La mediana, llamada algunas veces media posicional, es el valor del término medio que divide una distribución de datos ordenados en dos partes iguales, es decir, el 50% de los datos se ubican sobre la mediana o hacia los puntajes altos y el 50% restante hacia los puntajes bajos.
La Mediana no tiene propiedades que le permite intervenir en desarrollos algebraicos como la media aritmética, sin embargo, posee propiedades que ponen en evidencia ciertas cualidades de un conjunto de datos, lo cual no ocurre con la media aritmética que promedia todos los valores y suprime sus individualidades. En cambio, la mediana destaca los valores individuales.
Tiene la ventaja de no estar afectada por las observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma la variable, sino del orden de las mismas.
Para el cálculo de la mediana interesa que los valores estén ordenados de menor a mayor.
Su aplicación se ve limitada, ya que solo considera el orden jerárquico de los datos y no alguna propiedad propia de los datos, como en el caso de la media aritmética.
1) PARA DATOS NO AGRUPADOS
1.1) PARA UN NÚMERO DE DATOS IMPAR
La mediana es el dato que se encuentra a la mitad de la lista. Para calcular su posición se aplica la siguiente ecuación:
Ejemplo ilustrativo:
Calcular la mediana de las siguientes calificaciones del curso de Estadística evaluadas sobre diez: 10, 8, 6, 4, 9, 7, 10, 9 y 6
Solución:
1) Se ordena los datos de menor a mayor:
2) Se aplica la ecuación:
La mediana es el valor de x5 (quinto dato), es decir, Md=8
En Excel se calcula así:
Insertar la función MEDIANA(A1:I1) y luego en Aceptar
1.2) PARA UN NÚMERO DE DATOS PAR
La mediana es la media aritmética de los dos datos que se encuentran a la mitad de la lista. Para calcular su posición se aplica la siguiente ecuación:
Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana de las siguientes calificaciones del curso de Matemática evaluadas sobre diez: 10, 8, 9, 6, 4, 8, 9, 7, 10 y 9
Solución:
1) Se ordena los datos de menor a mayor:
2) Se aplica la ecuación
Los cálculos en Excel se muestra en la siguiente figura:
2) CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana, llamada algunas veces media posicional, es el valor del término medio que divide una distribución de datos ordenados en dos partes iguales, es decir, el 50% de los datos se ubican sobre la mediana o hacia los puntajes altos y el 50% restante hacia los puntajes bajos.
2.1) PARA DATOS AGRUPADOS EN TABLAS DE FRECUENCIA
Para calcular la posición de la mediana se aplica la siguiente ecuación:
Ejemplo ilustrativo: Dados los siguientes 20 números:
1, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 6, 6, 4, 4, 4 ,4, 5, 5, 5 y 5
1) Agrupar los datos en tabla de frecuencia.
Solución:
x | f | |
1 | 1 | |
2 | 3 | |
3 | 2 | |
4 | 4 | |
5 | 8 | |
6 | 2 | |
Total | 20 | |
2) Calcular la mediana.
Solución:
Calculando la posición de la mediana se obtiene:
Como la posición de la mediana es 10,5, su valor es el promedio de los datos décimo y undécimo. Para observar con claridad cuáles son los datos décimo y undécimo se aconseja calcular la frecuencia acumulada.
x | f | fa | |
1 | 1 | 1 | |
2 | 3 | 4 | |
3 | 2 | 6 | |
4 | 4 | 10 | |
5 | 8 | 18 | |
6 | 2 | 20 | |
Total | 20 | ||
Se observa que el décimo dato es 4 y el undécimo es 5, por lo tanto:
2.2) PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS
a) POR INTERPOLACIÓN
Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana de los pesos de un grupo de 50 personas que se distribuyen de la siguiente manera:
Intervalos | f | |
[45,55) | 6 | |
[55, 65) | 10 | |
[65, 75) | 19 | |
[75, 85) | 11 | |
[85, 95) | 4 | |
Solución:
Primero se calcula n/2 y después se averigua el intervalo en el que está la mediana, este intervalo recibe el nombre de intervalo o clase de la mediana. Para averiguar el intervalo en el que está la mediana se aconseja calcular la frecuencia acumulada.
Intervalos | f | fa | |
[45,55) | 6 | 6 | |
[55, 65) | 10 | 16 | |
[65, 75) | 19 | 35 | |
[75, 85) | 11 | 46 | |
[85, 95) | 4 | 50 | |
En este ejemplo el intervalo de la media es [65,75).Se observa que 16 valores están por debajo del valor 65. Los 9 que faltan para llegar a 25 se interpolan en el ancho del intervalo de la mediana que en este ejemplo es 10.
Aplicando regla de tres:
19 corresponde a 10
9 corresponde a x
Por lo tanto la Mediana es igual a 65 + 4,737 = 69,737
b) EMPLEANDO LA ECUACIÓN
En donde:
n = número total de datos
Fa = Frecuencia acumulada del intervalo de clase que antecede al intervalo de la Mediana
c = ancho del intervalo de clase de la Mediana
Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana del ejemplo anterior y representarla mediante un histograma de frecuencias acumuladas.
Se calcula la frecuencia acumulada como se muestra en la siguiente tabla:
Intervalos | f | fa | |
[45,55) | 6 | 6 | |
[55, 65) | 10 | 16 | |
[65, 75) | 19 | 35 | |
[75, 85) | 11 | 46 | |
[85, 95) | 4 | 50 | |
Solución:
Se calcula la posición de la mediana de la siguiente manera:
Por lo tanto el intervalo o clase de la mediana es [65,75).
Al aplicar la ecuación respectiva se obtiene:
c) RESOLVIENDO DE MANERA GRÁFICA
A continuación se presenta un histograma para la frecuencia acumulada.
Observando el gráfico se determina que Md = 65+AE
Los triángulos ABC y AED son semejantes, por lo que se cumple:
Entonces, Md = 65+AE = 65+4,737= 69,757
3) TAREA
1) Calcule la mediana de los números 6, 6, 5, 2, 3, 4, 4, 5, 5, de manera manual y empleando Excel.
Md= 5
2) Calcule la mediana de los números 11, 12, 9, 10, 7, 8, de manera manual y empleando Excel.
Md= 9,5
3) Dados los siguientes 35 números:
2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 10, 10, 8, 8, 8, 10, 10 y 10
3.1) Calcule la mediana sin agrupar los datos de manera manual y empleando Excel.
Md=6
3.2) Calcule la mediana agrupando los datos en una tabla de frecuencias.
Md=6
4) Calcule la mediana de las siguientes edades de personas
Intervalos | f | |
[60, 63) | 5 | |
[63, 66) | 18 | |
[66, 69) | 42 | |
[69, 72) | 27 | |
[72, 75) | 8 | |
Md= 67,93
5) Dados los siguientes números:
50, 55, 59, 60, 69, 65, 66, 69, 63, 64, 70, 72, 77, 78, 79, 79, 77, 78, 71, 72, 73, 75, 77, 74, 73, 73, 74, 77, 80, 82, 85, 88, 89, 89, 85, 81, 82, 83, 82, 81, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 99, 100 y 109
5.1) Agrupe los datos en intervalos de ancho 10.
5.2) Calcule la mediana por interpolación, empleando la ecuación y empleando un histograma para la frecuencia acumulada.
78,33
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DAZA, Jorge, (2006), Estadística Aplicada con Microsoft Excel, Grupo Editorial Megabyte, Lima,
Perú.
SPIEGEL, Murray, (2000), Estadística, Serie de Compendios Schaum, Ed. McGraw-Hill, México.
SUÁREZ, Mario, (2011), Interaprendizaje de Estadística Básica,
TAPIA , Fausto Ibarra, Ecuador.
SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje Holístico de Matemática, Ed. Gráficas Planeta, Ibarra,
Ecuador.
Autor:
Mario Suarez