Líneas de transmisión

1. Conceptos básicos
2. Voltaje y corriente como funciones de la posición
3. Acoplamiento de las líneas de transmisión
4. Potencia
5. Carta de Smith

CONCEPTOS BÁSICOS

       Las ondas planas uniformes, son ejemplos de propagación de ondas sin guías (libremente), en el sentido de que una vez que se han propagado en una dirección, dentro de un bloque infinito de material, continúan propagándose en la misma dirección. De acuerdo con lo anterior, las líneas de transmisión (al igual que las guías de onda) se utilizan para guiar la propagación de la energía de un punto a otro.

       Así pues, una línea de transmisión se puede definir como un dispositivo para transmitir o guiar energía de un punto a otro. Usualmente se desea que la energía sea transportada con un máximo de eficiencia, haciendo las pérdidas por calor o por radiación lo más pequeñas posible.

      Las líneas de transmisión pueden ser de muchas formas y tamaños. Es conveniente clasificarlas en base a las configuraciones de sus campo E y H, es decir, en base a los modos que pueden transmitir. De esta manera, las líneas de transmisión se pueden dividir en dos grupos principales: 

1) Las que son capaces de transmitir el modo Transversal Electromagnético  (TEM). Del cual se desprenden las O.P.U.

 2) Las que son capaces de transmitir únicamente modos de orden más alto.

     En un modo TEM ambos, el campo eléctrico y el campo magnético, están completamente en la dirección de propagación. No hay componente ni de E, ni de H en la dirección de transmisión. Por ejemplo, si la dirección de transmisión es en Z, entonces las únicas posibilidades para la dirección de E y de H serían Ex y Hy ó Ey y Hx. La única diferencia con las O.P.U. es que en el modo TEM E y H no necesariamente son independientes de su posición en el plano formado por XY (el cual es transversal a Z). Mientras que en las O.P.U. E Y H sí deben ser independientes de su posición en estos planos (esto es la característica de uniformidad).

     Los modos de más alto orden siempre tienen al menos una componente, de alguno de los campos en la dirección de transmisión.

     Todas las líneas de dos conductores como el cable coaxial o el cable de dos hilos son ejemplos de líneas que transmiten el modo TEM o simplemente de líneas TEM; mientras que las guías de onda huecas, de un solo conductor, son ejemplos de líneas de modos más altos.

En resumen:

 1) Línea modo TEM.- E y H son totalmente transversales a la dirección de  transmisión. Ejemplos: todas las líneas de dos conductores.

 2) Línea modo de más alto orden.- E ó H ó ambos tienen componentes en la  dirección de transmisión. Ejemplos de modos de más alto orden son el modo TM,  el modo TE. Ejemplos de este tipo de líneas de transmisión son las guías de onda  huecas de un solo conductor o las líneas trifásicas.

En el ámbito electrónico el término "línea" o "línea de transmisión" usualmente se utiliza únicamente para hacer referencia a los dispositivos que pueden transmitir modo TEM, mientras que el término "guía" o "guía de onda" se utiliza para hacer referencia a los dispositivos que pueden transmitir modos de más alto orden.

     A continuación se muestra el diagrama (figura 1.1) utilizado para representar una línea de transmisión y en seguida se mostrarán algunas analogías útiles entre las O.P.U. y las líneas de transmisión:

FIGURA 1.1

     Donde 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

  es el voltaje de entrada o voltaje de la fuente de alimentación, Rc es la impedancia intrínseca de la línea de transmisión y sus unidades son ohms, 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

es la impedancia de carga y puede ser un número complejo o un número real y sus unidades también son ohms, 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

es el voltaje en la carga, 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

es la corriente que pasa por la carga, L es la longitud de la línea de transmisión en metros y se mide sobre el eje Z, d es la distancia de un punto determinado a la carga en metros, las otras dos variables serán definidas en la siguiente sección en base a la distancia d.

     Las analogías entre las O.P.U. y las líneas de transmisión son las siguientes:  

VOLTAJE Y CORRIENTE COMO FUNCIONES DE LA POSICION

     Las formas de onda del voltaje y la corriente en la línea de transmisión son la combinación de ondas que se desplazan hacia adelante y hacia atrás. Estas se combinan para producir ondas estacionarias en la línea, de manera análoga a como se observó en el estudio de la incidencia de ondas planas uniformes en fronteras planas. Para mostrar la existencia de ondas estacionarías en la línea, vamos a escribir las expresiones para voltaje y corriente en la línea, en términos de un voltaje de carga

 (Z=L)= (L)=  y una corriente de carga

( Z = L ) = ( L) = , a estas dos variables las definimos como:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

(1.1a)

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

  (1.1b)

  El coeficiente de reflexión en un punto particular de Z se define como la razón de los voltajes:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

   (1.2)

     También definimos una impedancia de entrada a la línea en cualquier punto a lo largo de ella como la razón del voltaje total a la corriente total:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

(1.3)

      Donde:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

  (1.4a)

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

(1.4b)

     Substituyendo (1.4) en (1.3):

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Si, L es la distancia de la entrada a la carga (la longitud de la línea de transmisión), entonces podemos encontrar una impedancia en la carga 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                (1.6)

     Donde 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

es el coeficiente de reflexión en la carga 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

y se define de la siguiente manera (ecuación 1.1):

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

(1.7)

     El cual en términos de la impedancia de carga es:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

(1.8)

     Se puede demostrar que:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

(1.9)

     Si en (1.1) se despeja 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

  y se substituye en (1.4) junto con (1.9):

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

  Volts                                   (1.10a)

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Amperes                               (1.10b)

      Nótese que estos resultados involucran la distancia a la carga, la cual definimos como L-Z. Así, si definimos d = L-Z, las ecuaciones en (1.10) quedan de la siguiente manera:

     Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Volts                                         (1.11a)

     Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Amperes                                     (1.11b)

Donde 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

e  son los fasores de voltaje y corriente, respectivamente, a una distancia d.

     El análisis de las variaciones de las magnitudes del voltaje y la corriente a una distancia d de la carga es muy útil y se realiza a continuación, antes de eso es necesario obtener la magnitud de

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

, a partir de las ecuaciones (1.11):

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

  (1.12a)

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                           (1.12b)

Nótese que la influencia de d (la distancia) está contemplada en los términos

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

     Hay varios casos de consideración especial:

1.- La carga en corto circuito, 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

= 0: Para este caso, 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

=-1 el voltaje de carga 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

es cero. La ecuación para la corriente de carga en (1.12b) se vuelve:

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

        =                                               (1.13)

     Para obtener la ecuación (1.13) se utilizó la igualdad 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

. Como

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

= 0, no es apropiado utilizar la ecuación (1.12a) para analizar la magnitud del voltaje a lo largo de la línea de transmisión, así que la ecuación a utilizar es :

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Volts              (1.14)

La magnitud de 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

  queda de la siguiente manera :

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Volts                             (1.15)

  Substituyendo

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

= 1 en (1.15) tenemos :

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

 =                                            (1.16)

De la carga, como se muestra en la figura 1.1.

De esta manera, la magnitud del voltaje a lo largo de la línea de transmisión varía con el seno de la distancia eléctrica de la carga. Nótese que un mínimo y un máximo adyacentes están separados por a l / 4. De manera similar, los máximos adyacentes y los mínimos adyacentes están separados por l / 2. Por ejemplo, Si ocurre un máximo en d1 y un mínimo en d2, estos puntos deben estar separados por:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                  (1.17)

     Resultados similares se aplican a la corriente máxima y mínima respectivamente. Más adelante veremos que esto es un resultado general sin importar la impedancia de carga.

2.- La carga en circuito abierto,

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

= ¥ : Para este caso, 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

=  +1 y la corriente en la carga

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

es cero. La ecuación para el voltaje de carga en (1.12a) se vuelve:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                                         (1.18)

     En este caso, la ecuación (1.12b) no es correcta para analizar la corriente a lo largo de la línea de transmisión, así que es necesario utilizar la siguiente forma :

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                                (1.19)

     Nótese que otra vez, un máximo y un mínimo adyacentes están separados por l / 4. Tanto los máximos adyacentes como los mínimos adyacentes están separados por l / 2.

     Nótese también que una línea que tenga una longitud de un cuarto de l y que termine en un circuito abierto aparecería como un corto circuito. A una distancia de un cuarto de longitud de onda (l ), el voltaje se va a cero, mientras que la corriente no, esto indicaría que se trata de un corto circuito. Observaciones similares se aplican al caso de una línea que tenga una longitud de un cuarto de lambda (l / 4) y que termine en un corto circuito, a una distancia de un cuarto de longitud de onda de la carga (d = l / 4), la corriente es cero, mientras que el voltaje no, esto indicaría que se trata de un circuito abierto.

3.-Carga resistiva, è RL: En el caso de alguna carga resistiva 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

es real, así que 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

  y el coeficiente de reflexión en la carga es un número real, es decir, 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

. Para este caso los mínimos o máximos del voltaje y de la corriente van a ocurrir exactamente en la carga. Para RL>Rc  es positivo y en la carga ocurrirá un máximo de voltaje y un mínimo de corriente. Para RL<Rc es negativo y las propiedades antes mencionadas se invierten, es decir, en la carga ocurrirá un máximo de corriente y un mínimo de voltaje. Nótese que estas propiedades se confirman para cargas en circuito abierto y en corto circuito respectivamente.

     Finalmente, si RL = Rc se dice que la línea está acoplada, es el caso óptimo y el que generalmente se desea que ocurra. Para esta caso 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

= 0 y no hay variación en la magnitud del voltaje ni en la magnitud de la corriente a lo largo de la línea.

4.- Carga compleja caso general, 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

: Para una carga reactiva general 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

los resultados antes mencionados no cambian, con una sola excepción : Para esta carga 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

  y esto da como resultado un coeficiente de reflexión en la carga complejo, lo cual ocasiona que ni los máximos, ni los mínimos de voltaje y de corriente ocurran en la carga. Excepto por esta diferencia se tienen las siguientes propiedades generales:

(a) Un máximo y un mínimo, en la magnitud, de voltaje (o corriente) están separados  por l / 4.

(b) Los puntos correspondientes en la magnitud del voltaje (y la corriente), en sus  formas de onda, se repiten entre distancias separadas por múltiplos de l / 2.   (c) El voltaje y corriente total (magnitud y fase) se repiten entre distancias separadas  por múltiplos de l .

ACOPLAMIENTO DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN:

     Como se mencionó en el capítulo anterior, el caso ideal u óptimo es tener una línea de transmisión acoplada, esto significa que RL = Rc. Cuando RL&RC se dice que la línea está desacoplada.

     Siempre que sea posible se desea acoplar las líneas de transmisión para eliminar las reflexiones. Las líneas no acopladas ( RL&; Rc ó = Rc ) ocasionan ecos (reflexiones), como se discutió en la sección anterior estas reflexiones dan lugar a las ondas estacionarias. Esta situación puede ser particularmente indeseable, por ejemplo, en los circuitos telefónicos.

     La técnica de acoplamiento que se abordará en esta sección será la de las secciones acopladoras (stub-tuner) o espolones. La idea consiste básicamente en determinar el valor de la impedancia de alguna red auxiliar, la cual cuando sea conectada a la línea de transmisión provocará que = Rc. Como se puede ver el caso más general es cuando la impedancia de carga es compleja y debido a que la impedancia de la línea es puramente real, entonces la impedancia de esta red auxiliar debe ser puramente compleja (reactiva) y cuyo valor debe ser igual al de la parte reactiva de la impedancia de carga.

     La base de esta idea se explica a continuación, en la figura 1.2. Se puede encontrar un punto a lo largo de la línea de transmisión de tal manera que la admitancia de entrada  tenga una parte real igual a 1 / Rc y alguna parte imaginaria X, es decir :

  = ( 1 / Rc ) + j X                                                  (1.20)

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

 FIGURA 1.2

     Este hecho se puede ver fácilmente si si notamos que la admitancia normalizada a Rc de la ecuación (1.20) es:

  =  Rc

         = 1 + j X Rc                                               

La siguiente pregunta que es necesario responder es "¿Qué estructura debe tener la red acopladora?". Como ya se ha mencionado antes, es claro que esta red debe proveer una admitancia que sea puramente reactiva (que no tenga parte real), la cual podría ser capacitiva o inductiva puesto que X puede ser positivo o negativo. La manera más obvia y más simple de hacer esto es conectar en paralelo con la línea, a la distancia adecuada, un capacitor o un inductor que tenga el valor adecuado de admitancia. El problema que conlleva esta solución es que este tipo de elementos no se comportan como simples capacitores o simples inductores cuando son operados a frecuencias cercanas al rango de los Giga hertz. Abajo de este rango de frecuencias sí serán adecuados para realizar el acoplamiento. Cuando la línea va a operar en rangos de frecuencia más altos para implementar la red acopladora se utiliza una sección de línea de transmisión que tenga las mismas características de ésta, (impedancia intrínseca Rc constante de fase b y una longitud L ) y que esté cortocircuitada, es decir, que termine en corto circuito. A este pedazo de línea se le conoce como stub o stub-tuner. también se podrían utilizar stubs con terminación en circuito abierto, pero son más difíciles de construir y son poco utilizados.

En la figura 1.3 se muestra el diagrama de una línea de transmisión con un stub-tuner conectado a ella.

FIGURA 1.3

     Puesto que no siempre es posible acoplar una línea exactamente, se desea tener una medida del grado de desacoplamiento. Esta medida se llama Razón de Voltaje de Onda Estacionaria (VSWR) y se define como la razón de la magnitud del voltaje máximo en la línea a la magnitud del mínimo voltaje en la línea:

 VSWR = 

  Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Nótese que en el caso acoplado la razón del voltaje máximo al voltaje mínimo dentro de la línea  es igual a 1, es decir,

 VSWR= 1  para  = RC       

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                        (1.23)

     y  VSWR =¥   para = 0 ó para  =  ¥                                   (1.24)

     De esta manera, la VSWR nos da una medida del desacoplamiento de la línea. Nótese que la VSWR siempre será un número real positivo y que su valor va a estar entre 1e ¥ :

   1 ≤ VSWR < ¥                                                       (1.25)

     Entre más cerca esté la VSWR de la unidad, mejor acoplada está la línea. Se puede determinar una fórmula para la VSWR en términos de Rc y 

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                                 (1.26a)

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                               (1.26b)

     Substituyendo las ecuaciones de (1.26) en la definición de VSWR, ecuación (1.22):

 VSWR = 

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                 (1.27)

     Debido a que la magnitud del coeficiente de reflexión es constante en todos los puntos a lo largo de la línea, entonces será igual al inicio que en la carga:

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

     Y (1.27) se puede escribir como:

 VSWR =  

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                   (1.28)

     Por otro lado, si se conoce la VSWR por mediciones o por algún otro medio, se puede calcular la magnitud del coeficiente de reflexión en cualquier punto de la línea utilizando la siguiente ecuación:

  Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

          =                                      (1.29)

Líneas de Transmisión con pérdidas:

• Constante de propagación compleja (modo cuasi-TEM):

Para pérdidas pequeñas,

• Constante de atenuación:

, de la línea sin pérdidas

Constante de fase:

Impedancia característica:

para

Distorsión en líneas con pérdidas.

– Las aproximaciones para  y  son para pérdidas pequeñas.

– En general, ambas son dependientes de la frecuencia:

– Para una señal no monocromática, cada componente armónica sufrirá diferente atenuación y viajará con distinta velocidad de fase.

– Ello supone distorsión de la señal.

– En el caso particular R/L=G /C, la l’nea está libre de distorsión, aún teniendo pérdidas.

La línea con pérdidas terminada.

 Las ondas de tensión y corriente son:

Impedancia a lo largo de la línea:

El coeficiente de reflexión varía ahora tanto en módulo como en fase

Potencia

El flujo medio de potencia es:

Las pérdidas en un tramo de longitud d de la línea son:

Expresadas en dB:

O en nepers:

CARTA DE SMITH

    En la sección anterior requerimos numerosas operaciones algebraicas con números complejos (suma, resta, multiplicación y división) para obtener ciertas cantidades de interés. La carta de Smith es una ingeniosa técnica gráfica que virtualmente evita todas estas tediosas operaciones con números complejos. Por ejemplo, se puede determinar la impedancia de entrada a una línea de transmisión dad su longitud eléctrica y su impedancia de carga.

Considérese la línea de transmisión uniforme y sin pérdidas, con resistencia característica Rc y constante de fase b = 2p /l , como se ve en la figura 1.4. Como se discutió en la sección anterior, la impedancia de entrada a la línea en cualquier punto a lo largo de ella, , se puede determinar de la siguiente manera.

FIGURA 1.4

El coeficiente del voltaje de reflexión G ( Z )   en cualquier punto Z en la línea y la impedancia de entrada a la línea en el mismo punto Z,  , se relacionan por:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                           (1.30)

 Y el coeficiente del voltaje de reflexión en cualesquiera dos puntos de la línea, Z 1 y Z 2, se relacionan por :

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

  (1.31)

Donde la constante de fase b está dada por:

b =2p /l =  w /V (1.32)

donde V es la velocidad de propagación de la onda dentro de la línea, asumiendo que el medio dentro de la línea es homogéneo y está caracterizado por las propiedades m y e

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

,  w es la frecuencia de operación en radianes y l es la longitud de onda en el medio, en metros. Se cumple la relación l =V / f, donde f es la frecuencia de operación en Hertz.

La clave para entender la carta de Smith (lo cual es importante para su efectivo y adecuado uso), radica en el hecho de que la carta de Smith relaciona, gráficamente, la impedancia de entrada (1.30) en algún punto de la línea y el coeficiente del voltaje de reflexión (1.31) en ese mismo punto. Lo primero que se debe hacer es determinar la impedancia de entrada normalizada a la impedancia de la línea Rc. Para normalizar se realiza lo siguiente:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

=r + j x                                                                 (1.33b)

donde r y x son las partes real e imaginaria, respectivamente, de 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

. De manera similar, el coeficiente de reflexión en este punto se puede escribir en términos de su parte real y su parte imaginaria p y q ,  respectivamente :

  Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

          = p + jq                                                                 (1.34)

Substituyendo (1.34) en (1.33a) obtenemos:

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                 (1.35)

Si igualamos (1.33b) con (1.35) :

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

                                           (1.36)

Si se iguala la parte real del lado izquierdo con la parte real del lado derecho en (1.36) y se iguala la parte imaginaria del lado izquierdo con la parte imaginaria del lado derecho en (1.36) y después se hace cierta manipulación algebraica, se obtiene :

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Las ecuaciones (1.37) son las ecuaciones de dos círculos. En particular, (1.37a) es la ecuación de un círculo de radio   y centrada en el punto 

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La ecuación (1.37b) es la ecuación de un círculo de radio 1/X  y centrada en el punto 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

FIGURA 1.5

La Carta de Smith se forma con la combinación gráfica de estos dos círculos, representados por las ecuaciones (1.37). El coeficiente de reflexión del voltaje G =p + jq  se puede dibujar en el plano pq. La ecuación (1.37a) da una relación entre la parte real de 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

, entre r, p y q. La ecuación (1.37b) da la relación entre la parte imaginaria de 

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

, entre x, p y q, como se muestra en la figura 1.5.

Si se grafican las dos ecuaciones para distintos valores de r y x, y después se superponen ambas gráficas, se obtiene la Carta de Smith original (1949), la cual se muestra a continuación, en la figura 1.6  Las líneas de x constante son circunferencias de radio 1/x centradas en el punto [1, 1/x]. (líneas en azul). Figura 1.6B

FIGURA 1.6

Figura 1.6b

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

FIGURA 1.6C. Familia de circunferencias de radio 1/(r+1), centradas en (r/(r+1),0)

FIGURA 1.6D. G Se representa en circunferencias centradas en el origen de la carta.

El resultado importante es el hecho de que el coeficiente de reflexión del voltaje y la impedancia de entrada a la línea normalizada en el mismo punto de la línea, están relacionados por la carta de Smith (Fig. 1.6). En la parte exterior de la carta hay varias escalas.

En la parte exterior de la carta está una escala llamada "ángulo del coeficiente de reflexión en grados", a partir de ésta se puede obtener directamente el valor de q G . Un par de escalas de suma importancia son las que relacionan la longitud de la línea de transmisión en l ´s el inicio de estas dos escalas está en el lado izquierdo de la carta de Smith y una de ellas corre en el sentido de las manecillas del reloj, ésta se denomina "wavelengths toward generator" (longitudes de onda hacia el generador), esto indica que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia el generador, hacia la entrada de la línea, en unidades de l . La otra escala corre en sentido contrario de las manecillas del reloj y se denomina "wavelenghts toward load" (longitudes de onda hacia la carga), esto indica que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia la carga, hacia el final de la línea, en unidades de l .

En el fondo de la carta hay un conjunto de varias escalas, una de las cuales está denominada "Reflection coeff. Vol" (Coeficiente de reflexión del voltaje). Si se mide la longitud del vector, trazado siempre desde el origen, se puede utilizar esta escala para conocer la magnitud del coeficiente de reflexión del voltaje, G . El resto de las escalas deben ser explicadas en la clase. El punto importante es que la carta de Smith  es una relación gráfica entre la impedancia de entrada normalizada y el coeficiente de reflexión del voltaje en el mismo punto de la línea y utilizando la carta se pueden evitar los laboriosos cálculos con números complejos para conocer la impedancia de entrada a la línea o el coeficiente de reflexión. Otras aplicaciones de la carta de Smith son en el cálculo del inverso de un número complejo, lo cual resulta muy sencillo, y en el acoplamiento de las líneas de transmisión.

Razón de onda estacionaria (VSWR=S)

La razón de onda estacionaria también puede representarse en la carta de Smith.

y, puesto que la impedancia normalizada es:

Recordando que la tensión en la línea es:

en un máximo de tensión será

y para la corriente

Así:

La razón de onda estacionaria coincide con el máximo valor de r (está en el eje real positivo)

Análogamente:

Que está en el punto diametralmente opuesto.

Existe una escala adicional para la ROE, al pie de la carta. (En VSWR y dB).

La carta de Smith. Otras propiedades.

En la carta de Smith, un número complejo se invierte sin más que moverse al punto diametralmente opuesto:

Dada una impedancia

un desplazamiento de l /4 (p radianes) hace con lo que:

Esto nos permite trabajar cómodamente con impedancias y admitancias.

Acoplamiento:

Por acoplamiento entendemos establecer un coeficiente de reflexión nulo en algún punto de la línea (para lo cual debe existir alguna discontinuidad).

Por ejemplo: consideremos dos líneas de impedancias características Z0 y Z1 conectadas en serie, siendo la segunda de ellas indefinida(o terminada en su carga adaptada).

 Los voltajes, referidos a la discontinuidad:

con como ya sabemos.

Igualando los voltajes en z=0:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

FIGURA 1.7. Impedancia y admitancia en la carta de Smith

El objetivo del acoplamiento será, conseguir G =0- T= 1

La carta de Smith en líneas con pérdidas.

– La principal diferencia con el caso sin pérdidas es que el módulo del coeficiente de reflexión no permanece constante

lo que hace que el lugar del coeficiente de reflexión no sea una circunferencia sino una espiral logarítmica.

• Se puede utilizar la carta de Smith si "reducimos" en el factor al ir hacia el generador, o "aumentamos" en el factor

al ir hacia la carga

Potencia

El flujo medio de potencia es:

Las pŽrdidas en un tramo de longitud d de la l’nea son:

expresadas en dB:

o en nepers:

EJEMPLOS:

Ejemplo1

En un punto dado de la línea, se ha medido un coeficiente de reflexión

Determinar la impedancia normalizada en ese punto:

1. Localizamos el punto G con la ayuda de la escala.

2. Leemos los valores de r y x

ZN= 0.32+j0.63

3.- El valor exacto es:

ZN= 0.30+j0.65

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

FIGURA E-1

Ejemplo2

Dada una carga de valor ZN=2.4-j0.6 , encontrar el coeficiente de reflexión:

1.- Localizamos el punto de impedancia dada.

2.- Medimos su distancia al centro y lo trasladamos a la escala del

Coeficiente de reflexión.

3.- Medimos el ángulo, a partir del punto 0¼

Obtenemos

4.- El valor teórico es:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

FIGURA E-2

Ejemplo 3

Una línea de transmisión de 10 m. de largo, con impedancia característica de 50W , trabajando a una frecuencia, cuya longitud de onda es de 5.882 m. en la línea, termina en una carga de (50+j100)W . Determinar la impedancia de entrada.

1.- Localizamos ZLN=1+j2

2.- Expresamos la distancia en longitudes de onda:

10m = 1.70 x 5.882m = 1.70l 

3.- Nos movemos sobre la circunferencia que contiene a ZLN en sentido horario

(Hacia el generador) 1.70l (Nótese que una vuelta completa es 0.5 l )

4.- Determinamos el punto, obteniendo ZinN=0.29-j0.82

5.- El valor de la impedancia es, por lo tanto Zin=(14.5 – j41) W

Frente el valor exacto de Zin=(14.52 – j40.52) W

De paso, los coeficientes de reflexión en la carga y a la entrada, son:

Frente a los valores teóricos

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

FIGURA E-3

Ejemplo4

Una línea de impedancia característica Zo=100 W termina en una carga ZL= (150 – j200) W . Encontrar la ROE y la distancia a la que la impedancia aparece como resistiva pura.

1.- Normalizamos la impedancia: ZLN= (1.5 – j2)

2.- La localizamos en la carta de Smith.

3.- Medimos su distancia al centro de la carta y la trasladamos a la escala inferior VSWR. (Alternativamente, podemos girar hasta el eje real positivo y medir el valor de r)

S=4.5

4.- Medimos el giro (en longitudes de onda) hasta el punto del eje real más próximo

d= 0.5 l – 0.302 l = 0.198 l (hacia el generador)

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

FIGURA E-4

La carta de Smith en líneas con pérdidas.

Ejemplo:

Encontrar la impedancia de entrada en una línea de 30.48 m, de impedancia característica Zo=53.5  y terminada en una carga de ZL=(100+j150)  trabajando a una =2m,

si las pédrdidas totales son de 4.5 dB.

1.- no dB=4.5 dB=8.686d

=1.70×10-2 dB/m

2.- Atenuaci—n

Ejemplo:

3.- Localizamos ZLN = 1.87 + j2.80.

4.- Nos movemos hacia el generador 15.24 (0.24).

Encontramos ZN = 0.17 – j0.35.

5.- Reducimos el radio en un 35.5%

Encontramos ZinN = 0.62 – j0.21

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

 También se puede recurrir a la siguiente dirección en la web, en donde se encontrará información sobre líneas de transmisión, Carta de Smith, archivos descargables e incluso utilidades para trabajar con la Carta de Smith:

http://wyndury.radionet.udg.mx/wyndury/comunicaciones/cables_modem/

http://mailweb.udlap.mx/~lgojeda/tutoriales/ie38001/submenu7.htm

http://mailweb.udlap.mx/~lgojeda/apuntes/electro/capitulo7/chapter7.htm

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Daniel Leopoldo González Clarembaux