Realizar ejercicios (se dice de que polígono regular se trata -siempre a partir del pentágono-, se da una longitud cualquiera para el lado, otra cualquiera para la apotema y se aplica la fórmula conocida. Se repite tantas veces como sea necesario).

De acuerdo al último paso, podemos calcular el área de un hexágono regular cuyas longitudes de la base y de la apotema son 2u y u, respectivamente. Aplicando la fórmula, procedemos a nuestros cálculos y concluimos que el área del hexágono dado es 6 u2.

Ahora bien, si construimos seis triángulos isósceles (de base 2u y altura u) y seguidamente tratamos armar un hexágono regular con esos triángulos, veremos que es imposible. NO PODREMOS ARMAR HEXAGONO REGULAR ALGUNO.

Una manera sencilla de visualizar lo que ocurre, en general, es la siguiente:

Suponemos un hexágono regular de apotema ap y lado l, como el de la izquierda, donde se han destacado los triángulos equiláteros que lo componen y cuyas dimensiones son: l de base y ap de altura.

Si construimos triángulos de base l y altura ap/2, por supuesto que no serán equiláteros y con seis de ellos no se armará hexágono alguno. A lo sumo se obtendrá una figura como la que se muestra a la derecha.