? ? Ecuaciones de grado superior Dr. Johnny F. Farfán P. Lima, Perú 01.-Resolver las siguientes ecuaciones: ?3×2 ? x?3? 0 ?13×2 ?36 ? 0 ?4×2 ? x?6 ? 0 ? x3 ?6×2 ?4x?8 ? 0 * x3 * x4 * x3 * x4 02.-Indicar una raíz no racional de: (x2 ? x)2 ?3(x2 ? x)?2 ? 0 1? 5 b) 2 5?1 d) 2 a)
c)
e) 1? 3 2 5? 2 3 3? 2 2 03.-Si una de las raíces de la ecuación: (k ?4)x3 ?(k ?4)x2 ?21x ?5,es5
Calcule la suma de las otras 2 raíces .a)2 b)3 c)4 d)5 e)6
04.-si: x1,x2yx3 son raíces de la ecuación: x3 ? x?n ? 0, tales que :x2 ? x3 ? 7 .Hallar la otra raíz a)1 b)2 c)-7 d)4 e)5 05.-Sabiendo que:x1;x2;x3son soluciones de: x3 ?ax2 ?5x?(a?8) ? 0,tales que verifican: x1 ? x2 ? x3 ?5x1x2x3 ? 0 Hallar "a"
a)?3 b)?5 c)-2 d) 3 e) -10 06.-Dada la ecuación: xn?1 ?x4 ?29×2 ?(5n?1)xn?3 ?100x?6n?4 de raíces x1,x2,x3,x4yx5;calcule : x1x2x3x4x5 a)2 b)5 c)1 d) 10 e) 40
07.-Se sabe que las raíces de una ecuación: x3 ?12×2 ? px?28 ? 0están en progresión arimetica.Hallar el valor de "P" a)20 b)24 c)39 d)16 e)-20
08.-si: M ? x?z/x5 ?12x?7×3 ? p??x?z/x?2?M?
Hallar : (M?P)-(M?P) a){2;4} b){-2;0} c){-2;0;2;4} d){2;4;5} e){-2;4}
09.-Si al formar una ecuación bicuadrada que tiene por 2 de sus
x ? x1 ?1 ? 2 2 ? 3 x ?(3k ?4)x ?(k ?1) ? 0;son raíces a: -?m y 2 se obtiene: x4 ?(m?n?1)x2 ?8n ? 0 Se pide hallar otra ecuación bicuadrada de raíces "m" y "n"(m;n?Q+) a)x4 ?35×2 ?324 ? 0 b)x4 ?35×2 ?324 ? 0 c)x4 ?45×2 ?324 ? 0 d)x4 ?45×2 ?324 ? 0 e)x4 ?45×2 ?424 ? 0
10.-Hallar la suma de cuadrados de las raíces de la ecuación: 4×4 ?37×2 ?9 ? 0 15 4 a) 37 4 b) 17 4 c) 37 2 d) 15 2 e) 11.-Si las soluciones de la ecuación: 4 2 2
números enteros y están en progresión aritmética, hallar la suma de los cuadrados de dichas soluciones.(k ? z) a) 10 b) 26 c) 20 d) 34 e) 18
12.-six1,x2yx3 son (x3 ?Q)las soluciones de las ecuaciones: x3 ? x2 ?3x?2 ? 0hallar el valor de 2 1 x 2 x ?1 x2 ? x2 ?1 x1 ?1 1 2 a) ? 1 2 b) 1 4 c) ? 1 4 d)0 e) 13.-si:? y ? son soluciones de: x4 ?5? 2×2 ?? 2 ? 0.hallar el mayor valor de: "?+?"
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
14.-si:-3-?7 es raíz de la ecuación: x3 ? x2 ?nx?10 ? 0Con n ? Q hallar: n
a)-2 b)-4 c)-6 d)-8 e)-28 3 15.-si:x= 2-1 es raíz de la ecuación: 2×3 ?6×2 ? px?q ? 0; p,q,?Z Hallar:p+q a)1 b)5 c)-2 d)3 e)4 16.-Si una de las raíces de la ecuación:
2×3 ?(a?4)x2 ?(1?2a)x?2?a;esx1 ?2.
Hallar: "a"
a)6 b)-4 c)-3 d)0 e)-6
17.-Dada la ecuación en x3 ?(m?3)x2 ?(m3 ?3)x?m3 ?2?0
?5x ?3y ? 26 Calcule: (x? y) ,para que x ? 2y ?mx?(3?m)y ? 8 ?m ? 4?x ? ny ? n,{m,n}? R a)x ?10x ?9 ? 0 b)x ?11x ?18 ? 0 ?(x ?5)(y ?2) ? 36 De raíces x1,x2,x3;determine el valor del parámetro real "m" para que: x1 ? x2 ? x3 ? x1x2 ? x1x3 ? x2x3
Indique además: a)m ? ?3? x1x2x3 ? ?2 b)m ?3? x1x2x3 ? 2 c)m ? 0? x1x2x3 ? ?2 d)m ? 2? x1x2x3 ?10 e)m ? ?2? x1x2x3 ? ?6
18.-Si las raíces de la ecuación:
x4 ? x2 ?1? 0son: a,-a,b,-b Hallar:a4 ?b4
a)1 b)2 c)-1 d)4 e)5
19.-Dada la ecuación: m?5)x5 ?(m?7)x4 ?…….. +ax+2m=0
Si la suma de sus raíces es 5.calcula el producto de las mismas
a)16 b)-16/3 c)16/3 d)8/3 e)-8/3 20.-construir la ecuación bicuadrada tal que dos de sus raíces son: 4 2
4 2 c)x4 ?10×2 ?9 ? 0 d)x4 ?11×2 ?18 ? 0 e)x4 ?10×2 ?18 ? 0
Sistema de ecuaciones (semana 9)
01.-Dado el sistema de ecuaciones: ?x ? 4y ?12 ?
2
a)20 b)36 c)25 d)48 e)60
02.-Para que valores reales de m el sistema: ?5mx?(m? 2)y ? 27 ?
a) m ? R – {0; 13/6} b) m ? R c) m ? R-{1} d) m ? R+ e) m ? R-
03.-Halle m+n para que el sistema sea indeterminado:
2 (4?n)x ? y ?1 a)-2 b)3 c)0 d)1 e)2 04.-dado el sistema: ?x ? y ?10 ?
si(x0, y0)es una solución x0 ? 0
?x ? y ? z ? 2 ?x ?(n?3)y ? 3 ? ? ? ? x y ?1 ? 4 ? ? ?a ?c? ? ?b?c? (a ?b)2 ?2x ?(n?7)y ? 29?7n ??? y2 ? xy ? x ? ?4 Halle:
a)2 x0 ?01 y0 ?1
b)5/7 c)10 d)9/5 e)11/5 05.-para que valores de m y n en el sistema: 3x ?my ?1 5x ?(2m?1)y ? n?1
Tiene infinita soluciones indicar el valor de n+m. 4 3 b) ? 6 7 c) ? 8 3 d) ? 1 3 10 3 a) ?
e)? 5 4 ? 06.-Resuelva el sistema: ? ? ? 1 3 ? 7 1 ? x y ?1 4 Se obtiene su c.s={(x0, y0)} Halle:x0, y0 a)5 b)3 c)6 d)8 e)10
07.-Dado el sistema: ?nx ?6y ? 5n?3 ? ? 8.-En el siguiente sistema ?x ? y ? z ?1 ? ?? x ? y ? z ? 3 Hallar el valor de (x+y+z)y 1 1 a) b)6 c)216 d) e)36 36 6
9.-Señale cuantos valores no puedo tomar n si el sistema: ?(n?1)x ?8y ? 4 ? Es compatible determinado. a)2 b)5 c)6 d)4 e)3
10.-Resuelva: ? 3x-2y=-1 7y+z=4 2x+4z=-3
Si(a,b,c)es solución del sistema. Halle el valor de:
2 2 ? c b a a)0 b)2 c)3 d)1 e)25
?x2 ? xy ? y ? 2 11.-?
2?x0 ?1? y0 ?1 ? x ? y ? 2 ? ? 2x ?3y ?7 ? ?3 ??a ?3?x ?(a ?1)y ?16 ??n?1?x ?3y ? 2n?1 ?x ? y ? 2 Calcule: 0 ?x ? y ? z ? 6 ?xy ? 6 ? ? ?1 3 5 ? ? Si(x0, y0)es su solución y x?0
Halle:
a)2/3 b)3/2 c)3/5 d)2 e)1/7
12.-halle a;de modo que el sistema: ??a ?3?x ??2a ?3?y ?18 ?
Sea inconsistente: a)6 b)3 c)-1 d)1 e)2 13.-si(x0, y0)es un solución del sistema xy ? 36 x ? y ? 2
x y0 a)2 b)4 c)5 d)6 e) 10 14.-Luego resolver el sistema: ?x2 ? y2 ? z 2 ?14 ?
? Halle un valor de(x+y) a)-1 b)2 c)3 d)4 e)5 15.-Al resolver el sistema siguiente: 3
23 x ? y ? 2 ?3? 2x ?3y ?7 ?14
Se obtiene que el valor de(x+y) es:
a)-2 b)-1 c)0 d)1 e)2
16.-Dado el sistema: ??m?1?x ? 2y ? m?1 ?
Si es compatible indeterminado. Calcule m.n a) 10 b) 16 c) 15 d) 18 e) 25 17.-Para que valor de parámetro real n el sistema: X+ny=1 Nx-3ny=2n+3
No tiene solución. a)-3 b)3 c)2 d)4 e)0 11 3 ? 8 y ?1 ?4 ?x 18.-Resolver el sistema:
? ?x y ?1 4 E indicar: x.y. a)6 b) 12 c)8 d)4 e) 24
?x ? y ? 3 ???. ?a ? 0 ?? ; ?Halle la variación ?? ; ?halle la variación de x ?3 19.-Resuelva el sistema: X+y+z=2 2x-2y-z=2 X+2y-z=-3
Indicando x y z a)-2 b)3 c)-4 d)9 e)0
20.-si(x0, y0es la solución del sistema ? x ?1? y ?2 ? 2 ?
Calcule:x0, y0
a)-1 b)0 c)4 d)6 e) 10 Desigualdades (Semana 10) 1.-Sea: A????;3]B ??5;???;C ??3;5 ? Indique el número de proposiciones verdaderas ?.Ac ??3;??? ??.Bc ????;5] ???.C ????;3]?[5;???. ?V.(A?B)C ??3;5]
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4
02.-Sean los conjuntos: A ??x?R/?5? x ?1? B ??x?R/?3? x ? 3? C ??x?R/2 ? x ? 5? Determine el valor de a+b+c+d si se sabe que (A?B)?(C ? B) ??a;b]?[c;d] a)4 b)12 c)3 d)6 e)8
03.-Si:a>0?b< 0;entonces se puede afirmar siempre: ?.(a?b)b ? 0 ?.?(a?b)b ? 0 a2 b
a)?y?? b)?y??? c)solo?? d)solo??? e)Todas 4.-Si: ?1 1? ?8 2? 1 x de
Si: ?1 1? ?8 2? 1 x x2 ?6x?1 a)?0;17?b)??8;17? c)??8;0? d)??8;17?e)??8;0?
05.-UNMSM-2010-II Si x ? < 0;7>, entonces encuentre la suma de los extremos del intervalo 5? x al que pertenece y=
6? 8 ? 2…………. (2) x ?8x ? 21 ? X ?2? ? X ? 4? 216ab c ? a ?b 1 6 a) 1 6 b) ? 28 15 c) 8 3 d) 22 15 e) 06.-Sean a,b?R+.calcule el mínimo 2a2 ?3b2 valor de la expresión ab a)2 3 b)3 6 c)2 6 d) 2 e) 6
07.-.Calcule el máximo valor de K,tal que ? k x ?3 x ?1 Donde x > 1 a)8 b)2 c)1 d) 1 4 e)4 08.-si:(x-3)?[-4;-1],halle la variación de? ? y de cómo respuesta mayor valor de esta expresión .
a)3 b)-2 c)-1 d)1 e)0
09.-calcule el mínimo valor de la ,dondea;b;c;?R? expresión
(a ? 2b?3c)6 2 3 a)27 b)18 c)6 d)218 e)216
10.-Hallar el mayor valor de: E ? (a? x)a?x Que satisface: ax ? 4 64 4 ? 6? 4 8 ……. (1) 2x ? 4 3 Sabiendo además que: a>x;{a; x}?z+
a)96 b)75 c)57 d)64 e)87
11.-Determine el máximo valor que alcanza la expresión. 45 2 f (x) ? a)8 b)16 c)6 d)9 e)5 12.-sabiendo que: k ? ;?x?R x2 ?17 x2 ?1 Calcule el mayor valor de "K"
a)8 b)4 c)6 d)10 e)5
13.-si a y b son2 numeros reales 1 ab positivos y ,determine el 2 valor de a2 ?b2 a)1 b)0 c)3 d)5 e)7 14.-calcular "k" en ax+by+cz< k, sabiendo que:
a2 ?b2 ? c2 ? 8 x2 ? y2 ? z 2 ?12
x ?a x ?b 15.resolver: ? a2 b bx ax ?3ab x 5x ?3 x 5?3x 7x ?1 ;+8>.calcular:((b-a), siendo? ? ? x ? ? 4…….. (2) Si: a; b; c; x; y; z son números positivos diferentes
a)10 b)11 c)12 d)13 e)14 2 2
2 Sabiendo además que(a-b) ?< -b;0>
a)x ? ?a2 ?b2 b)x ? ?(a2 ?b2) c)x ? a2 ?b2
16.-Al resolver ? ? ? ?1 2 6 3 4
a Se obtiene un C.S. x ? < b ? a? ?b ? una fracción irreductible. a)14 b)9 c)28 d)20 e)19 17.-Indicar el tipo de valores que a de tomar "a" y "b" para que el sistema: Ax +a>a Bx – 2b > -3b
Tenga como C.S. al Ø, siendo "a" y "b" no nulos. a) a> 0 b< 0 b) a > 0 b>0 c) a < 0 b < 0 e) a < b d) a< 0 b> 0 18.- UNMSM – 2009-II SI A ? R+, ac< 0 y bc> 0,halle el conjunto solución de: ? ? 3a ? a b c
a) (ab+8) b) (ab, 0) c) (0+8) d) (-8,0) e) (0, bc)
19.- resolver:
X + 4 < 7 – x ? 6…….. (1)
x ?3 2 E indicar el número entero de valores que la verifican. a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
20.-si al resolver: 2x?3 ?5.27?x ? 29?x ?2x Se obtiene el C.S:R?a;+8?? Hallar: 4ª
a)7/2 b)7 c) 14 d) 28 e) 12
LOGARITMOS (Semana 11)
01.-Indicar verdadero (v) o falso (f) ? ?Log,5? ? ?4?? ?16
???.9 4 ? 3 2 5?xLog63?? 4?3Log ? ? 81 6 8Log5 M ?5 ) T ? ?1 ? ?? ? Log48? Log93?? ? 2 ? ?8Log2? ?? ? ?? ?3?? ?1 a)VVV b)VFV c)FFV d)FVV e)VVF
02.-Indicar cual (es) se cumple (n): ?.Si: xlogx?x?3? ? 4? x ?1 ??.Log2x ? 3? x?32 ? 9 Log 3 Log 3 a)I y III b)Solo I c)Todas d)II y III e)Solo III
03.-Si x0 es la solución de: x ? ? Indicar el valor de x0 27 ?1 a)4 b)8 c)6 d)3 e)9
04.-Calcular:
7 Log7
Indicando luego M (Log3 a)3 9 b)3 3 c)2 d)18 e)1/2 05.- Si:
4Log2(2x?1) ?9 Indicar el valor de: Log x2? Log2x a)1 b)2 c)10 d)Log1 e)-1 ? ? 1 Log572?1 2 Log340? 2 06.-Efectuar: 3 Log 245?3 a)2 b)-1 c)1 d)1/2 e)-1/2 07.-Luego de resolver
Indique su conjunto solución. C){0} D)Ø A){0,3} B){3} E){0;2;3} 08.-Hallar "X" en: xLog2? Log(Log2) ? Log(Log16)
a)2 b)6 c)3 d)4 e)-2
09.-Resolver: Ln(Ln(x-1))=1
Indicando luego: e2e ?1 x
a)ee b)ee ?1 c)ee ?1 d)e2e ?1 e)e2e
2? Logx(x ?1)2 ?log x 2 ? Logxx2 16.-Si: Logx ? m? Logy ? n ? x ? Calcular: Log? ? Indique el valor de:4x ?2x ?1 ? ? a)x1?16 ;x2? ?16 10.-Hallar "x",en: Log 2x ?3?x2 Log3 x3 ?1 a)2 b)-?2 c)-?3 d)?2 e)?3
11.-Resolver:9Log x3 ? 27x;Dar como respuesta la menor de sus soluciones.
a)3 b)1/3 c)1/9 d)1/27 e)1/87
12.-Hallar el valor de "x" en la siguiente ecuación:
1 x
a)2 b)1 c)1/4 d)4 e)1/2
13.-Si: xLog820 ?1? Log45 2 a)4 b)6 c)2/3 d)2 e)3/2
14.-Halle las raíces de la siguiente ecuación:
Log2(Log4(Log16(x2))) ?1 4 4
b)x1?168;x2? ?168 c)x1?1616;x2? ?16?16 d)x1? 416;x2? ?416 e)x1?164;x2? ?16?4
15.-El valor de: Log(2x4x6x…….x(20)? Log(9!)es : a)10?10log2 b)1?10log2 c)10log2 d)log2 e)log(10!)
2 2
2
? y ? A)m+n b)m+nm c)m-n d)n-m e)n+mn
17.- Si: logx3 ? 6,entonces logx x es: a)1/3 b)3 c)2 d)3/4?6 e)1/3
18.El equivalente de: 1 1 1 1?log3(10e) 1? Ln30 1? Log(3e) E ? a)1 b) Log3 c) Ln10 d) Ln30 e)Log(3e) 19.-luego de resolver la ecuación: 3Logx81?x ; un valor de "x"; es:
a)1 b)3 c)1/5 d)1/9 e)1/27
20.-Resolver:Log3x.Log3(9x) ?35 Indique el producto de soluciones:
a)3?1 b)3?2 c)32 d)33 e)3
Inecuación de segundo grado (semana 12)
1.-la inecuación que presenta en su conjunto solución el menor número de enteros posible es:
a) X 2 ?12X ?27 ? 0 b) X 2 ?11X ?30 ? 0 c)2X 2 ?17X ?36 ? 0 d) X 2 ?5X ?6 ? 0 e) X 2 ?12X ?35 ? 0
2.-De las inecuaciones: ?.(x?8)2 ? 0 ??.(x?2)2 ? 0 ???.x2 ?10x ?25 ? 0 ?V..x2 ?12x ?36 ? 0 V.(x?6)2 ? 0
Indique el conjunto solución que no corresponda a algún caso: a)?2?b)R??6?c)R d)? e)?6? 03.-Resolver: 2×2 ?7x?5 ? ?(2×2 ?11xx ?6) Indique su conjunto solución:
? 2 ? ? ? ? ? 11.-Resolver: x (x ?1) ? ?1 a)R b)R??2?c)R?? 1/2? d)R???1/2?e) ?1/2;?? ?
04.-Indique la suma de los valores enteros que verifican: 1 7 1 43 ? 1 x ? x ?1 a)3 b)7 c)-2 d)0 e)-3
05.-Dados los conjuntos: A? x/x?R?(x?2)2 ?16 B ??x/ x?R?(x?5)2 ? 4? Indique: A ? B A ??x/3? x ? 6? B ??x/?2 ? x ? 7? C ??x/6 ? x ? 7? D ??x/?2 ? x ? 3? E ??x/?3? x ? 6? 06.-Calcular el máximo valor entero "m", si: 2(x2 ?m) ?8x?1;?x?R a)-8 b)-5 c)-2 d)?3 e)?4 07.-Indicar el menor número entero "n" que:?x?R,se cumple: (x?1)2 ?n ?1 a)7 b)1 c)4 d)3 e)2 08.-Resolver: (x2 ?1)(x?5)(?x?6) ? 0 Indique parte del conjunto solución: a)?4;?? ? b)?5;?? ? c)?3;?? ? d)[??;6 ? e)?7;?? ? 09.-Resolver: ?(x2 ? x?1) x2 ?3.x?1 ? 0 Indicando el producto de los "extremos infinitos" pertenecientes a su intervalo solución. a)2 b)-1 c)-2
d) 13
13 e) 2
10.-Resolver: (X 2 ?6)(X ?7)2(X ?3)4 ? 0 Indica el mínimo entero que lo verifica a)-8 b)-5 c)7 d)3 e)-6
2 2 a)< 0;1> b)< 1;2> c) < -1;0> d)? e)? 12.-Resolver: x2(9×2 ?5) ? 4 a)x? < -1;1/3> b)x ? < -2/3;2/3> c)x ? *-2/3;2/3] e)x ? *-1;1]
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