2. 3. 4. 5.
Teoría de juegos. Punto de silla 1. Ejercicio Construir matriz de juego Convertir en ecuaciones agregando variables de holgura Determinar la transpuesta Construir primer tablero simplex, agregándole 1 matriz identidad
El punto de silla consiste en localizar el mínimo valor de las filas y al lado derecho de cada fila y el máximo de las columnas al pie de cada columna, luego se determina el máximo de los mínimos y el mínimo de los máximos. Si el máximo de los mínimos es igual al mínimo de los máximos entonces se ha encontrado el punto de silla que se convertirá automáticamente en el valor del juego
C Y1 Y2 < FILA R X1 X2 5 4 7 6 5 4 MAXMIN = 5 > 5 7 COLUMNA
MINMAX = 5 MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = 5 VALOR DE JUEGO 5 VALOR DE JUEGO
Si gana R: Utiliza la estrategia de X1 (+5 ) + – R C Si pierde C: Utiliza la estrategia de Y1 ( -5 ) 0 NOTA: CUANDO UN PROBLEMA NO TIENE PUNTO DE SILLA, SE UTILIZA EL METODO SIMPLEX PARA DETERMINAR EL VALOR DE JUEGO. PRIMERO SE DEBE DETERMINAR QUIEN ES “R” Y QUIEN ES “C”. LA BASE ES “R” (es AQUEL QUE SIRVE PARA COMPARAR).
EJERCICIO: Dos bancos del sistema compiten por atraer el mayor número de cuenta habientes en un poblado del occidente del país: Banco “Le cuido su pisto” el primero, y Banco “ Le Guardo su Plata” el segundo; para el logro de su objetivo cada uno aplica las estrategias siguientes: 1. Sorteo de electrodomésticos 2. Tasa de interés más alta 3. Sorteo de dinero en efectivo Si el segundo banco ofrece sorteo de electrodomésticos atrae 200 cuenta habientes más que el primero, cuando este ofrece lo mismo, 1000 más cuando el primero ofrece tasa de interés mas alta y 800 menos cuando el primero ofrece sorteo de dinero en efectivo. Si el segundo banco ofrece una tasa de interés más alta atrae 1300 más cuando el primero ofrece sorteo de electrodomésticos, 700 más cuando el primero ofrece lo mismo y 900 menos cuando el primero ofrece sorteo de dinero en efectivo. Si el segundo banco ofrece sorteo de dinero en efectivo atrae 2000 menos cuando el primero ofrece sorteo de electrodomésticos, 1500 más cuando el primero ofrece tasa de interés más alta y 850 menos cuando el primero ofrece lo mismo. 1. ¿Que banco es el ganador del juego? 2. ¿Qué estrategia debe aplicar cada banco? 3. ¿En un año cuantos meses debe aplicar cada estrategia? 4. ¿Cuántos cuenta habientes atrae más el banco ganador?
1. 1 2. 1 1
5. Si el primer banco ofrece sorteo de dinero en efectivo y el segundo sorteo de electrodomésticos, el segundo atrae 800 cuenta habientes más que el primero. ¿Cuales serán las nuevas respuestas? R = BCO. “LE CUIDO SU PISTO” C = BCO. “LE CUIDO SU PLATA” Estrategias: X1 Y1 – sorteo de electrodomésticos X2 Y2 – tasa de interés más alta X3 Y3 – sorteo de dinero en efectivo
CONSTRUIR MATRIZ DE JUEGO C CF Y1 Y2 Y3 < FILA X1 -200 -1300 2000 -1300 MAXMIN = 800 R X2 X3 > -1000 800 800 -700 900 900 -1500 850 2000 -1500 800 COLUMNA MINMAX = 800 MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = 800 800 = 800 VALOR DE JUEGO = 800 RESPUESTAS: 1. Favorece al Bco. “Le cuido su pisto”. 2. R = Utiliza estrategias X3 = sorteo dinero en efectivo C= Utiliza estrategias Y1 = sorteo de electrodomésticos 3. R = 12 meses C = 12 meses 4. 800 Clientes 5. R => X3 C => Y1 C CF Y1 Y2 Y3 < FILA X1 -200 -1300 2000 -1300 MAXMIN = – 800 R X2 X3 > -1000 800 800 -700 900 900 -1500 850 2000 -1500 800 COLUMNA
MINMAX = 800 MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = no hay -800 = -200 VALOR DE JUEGO = si hay SIMPLEX SIMPLEX EN FUNCION “Y” (MAXIMIZACIÓN)
F.O.MAX = Y1 + Y2 + Y3
SUJETO A: (Restricciones) –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 siempre será 1 porque la probabilidad no –1000Y1 – 700 Y 2 – 1500 Y 3 puede ser mayor a 1 3. 4. -800 Y1 + Y1; Y2 & Y3 900 Y2 + 850 Y 3 0
7. 0 1 1 1 0
CONVERTIR EN ECUACIONES AGREGANDO VARIABLES DE HOLGURA 5. –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 = 1 6. –1000Y1 – 700 Y 2 – 1500 Y 3 = 1 siempre será 1 porque la probabilidad no puede ser mayor a 1 -800 Y1 + 8. Y1; Y2 & Y3 900 Y2 + 850 Y 3 = 1 Y1 -200 -1000 -800 Y2 -1300 -700 900 Y3 2000 -1500 850 Y4 1 0 0 Y5 0 1 0 Y6 0 0 1 C 1 1 1 -1 -1 -1 EN FUNCIÓN “X” (MINIMIZACIÓN) F.O.MINZ = X1 + X2 +X3 SUJETO A: 1. –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 2. –1000Y1 – 3. -800 Y1 + 700 Y 2 – 1500 Y 3 900 Y2 + 850 Y 3 4. Y1; Y2 & Y3
CON LOS COEFICIENTES DE LAS DESIGUALDADES LA MATRIZ INICIAL Y1 -200 -1000 -800 -1 Y2 -1300 -700 900 -1 Y3 2000 -1500 850 -1 C 1 1 1 DETERMINAR LA TRANSPUESTA Y1 -200 -1000 -800 -1 Y2 -1300 -700 900 -1 Y3 2000 -1500 850 -1 C 1 1 1 CONSTRUIR PRIMER TABLERO SIMPLEX, AGREGÁNDOLE 1 MATRIZ IDENTIDAD Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C -200 -1000 -800 -1 -1300 -700 900 -1 2000 -1500 850 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 R/MAX MIN Z VALOR DE JUEGO
SE SUMA UNA CONSTANTE PARA ELIMINAR LOS SIGNOS NEGATIVOS (EN ESTE 1500 K 1500 QUE ES EL MÁS NEGATIVO)
E.P. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C
1 1 0 0 0 0 0 C.P. 0 0 0 = = =
1300 500 700 -1 200 800 2400 -1 3500 0 2350 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 (1/3500) C.P. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C 13/35 500 -1210/7 -22/35 2/35 800 15860/7 -33/35 1 0 0 0 1/3500 0 -47/70 1/3500
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