Ecuaciones diofánticas de dos incógnitas y de grado uno
Una ecuación diofántica de primer grado y de 2 incógnitas tiene la forma
, cuyas soluciones se buscan en el conjunto de los números enteros.
Teorema 1:
Las soluciones de la congruencia se pueden hallar por distintos métodos.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Si los coeficientes de la ecuación diofántica pueden ser almacenados en variables de tipo Long , para resolver las ecuaciones diofánticas de primer grado y de dos incógnitas se pueden utilizar las funciones siguientes:
Ejemplo 3: Empleando el método directo resolver la ecuación diofántica
Ejemplo 4: Empleando el método de Euler resolver la ecuación diofántica:
Un método muy cómodo para resolver las ecuaciones diofánticas es el método de las fracciones continuas, que se expone a continuación:
Así,
La codificación del método de las fracciones continuas es la siguiente:
Ejemplo 5: Utilizando el método de las fracciones continuas, resolver la ecuación diofántica:
Si deseamos que la forma de la solución obtenida por el método de las fracciones continuas sea la misma que la forma de solución obtenida por el método de Euler, es preciso añadir un poco más de código al final de la función Difanto1FC, obteniendo así la función Diofanto1FCB, expuesto a continuación:
Los programas anteriores sirven cuando los coeficientes de la ecuación y los números que intervienen en los cálculos se pueden almacenar en variables de tipo Long. Si los coeficientes de la ecuación son largos, para almacenar los coeficientes hay que utilizar variables de tipo String y las funciones aritméticas (Multiplicar, Sumar y Restar , DivisionEuclidea, MaxComDiv, MinComMult) expuestas en [9], para efectuar los cálculos con enteros largos.
Ejemplo 6: Resolver la ecuación diofántica siguiente:
Lo más rápido era el método de las fracciones continuas.
Ejemplo 7: Hallar el máximo común divisor de los números 129343542921 y 3108469675634 como una combinación lineal de estos dos números:
Biliografia
[1] P.Bachmann, Niedere Zahlentheorie, 1910
[2] R.D Garmichael:Thérie des nombre, 1919
[3] L.E. Dickson. Einfürung in die Zahlentheorie, 1931
[4] B.P. Huppert, Endlichen gruppen
[5] Kiss Ernö, A számelmélet Elemei, Technikai Könyvkiado, Bukarest, 1960
[6] Eugen Rusu, Bazele teoriei numerelor, 1953
[7]Vinogradov, Los bases de la teoría de los números (en ruso), 1952
[8] A.L. Hincin, Frac?ii Continue, Editura Tehnica, Bucarest, 1960
[9] A. Peter Santha, Cálculos con números enteros grandes en ordenadores, Monografias.com, 2012
[10] A.Peter Santha Congruencias, edu.red, 2013
Autor:
Aladar Peter Santha