Respuestas de circuitos a señales forzantes sinusoidales Sea un circuito como el siguiente: Respuesta de estado estable de un circuito RL a una función forzante sinusoidal (Gp:) Vf (Gp:) L (Gp:) R
Se desea determinar sólo la respuesta forzada o de estado estable (obtenida a largo plazo). i
Magnitud Fase La ecuación que caracteriza al circuito es: Respuesta de estado estable de un circuito RL a una función forzante sinusoidal Se sabe que la solución particular o forzada tendrá la forma: Resolviendo para el sistema, se tiene finalmente:
Por lo tanto: Respuesta de estado estable de un circuito RL a una función forzante sinusoidal En consecuencia: En general, la corriente tendrá magnitud y fase distinta de la fuente de voltaje original
En un circuito de CA, una corriente o un voltaje sinusoidal, a una frecuencia ? dada, se caracterizan por su amplitud y ángulo de fase. Por lo tanto, una corriente dada por: El concepto de fasor podría también ser representada en la forma: Esta forma de escribir la corriente se conoce como representación fasorial. (Gp:) : fasor
La representación permite convertir una ecuación diferencial en una ecuación algebraica Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C Resistor En una rama resistiva como la de la figura: (Gp:) R (Gp:) + (Gp:) –
(Gp:) v
(Gp:) i
(Gp:) R (Gp:) + (Gp:) –
Ahora se verá cómo están relacionadas fasorialmente la corriente y la tensión en circuitos con componentes R-L-C.
Se comprueba que: Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C Resistor (cont.) Por lo tanto, la corriente y la tensión están en fase en una resistencia. Ejemplo: Así: (Gp:) V
(Gp:) I
Gráficamente:
Considerando el inductor de la siguiente figura: Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C Inductancia (Gp:) L (Gp:) + (Gp:) –
(Gp:) i
Para , se verifica: Teniendo en cuenta que j=e j90º, “en un inductor, el voltaje adelanta a la corriente en exactamente 90º ”. (Gp:) V (Gp:) I (Gp:) Gráfica fasorial
Considerando el condensador de la siguiente figura: Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C Capacitancia En este caso se tendrá: (Gp:) C (Gp:) + (Gp:) –
(Gp:) v
“En un condensador, la corriente adelanta al voltaje en exactamente 90º ”. (Gp:) V (Gp:) I (Gp:) Gráfica fasorial
Elemento Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C Resumen Resistor Inductor Condensador
Uso de la Transformada de Laplace en el análisis de circuitos. Motivación para usar la Transf. de Laplace (TL) La solución de la ecuación homogenea y particular se obtiene en una sola operación. La Transformada de Laplace (TL) convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica en “s”, la que se puede resolver mediante reglas algebraicas simples basadas en raíces de polinomios. La solución se obtiene mediante la Transformada Inversa de Laplace (TIL).
Definición Dada una función real f(t) que satisface la condición: para un valor real finito de ?, la TL de f(t) se define como: (Gp:) y se escribe como: F(s) = TL de f(t) = L[f(t)]
con s = ? + j? .
(Gp:) LA TL ES UNAOPERACIÓNLINEAL
Teoremas importantes Sea k una constante y F(s) la TL de f (t), entonces: L [ k f (t) ] = k F (s) 1) Multiplicación por una constante 2) Suma y Resta Sean F1(s) y F2(s) las TL de f1(t) y f2(t) respectivamente,entonces: L [ f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s)
3) Derivada: Sea F(s) la TL de f (t), y f (0) el límite de f (t) cuando t tiende a 0. La TL de la derivada con respecto al tiempo de f (t) es: (Gp:) L
y, para derivadas de orden superior: (Gp:) L
Teoremas importantes
4) Integración La TL de la integral de f (t) respecto del tiempo es la transformada de f (t), F(s), dividida por “s”, es decir: (Gp:) L
Para integración de orden ¨n¨: (Gp:) L
Teoremas importantes
5) Traslación en el tiempo La TL de la función f (t) retrasada un tiempo T, es decir: f(t-T), es igual a la transformada de f (t) multiplicada por e-sT; esto es: en donde us(t-T) denota la función escalón unitaria aplicada en el tiempo T (desplazada T unidades de tiempo a la derecha). Teoremas importantes L
6) Teorema del Valor Inicial Si la TL de la función f (t) es F(s), entonces se cumple: 7) Teorema del Valor Final Si la TL de la función f (t) es F(s), y si sF(s) es analítica sobre el semiplano derecho del plano ¨s¨ (incluido el eje imaginario), al que llamaremos SPD, entonces: Teoremas importantes
El Teorema del Valor Final es muy útil porque permite sabercuál será el valor final al que tenderá una función a partir deconocer el comportamiento inicial de su TL (no es válidocuando sF(s) tiene un polo con parte real cero o positiva) Ejemplo: Sea la siguiente función (cumple con s F(s) analítica en SPD): Teoremas importantes
8) Teorema de la Traslación Compleja (Gp:) L
(Gp:) La TL de la función f (t) multiplicada por e ?t, donde ? es una constante, es igual a la TL F(s), con “s” remplazada por s??, es decir:
Teoremas importantes
9) Convolución real (multiplicación compleja) Sean F1(s) y F2(s) las TL de f1(t) y f2(t) respectivamente y, además, se cumple que f1(t) = f2(t) = 0 para t< 0, entonces: (Gp:) F1(s) F2(s) = L [ f1(t) * f2(t)] = (Gp:) L (Gp:) L
El símbolo “*” denota el producto de convolución en el dominio del tiempo. Teoremas importantes
Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales El procedimiento a emplear es el siguiente: Transformar la EDO al dominio de “s” mediante la TL, utilizando la Tabla de Transformadas. Manipular las ecuaciones algebraicas transformadas y resolverlas para la variable de salida. Realizar la expansión en fracciones parciales de la ecuación algebraica transformada. Obtener la TIL utilizando la Tabla de Transformadas.
Ejemplo: Sea la EDO donde u(t)=1(t) (escalón unitario). Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
Ejemplo (continuación): Aplicando TL a ambos miembros de la EDO se tiene: Sustituyendo las CI y resolviendo para Y(s), resulta: Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
Solución estable (particular) Solución transitoria (homogénea) Tomando TIL se obtiene finalmente: Para encontrar la solución en estado estable, se puede aplicar el Teorema del Valor Final, es decir: Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales Ejemplo (continuación):