Función acotada. Sea f : D ? R ? R una función real de variable real, y S ? D. f está acotada superiormente en S ?: ?M ? R / f (x) = M ? x? S , es decir, si el conjunto imagen f (S) = {f (x) / x?S} es un conjunto acotado superiormente. f está acotada inferiormente en S ?: ?m? R / f (x) = m ?x? S , es decir, si el conjunto imagen f (S) = {f (x) / x?S} es un conjunto acotado inferiormente. f está acotada en S ? : f está acotada superiormente e inferiormente en S ? ?K ? /| f (x)| = K ? x ? S , es decir, si el conjunto imagen f (S) = {f (x) / x?S} es un conjunto acotado.
Función par e impar: simetrías. Sea f : D ? R ? R tal que – x?D si x?D f es par ?: f (-x) = f (x) ? x? D f es impar ?: f (-x) = – f (x) ? x? D
La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de ordenadas y la grafica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Ejemplos: f (x) = es par f (x) = es impar
Función periódica. Sea f : D ? R ? R una función real de variable real. f es periódica ?: existe h? tal que f (x) = f (x + h) ? x ? D
El período p de una función periódica es el valor más pequeño de h que verifica la igualdad anterior.
Operaciones con funciones. Sean f y g dos funciones reales de variable real tales que Dom f = Dom g = D . Función suma: f + g : D ? R? R tal que ( f + g)(x) = : f (x) + g(x) ?x?D
Función nula: :R ? R tal que (x) = 0 ?x? R verifica f + =f
La función opuesta de f: – f : D ? R ? R tal que (- f )(x) = : – f (x) ? x ? D verifica f + (- f ) =
Operaciones con funciones. La función producto: fg : D ? R? R tal que ( fg)(x) = : f (x)g(x) ? x ? D
La función unidad: : R?R tal que (x) = 1 ?x? R verifica f =f
La función recíproca de f: ?x?
siendo = {x ? D / f(x) ?0}, verifica f
Operaciones con funciones. La función cociente:
siendo = {x ? D /g (x) ? 0}.
Nota: Si Dom f ? Dom g con Dom f n Dom g ? conjunto vacio, entonces: Dom( f + g) = Dom( fg) = Dom f n Dom g Dom( f / g) = (Dom f n Dom g) – {x / g(x) = 0}
Composición de funciones. Sean dos funciones f y g tales que Im g n Dom f ? conjunto vacio. Definimos la función “ g compuesta con f ” y se denota f o g de la siguiente forma: ( f o g)(x) =: f (g(x)) ? x ? Dom g / g(x)? Dom f Análogamente, si Im f n Dom g ? conjunto vacio, se define la función “ f compuesta con g ” y se denota g o f de la siguiente forma: (g o f )(x) =: g( f (x)) ?x? Dom f / f (x)? Dom g La composición de funciones verifica la propiedad asociativa. No verifica, en general, la propiedad conmutativa. El elemento neutro de la composición es la función identidad I.
Función inversa. f : D ? R ? R es inyectiva ?:
Si f es una función inyectiva (en cierto dominio) entonces existe una única función g definida sobre la imagen de f , es decir, g : Im f ? R tal que f (g(x)) = x ?x? Im f = Dom g . Así pues, Im g = Dom f . A esta función g se le llama inversa de la función f y se denota por . Por tanto f ( (x))= x ?x ? Im f , es decir, f o = I Se verifica también que ( f (x)) = x ? x ? Dom f , es decir, o f = I
Funciónes elementales. Función potencial entera: f (x) = , n? N ? {0} Dom f = R Im f = R si n es impar , [0,+8) si n >0 es par , {1} si n =0 Si n es impar entonces f es estrictamente creciente en R
Funciones elementales Función polinómica: f(x)= n? N ? {0} , ? 0 Dom f = R . Si n = 1 recta ; si n = 2 parábola, …
Funciones elementales Función racional: Es cociente de dos funciones polinómicas. f(x)=
Dom f = {x? R / Q(x) ? 0}
Funciones elementales Funciones circulares y sus inversas.
Funciones elementales. Funciones circulares y sus inversas.
Funciones elementales. Funciones circulares y sus inversas.
Funciones elementales. Funciones elementales y sus inversas.
Funciones elementales Función exponencial: f (x) = , a > 0 Dom = R ; Im = (0 ,8) si a ? 1 , Im = {1} si a = 1 Es estrictamente creciente si a > 1 y estrictamente decreciente si 0 < a < 1
Funciones elementales Función logarítmica: Se llama función logarítmica de base a > 0 (a ? 1) , f (x) = , a la inversa de la función exponencial. Dom = (0,8) ; Im = R Es estrictamente creciente si a > 1 y estrictamente decreciente si 0 < a < 1. Si a = e , el logaritmo se llama neperiano o natural y se representa log(x) ó ln (x) n . Si a =10 se llama decimal.
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