- Objetivos
- Introducción a la teoría de controles automáticos
- PID
- Planteamiento del problema
- Conclusión
- Bibliografía
Objetivos
Obtener la función de transferencia de la planta o circuito RC.
Obtener la función de transferencia del controlador basado en el circuito con amplificadores operacionales (Proporcional – Integral – Derivativo).
Obtener la función de transferencia del controlador con los parámetros de diseño establecidos.
Calcular los valores del PID.
Por medio de los resultados obtenidos utilizar Matlab para obtener la grafica de la planta.
Obtener la grafica de escalón del sistema completo.
Con base a los elementos de circuito calculados, ensamblar y probar el controlador.
Introducción a la teoría de controles automáticos
Sistema de Control
Es el conjunto de dispositivos que colaboran en la realización de una tarea, donde el principio básico del control es la regulación automática o guía de sistemas dinámicos o dispositivos bajo condiciones de estados estacionarios y transitorios.
El uso efectivo de estos resultados depende de varios factores como lo son:
La realimentación; lo cual hace posible el establecimiento y mantenimiento de estabilidad en la operación del sistema.
La disminución de la sensibilidad de funcionamiento; para limitaciones de diseño, para variaciones de los parámetros de la planta y no linealidades de la planta.
La adaptación del comportamiento del sistema a las características desconocidas o variables con el tiempo.
Un PID (Proporcional Integral Derivativo) es un mecanismo de control porಥalimentacióne calcula la desviación o error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción correctora que ajuste el proceso. Elgoritmoथ cálculo del control PID se da en tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce.
Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador puede proveer un control diseñado para lo que requiera el proceso a realizar. La respuesta del controlador puede ser descrita en términos de respuesta del control ante un error, el grado el cual el controlador llega al "set point", y el grado de௳cilaciónथl sistema. Nótese que el uso del PID para control no garantiza control óptimo del sistema o laॳtabilidadथl mismo. Algunas aplicaciones pueden solo requerir de uno o dos modos de los que provee este sistema de control. Un controlador PID puede ser llamado también PI, PD, P o I en la ausencia de las acciones de control respectivas.༯font>
Funcionamiento del PID
Para el correcto funcionamiento de un controlador PID que regule un proceso o sistema se necesita, al menos:
Un sensor, que determine el estado del sistema (termómetro,࣡udalímetro, manómetro, etc.).
Un controlador, que genere la señal que gobierna al actuador.
Un actuador, que modifique al sistema de manera controlada (resistencia eléctrica, motor, válvula,ࢯmba, etc.).
El sensor proporciona unañal analógicadigital controlador, la cual representa elవnto actual८ el que se encuentra el proceso o sistema. La señal puede representar ese valor enഥnsión eléctrica,੮tensidad de corriente eléctricafrecuencia. En este último caso la señal es de࣯rriente alterna, a diferencia de los dos anteriores, que son con࣯rriente continua.
El controlador lee una señal externa que representa el valor que se desea alcanzar. Esta señal recibe el nombre de punto de consigna (o punto de referencia), la cual es de la misma naturaleza y tiene el mismo rango de valores que la señal que proporciona el sensor.
El controlador resta la señal de punto actual a la señal de punto de consigna, obteniendo así la señal de error, que determina en cada instante la diferencia que hay entre el valor deseado (consigna) y el valor medido. La señal de error es utilizada por cada uno de los 3 componentes del controlador PID. Las 3 señales sumadas, componen la señal de salida que el controlador va a utilizar para gobernar al actuador. La señal resultante de la suma de estas tres se llamaඡriable manipuladano se aplica directamente sobre el actuador, sino que debe ser transformada para ser compatible con el actuador utilizado.
Se desea construir un sistema PID para controlar el tiempo de estabilidad de un sistema eléctrico el cual es del tipo RC la figura 1 muestra el diagrama de bloques del sistema en donde:
Y(s) es la salida de voltaje del sistema.
R(s) es la señal de referencia del que corresponde al tiempo que se desea que dure el sistema para estabilizarse.
E es la señal de error correspondiente a la señal de referencia y a la de retroalimentación.
Y la señal U que corresponde a el voltaje que el controlador aplica a la planta para obtener la salida deseada.
Construcción del prototipo.
Para realizar el controlador debemos primero conocer la respuesta del sistema en su forma original. Lo primero que tenemos que tener presente es que contemos con circuito del tipo RC el cual se muestra en la figura 2
Figura 2
Para poder determinar el tiempo de respuesta del sistema debemos encontrar la función de trasferencia del mismo y luego utilizaremos el programa de MATLAB para determinar la grafica del sistema y ver el tiempo de respuesta del mismo.
Obtención de la función de transferencia.
Para obtener la función de transferencia del circuito procedemos a hacer un análisis eléctrico del mismo. De esta manera vemos que el circuito posee dos corrientes y este circuito nos da 3 ecuaciones.
Ahora procedemos a aplicar lo que es transformada de LAPLACE
Igualamos las ecuaciones 4 y 5.
Una vez encontrada la ecuación de transferencia de la planta procedemos a sustituir los valores de los dispositivos que la componen para determinar el tiempo en el cual el sistema se hace estable. Los valores son los siguientes:
R1=1K
R2=10k
C1=4.7uf
C2=3.3uf
Una vez sustituidos los valores procedemos al uso de MATLAB para determinar la grafica de tipo escalón para ver qué tiempo dura el sistema para estabilizarse
>> ra=1000;
>> rb=10000;
>> c1=4.7e-6;
>> c2=3.3e-6;
>> n=1;
>> d=[ra*rb*c1*c2,ra*c1+c2*rb+ra*c2,1];
>> c=tf(n,d)
Transfer function:
1
—————————-
0.0001551 s^2 + 0.0833 s + 1
>>step(c)
La grafica obtenida de esta función es la siguiente:
Figura 3.
Donde podemos observar los tiempos para cada periodo de la onda
De aquí tendremos que para el primer periodo de la onda que se da a los 63.2% el tiempo es de 1.4seg es decir T=0.041seg, los demás periodos son los siguientes
2T=0.74seg con un 86.5% de la señal
3T=0.115seg con un 95% de la señal
4T=0.151seg para el 98.2%
5T=0.19seg para un 99%
Tenemos un circuito eléctrico cuyo tiempo de estabilidad se encuentra a unos 0.25seg,
Entonces construiremos un PID para aumentar el tiempo de respuesta del mismo ya que el tiempo de respuesta de este circuito es muy rápido. Con el PID se pretende colocar el tiempo de estabilidad a unos 2 segundos aproximadamente con un sobrepaso máximo de un 30%.
Diseño del controlador PID
El PID es un circuito de control el cual coste de tres partes esenciales las cuales son:
Parte proporcional
Las funciones de la parte proporcional son las siguientes:
-mejora el amortiguamiento y reduce en sobrepaso
– reduce el tiempo de asentamiento y levantamiento
-Mejora el margen de ganancia, el margen de fase.
La figura muestra el circuito proporcional del cual obtenemos la siguiente ecuación de transferencia.
Figura 4
Parte integral
Esta parte tiene como propósito eliminar el error de estado estacionario provocado por la parte proporcional
Figura 5
Parte derivativa
Esta parte solo entrara en juego cuando haya un cambio en el valor absoluto del error (si el error se mantiene constante solo actúan la parte integral y proporcional)
Figura 6
Para poder determinar los valores para el PID que nos provean la salida deseada procedemos a encontrar la función de transferencia del mismo la cual se representa por
Para encontrarlo de una manera más simple evaluamos ecuación en función de kp, ki y 
entonces la ecuación será la siguiente
De donde tendremos que la parte proporcional que viene dada por kp será igual a
La parte integran ki será igual a.
Y la parte derivativa será igual a:
La estabilidad del sistema la obtendremos mediante la resistencia RD del circuito PID, entonces las ecuaciones de cada una de las partes del PID la trabajaremos en función de RD, una vez planteado esto determinamos que los valores serán los siguientes
Luego procedemos a obtener la ecuación del sistema en operación de lazo abierto
Entonces el sistema se vera de la siguiente manera
Aplicamos la operación de lazo cerrado para determinar la ecuación de transferencia de todo el sistema. La ecuación de transferencia en sistemas de lazo cerrado viene dada de la forma
Donde H tiene un valor de 1.
Ya que tenemos estos datos procedemos a realizar la reducción
La ecuación de transferencia será la siguiente.
Entonces
APLICANDO EL CRITERIO DE R0UTH
Los valores de 
se despejaran de las siguientes ecuaciones.
Despejando RD de la ecuacion
Como podemos observar los valores de 
para los cuales el sistema es estable según el criterio de routh son negativos, pero como no existen resistencias negativas cualquier valor mayor de 0 hace que el sistema sea estable.
Una ves obtenidos estos parametros procedemos a implementar lel criterio de "prueba y error " para determinar con cual valor en el sistema nos da el tiempo y el sobrepaso deseado.
1) Prueba con una
Uso de matlab.
>> n1=[7.02e-7,0.41+2.12e-5*100,3.17];
>> d1=[0.0001551,0.041+7.02e-7*100,0.14+2.12e-5*100,3.17];
>> c1=tf(n1,d1)
Transfer function:
7.02e-007 s^2 + 0.4121 s + 3.17
———————————————
0.0001551 s^3 + 0.04107 s^2 + 0.1421 s + 3.17
Figura 6
El sobrepaso es de Mp=.
Como podemos observar con una 
100ohm el sistema no nos da los parametros deseados.
2) Prueba con
200k
Uso de matlab.
>> n1=[7.02e-7,0.41+2.12e-5*200000,3.17];
>> d1=[0.0001551,0.041+7.02e-7*200000,0.14+2.12e-5*200000,3.17];
>> c1=tf(n1,d1)
Transfer function:
7.02e-007 s^2 + 4.65 s + 3.17
——————————————
0.0001551 s^3 + 0.1814 s^2 + 4.38 s + 3.17
>> step(c1)
Figura 7
MP=
Como vemos una RD=200komh no es factible para lo que necesitamos.
3) Prueba con RD igual a 10Kohm
>> n1=[7.02e-7,0.41+2.12e-5*10000,3.17];
>> d1=[0.0001551,0.041+7.02e-7*10000,0.14+2.12e-5*10000,3.17];
>> c1=tf(n1,d1)
Transfer function:
7.02e-007 s^2 + 0.622 s + 3.17
——————————————–
0.0001551 s^3 + 0.04802 s^2 + 0.352 s + 3.17
>> step(c1)
Figura 8
El valor de 10k nos da una estabilidad a unos 1.8 segundos y un sobrepaso de:
Mp =
100% lo que nos da un 27% de sobrepaso.
Este valor está muy dentro de los parámetros establecidos así que lo podemos asumir como valido.
A continuación se muestra el circuito simulado en isis protesus
Figura9
Un sistema de control es el conjunto que permite la regulación automática o guía de sistemas dinámicos o dispositivos bajo condiciones de estados estacionarios y transitorios. El uso efectivo de estos resultados depende de varios factores como lo son la retroalimentación, la disminución de sensibilidad de funcionamiento y la adaptación del comportamiento del sistema a las características desconocidas o variables con el tiempo.
Un PID es un mecanismo de control porಥalimentacióne calcula la desviación o error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción correctora que ajuste el proceso.
Con la realizacion de este proyecto determinamos que con la implementacion de un PID se puede mejorar considerablemente la respuesta en escalon del sistema RC original, fue necesaria la aplicación de varios metodos de analisis para determinar la estabilidad del sistema y el tiempo en el cual el sistema se hace estable los metodos utilizados en este problema fueron:
Transformada de LAPLACE.
Reduccion de bloque.
Funcion de transferencia.
Matlab para determinar las raices y la grafica del escalon.
Aplicación de PID.
Criterio de Routh.
Respuesta transistoria.
Gracias a la implementacion de estos criterios logramos aumentar el tiempo del sistema y encontrar los parametros entre los cuales el sistema es estable.
Para variar el "Mp" (sobrepaso ) solo se debe variar el valor de la resistencia y el sitema variara la estabilidad y a medida de que la resistencia aumenta el sobrepaso disminuye y el tiempo de estabilidad aumenta.
Kuo, Benjamin (1996) Sistemas de Control Automático, Séptima Edición, México, Prentice Hall Hispanoamérica
Ogata, k (1998) Ingeniería de Control Moderna, Tercera Edición, México, Pearson Education
Tutorial PID (1997) Disponible en: http://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/PID.html
Autor:
Alex Lorenzo Núñez 1-05-0559
Iván Guzmán Marte 1-03-1267
Universidad Tecnológica de Santiago
(UTESA)
Asignatura:
Controles De Sistemas Automáticos
Iel-900-001
Proyecto:
Presentado a:
Prof. Ing. José Solís
17 de abril del 2011 Santiago de los Caballeros
República Dominicana.