Teorema 8.
Teorema 9.
Teorema 10.
Teorema 11.
Teorema 12.
Ejemplos.
1) Evalúe 
Solución.
Las identidades trigonométricas se emplean con frecuencia cuando se calculan integrales indefinidas que involucran funciones trigonométricas. Las ocho identidades trigonométricas fundamentales siguientes son de crucial importancia.
2) Calcule 
Solución.
3) Determine 
Solución.
Ejercicios.
Calcule las integrales indefinidas:
Teorema 13. Regla de la cadena para antiderivación.
Sea g una función diferenciable y sea el contradominio de g algún intervalo I. Suponga que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I. Entonces 
Teorema 14.
Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces 
Ejemplos.
1) Evalúe 
Solución.
y observe que si 
entonces 
Por lo tanto, se necesita un factor 3 junto a 
para obtener En consecuencia, se escribe
2) Calcule 
Solución.
Observe que si 
entonces 
Por lo tanto, necesitamos un factor 6 junto a 
para obtener Luego, se escribe 
3) Evalúe
Solución.
Como 
se escribe 
Ejercicios.
Resuelva:
En los teoremas que se presentan a continuación 
es una función de x, es decir, 
Teorema 15.
Ejemplo.
Evalúe 
Solución.
En este caso 
por lo tanto, 
luego se necesita un factor 3 junto a para obtener 
Entonces, se escribe
Teorema 16.
Ejemplo.
Calcule 
Solución.
Consideremos 
tenemos que 
luego necesitamos un factor 6 junto a 
para obtener Por lo tanto,
Teorema 17.
Ejemplo.
Calcule 
Solución.
Como 
entonces 
por lo tanto,
Teorema 18.
Ejemplo.
Evalúe 
Solución.
Siendo 
entonces 
luego, podemos escribir
Teorema 19.
Ejemplo.
Resuelva 
Solución.
Ejercicios.
Resuelva las integrales indefinidas:
Teorema 20.
Ejemplo.
Evalúe 
Solución.
Sea 
entonces, 
por lo tanto
Teorema 21.
Ejemplo.
Evalúe 
Solución.
Como 
se aplica el teorema 21 con 
de donde obtenemos, 
entonces
Ejercicios.
En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida.
A partir de las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas se obtienen algunas fórmulas de integrales indefinidas. El teorema siguiente proporciona tres de estas fórmulas.
Teorema 22.
El teorema siguiente proporciona algunas fórmulas más generales.
Teorema 23.
Ejemplos.
1) Evalúe 
Solución.
2) Evalúe 
Solución.
Con la finalidad de completar el cuadrado de 
se suma 
y como está multiplicado por 3 en realidad se suma es 
al denominador, de modo que para que la expresión del denominador persista, es decir, no se altere, se resta también 
Por lo tanto, se tiene
3) Evalúe 
Solución.
Las fórmulas de integración indefinida del teorema siguientes son consecuencia inmediata de las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas.
Teorema 24.
Ejemplos.
1) Evalúe 
Solución.
2) Evalúe 
Ejercicios.
Antes de estudiar los diferentes métodos de integración, se presenta una lista numerada de las fórmulas típicas de integración indefinida las cuales deben ser memorizadas por el estudiante para un mejor desenvolvimiento.
Emprendamos el estudio de los métodos de integración. Uno de los métodos más ampliamente usados en la resolución de integrales es la integración por partes.
INTEGRACIÓN POR PARTES
La fórmula de la integración por partes es la siguiente:
Esta fórmula expresa a la integral 
en términos de la integral 
Mediante una elección adecuada de u y dv, puede evaluarse más fácilmente integral
Ejemplos.
1) Evaluar 
Solución.
Tomemos u = ln x y dv = x dx, por lo tanto, 
y 
luego, 
2) Evaluar 
Solución.
Sea 
y 
entonces, 
y 
por lo tanto, 
Ejercicios.
Evalúe las integrales indefinidas.
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
Las integrales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas.
CASO 1.
(i) 
o (ii) 
donde n es un número entero positivo impar.
(i) Se hace la transformación
(ii) Se hace la transformación
Ejemplos.
1) Calcule 
Solución.
2) Calcule 
Solución.
CASO 2.
donde al menos uno de los exponentes es un número entero positivo impar. En la solución de este caso se utiliza un método semejante al empleado en el caso 1.
(i) Si n es impar, entonces
(ii) Si m es impar, entonces
Ejemplo.
Cuando ninguno de los exponentes de las potencias seno y coseno es impar, no se pueden seguir los procedimientos expuestos en los casos 1 y 2. En tal caso se deben tomar muy en cuenta las identidades siguientes:
CASO 3.
(i) 
(ii) 
o (iii) 
donde m y n son números enteros positivos pares.
(i) Se hace la transformación
(ii) Se hace la transformación
(iii) Se hace la transformación
Ejemplos. 
CASO 4.
(i) 
o (ii) 
donde n es un número entero positivo.
(i) Se hace la transformación
(ii) Se hace la transformación
Ejemplos.
1) Evalúe 
Solución.
2) Evalúe 
Solución.
CASO 5.
(i) 
o (ii) 
donde n es un número entero positivo par.
(i) Se hace la transformación
(ii) Se hace la transformación
Ejemplo.
Evalúe 
Solución.
CASO 6.
(i) 
o (ii) 
donde m es un entero positivo par.
(i) Se hace la transformación
(ii) Se hace la transformación
Ejemplo.
Evalúe 
Solución.
CASO 7.
(i) o (ii) donde m es un entero positivo impar.
i) Se hace la transformación
(ii) Se hace la transformación
Ejemplo.
Evalúe 
Solución.
CASO 8.
(i) o (ii) donde n es un número entero positivo impar.
Aplique integración por partes.
(i) Considere 
y 
(ii) Considere 
y 
Ejemplo.
Evalúe 
Solución.
Sean 
Aplicando el método de integración por partes tenemos:
Luego, 
Evaluemos la integral I aplicando el método de integración por partes:
Sean 
Entonces, 
Por lo tanto,
En conclusión,
CASO 9.
(i) o (ii) donde n es un entero positivo par y m es un entero positivo impar.
Exprese el integrando en términos de potencias impares de la secante o cosecante y después siga las sugerencias del caso 8.
(i) Se hace la transformación
(ii) Se hace la transformación
Ejemplo.
Evalúe 
Solución.
Las integrales A y B las resolvimos en el ejemplo del caso 8.
La solución de A es: 
La solución de B es: 
Por lo tanto,
CASO 10.
(i) 
(i) 
o (iii) 
m?n.
(i) Se hace la transformación
(ii) Se hace la transformación
(iii) Se hace la transformación
Ejemplo.
Evalúe 
Solución.
Ejercicios.
Determine las integrales indefinidas indicadas a continuación.
INTEGRACIN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Se mostrará con tres casos cómo el cambio de variable mediante sustitución trigonométrica permite con frecuencia evaluar una integral que contiene una expresión de una de las formas siguientes donde a > 0:
CASO 1.
El integrando contiene una expresión de la forma 
donde a > 0.
Se introduce una nueva variable 
considerando 
donde
si 
y 
si x < 0
Ejemplos.
1) Evalúe 
Solución.
Sabemos que:
Hagamos el cambio 
y diferenciemos el primer miembro con respecto de x y al segundo miembro con respecto de 
entonces, 
Sustituyendo obtenemos:
Ahora, como 
y 
entonces, 
Otra manera de resolver.
Observemos la siguiente figura:
Es evidente por trigonometría que: 
y 
luego, despejando x se obtiene: 
Por lo tanto,
Como hemos indicado anteriormente, 
yentonces
2) Evalúe
Solución.
Como
haciendo el cambio 
tenemos:
Por lo tanto,
Pero, 
y 
en conclusión.
Resolvamos teniendo en cuenta la figura siguiente:
Obviamente, 
y 
Por lo tanto,
A partir de la figura se tiene: 
y entonces,
CASO 2.
El integrando contiene una expresión de la forma 
donde a > 0.
Introduzca una variable 
considerando donde
si y si x < 0
Ejemplo.
Evalúe
Solución.
haciendo el cambio: 
obtenemos, 
y 
Sustituyendo nos queda:
La integral A se evalúa por partes, así:
Sea 
y 
sustituyendo:
Luego, 
Consecuentemente,
Pero, 
por lo tanto, sustituyendo resulta:
CASO 3.
El integrando contiene una expresión de la forma 
donde a > 0.
Introduzca una variable 
considerando donde
si y 
si 
Ejemplo.
Evalúe 
Solución.
Luego debemos hacer el cambio: 
además,
Sustituyendo,
Pero, 
y 
Sustituyendo nuevamente obtenemos:
Ahora, resolvamos a partir de la siguiente figura.
Evidentemente, 
y 
luego,
Como 
y 
entonces
Ejercicios.
Calcule las siguientes integrales indefinidas. (En los ejercicios 2, 3, 6, 7 y 9 resuelva completando cuadrados)
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Si se quiere integrar el cociente de dos funciones polinómicas y el grado del numerador es mayor que el del denominador, primero debe efectuarse la división.
Ejemplo.
Al efectuar la división de dos polinomios, obtenemos un polinomio cociente más el resto sobre el divisor. En el ejemplo anterior, la expresión: 
pudo integrarse de inmediato. En otros casos, se la debe descomponer en fracciones simples, como se indicará a continuación.
Sabemos que: 
y grado 
grado
ó 
La integral de q es inmediata, ya que q es un polinomio, y el problema se reduce a integrar el cociente de dos funciones polinómicas cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador.
El procedimiento básico en éste método de integración, es la descomposición del cociente en fracciones simples, para lo cual, deben hallarse, primero, las raíces del polinomio correspondiente al denominador.
A continuación se presentan cuatro casos según las raíces sean reales o imaginarias, simples o compuestas.
CASO 1.
Las raices del denominador son reales y simples. El denominador se expresa como producto de polinomios lineales diferentes.
Ejemplo1.
Las raíces del denominador son: 
y 
luego, 
por lo tanto, 
Para calcular el valor de A y B, multiplicamos ambos miembros de la igualdad anterior por 
así:
Luego, 
Por lo tanto,
Ejemplo 2.
Las raíces del denominador son: 
y 
luego, 
y 
ahora, multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por el denominador obtenemos:
Luego, 
Por lo tanto,
CASO 2.
Las raíces del denominador son reales y múltiples. El denominador se expresa como producto de polinomios lineales, algunos repetidos.
Ejemplo.
Las raíces del denominador son: 
y 
luego,
y 
multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por 
obtenemos:
Luego, 
como no existe otro valor de x que anule alguno de los sumandos, conviene elegir cualquier valor que facilite los cálculos.
Por ejemplo, 
Reemplacemos A y C por los valores obtenidos, y despejemos B: 
Por lo tanto,
CAS0 3.
El denominador tiene raíces complejas, no reales, simples. En el factoreo del denominador aparecen polinomios cuadráticos irreducibles, todos distintos entre sí.
Ejemplo.
Las raíces del denominador son: 
y 
Entonces, 
con lo que 
Multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por 
obtenemos:
De la última igualdad se tiene:
y 
Resolviendo el sistema, 
y 
Por lo tanto,
CASO 4.
El denominador tiene raíces complejas, no reales, múltiples. En el factoreo aparecen factores cuadráticos irreducibles repetidos.
Ejemplo.
El denominador no tiene raíces reales (no se anula para número real alguno), por lo que hacemos el cambio 
para calcular las raíces complejas.
En efecto,
Las raíces en función de 
son: 
y 
(raíces múltiples).
Entonces, 
con lo que,
Multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por 
obtenemos: 
De ésta última igualdad se tiene que: 
y 
Por lo tanto, 
Ejercicios.
Resuelva las siguientes integrales.
Ahora, veamos como resolver integrales cuando en el integrando aparecen expresiones de la forma:
1. Se efectúa el cambio de variable
2. Se efectúa el cambio de variable
3. Se efectúa el cambio de variable
o bien 
Ejemplos.
1) Calcular 
Hagamos el cambio 
luego, 
y 
por lo tanto, 
2) Calcular
Haciendo el cambio 
tendremos, 
por lo tanto,
3) Calcular 
Haciendo el cambio 
tendremos,
y 
luego,
entonces,
3) Calcular
Haciendo el cambio 
tendremos,
luego,
por lo tanto,
Ejercicios.
Resuelva:
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES DE SENO Y COSENO
Si el integrando es una función racional de 
y 
se puede reducir a una función racional de z mediante la sustitución 
Con la finalidad de obtener la fórmula para 
y 
en términos de z se utilizan las identidades siguientes: y 
Entonces se tiene,
|
|
Como 
entonces 
por lo tanto, 
Los resultados anteriores se establecen como el siguiente teorema.
Teorema 25.
Si 
entonces:
Ejemplos.
1) Evalúe
Haciendo el cambio 
entonces 
2) Calcule 
Como 
y 
entonces
3) Evalúe 
Haciendo el cambio 
entonces 
Ejercicios.
Resuelva:
Bibliografía recomendada
[1] Apostol Tom M. Calculus, segunda edición.
[2] Leithold Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, quinta edición.
Autor:
Eleazar José García
Profesión: Licenciado en Matemática
País: Venezuela
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