9 Representing a domain: Crisp sets (men’s height): (Gp:) 1 (Gp:) 0 (Gp:) 150 (Gp:) 160 (Gp:) 170 (Gp:) 180 (Gp:) 190 (Gp:) 200 (Gp:) 210 (Gp:) cm (Gp:) short (Gp:) medium (Gp:) tall
Fuzzy set (men’s height): (Gp:) 1 (Gp:) 0 (Gp:) 150 (Gp:) 160 (Gp:) 170 (Gp:) 180 (Gp:) 190 (Gp:) 200 (Gp:) 210 (Gp:) cm (Gp:) short (Gp:) medium (Gp:) tall (Gp:) short
10 Razonamiento inexacto
Es necesario cuantificar y razonar acerca de términos o predicados difusos que aparecen en el lenguaje natural.
La lógica difusa se refiere a estos términos como variables lingüísticas, y la tecnología de los sistemas expertos, incorpora estas variables lingüísticas en reglas que pasan a ser reglas difusas.
11 Lógica difusa En 1965, Lofti Zadeh sienta las bases de la lógica difusa
Motivación inicial: estudio de la vaguedad Relación vaguedad ? incertidumbre Solución: definir conjuntos con grados de pertenencia Éxito de la lógica difusa : Desde el punto de vista práctico: miles de aplicaciones, la mayoría en sistemas de control Desde el punto de vista lógico: lógica fuzzy como una lógica multivaluada.
12 Características principales de la lógica difusa Se intenta representar la vaguedad e imprecisión inherentes en el lenguaje natural Utiliza varios elementos: conjuntos difusos, variables difusas, relaciones difusas, reglas difusas (lenguaje difuso) Dichos elementos se combinan entre sí en el proceso de inferencias (fuzzy logic) Fuzzy control: El proceso de inferencias incluye pasos que pasan la información precisa a difusa y viceversa
13 Lógica difusa Por definición “logica difusa” es una rama de la lógica que utiliza grados de pertenencia a los conjuntos (grados de verdad de las fórmulas) en lugar de los estrictos valores verdadero o falso.
Estos conjuntos reciben la denominación de “conjuntos difusos”.
14 La lógica difusa concierne a la cuantificación y razonamiento sobre términos vagos o difusos que aparecen en el lenguaje natural cotidiano. En la lógica difusa, estos términos son denominados variables lingüísticas.
variables lingüísticas: son términos que describen algún concepto que usualmente tiene asociados valores vagos o difusos. Lógica difusa
15 Lógica difusa
16 Difusión de fuzzy logic En la actualidad es un campo de investigación muy importante, tanto por sus implicaciones matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones prácticas: Revistas (Fuzzy Sets and Systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems..) Congresos (FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF…) Miles de aplicaciones reales: Control de sistemas: Tráfico, vehículos, compuertas en plantas hidroeléctricas, centrales térmicas, lavadoras, metros ascensores… Predicción y optimización: Predicción de terremotos, optimización de horarios… Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador: Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de escritura, reconocimiento de objetos, compensación de vibraciones en cámaras, sistemas de enfoque automático… Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos, sistemas expertos…
17 Un poco de publicidad… Carga: 5kg Revoluciones: 1400 rpm Características energéticas: A+,A,B Multi-Display Fuzzy Logic Programas especiales: Lavado a mano, Seda, Lana Poderoso lente zoom de 4.3x, 28-120 con elementos de lentes de cristal ED Sistema de flash doble incorporado. Ajuste de Exposición Automática programada Sistema de Medición TTL: Fuzzy logic ESP, Promedio Balanceado al Centro OLYMPUS ERGONÓMICA SRL 28-120 AEG Lavamat 64600
18 Conjuntos difusos Conjuntos clásicos (crisp) A ? U definido por su función de pertenencia ?A: U ? {0,1} / ?A(x)= 1 sii x ? A
Conjunto difuso (Fuzzy set) A de U ?A: U ? [0,1] ?A(x) me define el grado de pertenencia de x a A Hay “distintos grados de pertenencia”
19 Conjuntos difusos La sentencia “Juan es alto” implica la variable “estatura” que tiene como valor lingüístico “alto”. El rango de los posibles valores de la variable lingüística (estatura) es el universo de discurso X de dicha variable [0.3, 2.5m].
La frase “Juan es alto” restringe los valores de la variable estatura y se puede representar mediante un conjunto difuso.
20 Para otras descripciones de la variable lingüística estatura tales como: baja o media, se pueden obtener otros conjuntos difusos que reflejan la opinión popular (o de expertos). se pueden definir múltiples conjuntos difusos para un mismo universo de discurso: subconjuntos difusos representando distintos términos vagos. Conjuntos difusos
21
22 Funciones de pertenencia Algunas de las funciones de pertenencia más utilizadas son: Función GAMMA (?): Función LAMBDA o triangular Función L Puede definirse simplemente como 1 menos la función GAMMA
23 Funciones de pertenencia Función PI o trapezoidal
24 Funciones de pertenencia Función S Función P Función Z (opuesta de la S) mZ(x) = 1- mS(x)
25 Conjunto difuso – espacio discreto Considerando ahora un universo de discurso discreto, tal que los elementos de X sean { x1, x2, …..xn} y, siendo A un conjunto difuso definido en dicho universo: La representación del vector se clarifica utilizando el símbolo “ / “ que asocia el valor de pertenencia ai con la coordenada de xi : A = ( a1 / x1, a2/x2…..an/ xn )
Considerando el conjunto difuso alto ALTO = (0/1.65, 1/1.75, 1/1.85, 0/1.95)
26 También se expresa como: A = ( a1 /x1+ a2/x2+…..+an/ xn )
A = ?i=,1,n ?A(xi)/xi
Si X es una función continua, el conjunto A, este puede ser representado como: A = ? ?A(xi)/xi Conjunto difuso – espacio discreto
27 Etiquetas lingüísticas – Hedges Equivalentes a los adverbios del lenguaje natural Se utilizan para definir conjuntos difusos a partir de otros ya existentes. Por ejemplo, viejo —> MUY viejo Lo que se hace es componer la función de pertenencia con alguna otra función, de forma que la función resultante tenga la forma deseada Por ejemplo, función para el adverbio MUY —> f(y) = y2
viejo Muy viejo
28 Etiquetas lingüísticas (Gp:) Nombre del modificador
(Gp:) Descripción del modificador
(Gp:) not
(Gp:) 1-y
(Gp:) very (muy)
(Gp:) y2
(Gp:) somewhat (algo)
(Gp:) y1/3
(Gp:) more-or-less (más o menos)
(Gp:) y1/2
(Gp:) extremely (extremadamente)
(Gp:) y3
Existe todo un catálogo de adverbios/funciones
29 Etiquetas lingüísticas Otras operaciones usuales Concentración Intensificación contraste Dilatación Difuminación Normalización f(y) = y/Altura f(y)=yp, con p>1 f(y)=yp, con 0< p< 1
30 Operaciones con conjuntos difusos Las funciones c para el complemento más utilizadas son: Complemento (Negación) Dado un conjunto difuso A, su complemento vendrá definido por c(a) = 1 – a. Sugeno cl(a) = (1-a)/(1-la) l? [0, 1] Yager cw(a) = ( 1 – aw)1/w w? [0, ?]
31 Operaciones con conjuntos difusos Intersección (conjunción) Dados dos conjuntos difusos A y B, su intersección vendrá definida por Las funciones i que verifican las propiedades que se esperan de una conjunción se llaman normas triangulares (t-normas).
32 Operaciones con conjuntos difusos Algunas t-normas usuales: (Gp:) t-norma del mínimo imin(a,b) = min(a,b)
(Gp:) t-norma del producto i*(a,b) = ab
(Gp:) t-norma del producto drástico
33 Operaciones con conjuntos difusos Unión (disjunción) Dados dos conjuntos difusos A y B, su unión vendrá definida por mAuB(x) = u(mA(x), mB(x)) Las funciones u que verifican las propiedades esperadas para una disjunción se llaman: conormas triangulares (t-conormas).
34 Operaciones con conjuntos difusos Si consideramos como complemento la función c(u) = 1-u, las t-conormas correspondientes a las t-normas anteriores son: t-conorma del máximo umax(a,b) = max(a,b) t-norma de la suma drástica (Gp:) t-conorma de la suma u*(a,b) = a+b-ab
35 Operaciones con conjuntos difusos Considerando la t-norma del mínimo (intersección, AND) junto con la t-conorma del máximo (unión, OR) Conjuntos vacío y total: Conjunto vacío Conjunto total (X crisp) Sin embargo, con esta definición no se satisfacen algunos famosos principios de la lógica clásica, como por ejemplo: Principio de contradicción Principio del tercero excluso
36 Razonamiento difuso Proposición difusa simple: Proposición que asigna un valor a una variable difusa: “Pepe es de estatura mediana”. Tiene asociado un conjunto difuso (función de pertenencia). Proposición difusa compuesta: Agrupación de dos o más proposiciones difusas simples “la velocidad es normal” AND “el objeto está cerca” “la velocidad es alta” OR “el objeto está muy cerca” “la velocidad NO es alta” Necesidad de definir operadores difusos: NO (¬p) m¬A(u) = 1 – mA(u) AND (p?q) vendrá definida por una función de pertenencia tipo t-norma, por ejemplo m A?B (u,v) = min( mA(u), mB(v)) OR (p?q) vendrá definida por una función de pertenencia tipo t-conorma, por ejemplo mAUB(u,v) = max(mA(u), mB(v))
37 Razonamiento difuso: implicaciones El siguiente paso es definir lo que es una implicación, es decir, asignar una función de pertenencia a una agrupación antecedente consecuente del tipo p?q Esto nos permitirá razonar con afirmaciones tales como: SI “la velocidad es normal” ENTONCES “la fuerza de frenado debe ser moderada” Opciones: Teórica: Dar a la implicación el mismo significado que en la lógica clásica. p?q ? ?p?q mp?q(u,v) = max(1-mA(u), mB(v)) p?q ? ~(p?(~q)) mp?q(u,v) = 1 – min[mA(u), 1-mB(v)] Práctica: Dar a la implicación el significado de relación causa-efecto: Implicación de Mamdani p?q ? A?B ? mp?q(u,v) = min( mA(u), mB(v))
38 Inferencia Difusa – Fuzzy inference Una regla difusa relaciona dos proposiciones difusas, por ejemplo considerando dos conjuntos difusos tales como A (estatura es alta) y B (peso es elevado), estos pueden estar relacionados por la regla: If A Then B Los sistemas expertos difusos almacenan las reglas como asociaciones difusas (A,B), en una matriz M denominada matriz asociativa difusa.
39 Matriz asociativa difusa.
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Como en otras técnicas de razonamiento inexacto, el proceso de inferencia difusa intenta establecer la credibilidad conclusión de la regla dada una cierta evidencia en la premisa.
If A Then B A* B* ??? Inferencia Difusa – Fuzzy inference
41 Funcionamiento de un sistema de control basado en lógica difusa (Gp:) Reglas (Gp:) Inferencia
Codificador Decodificador (Gp:) u ?Up (Gp:) Conjuntos difusos entrada
(Gp:) v ?V (Gp:) Conjuntos difusos salida
(Gp:) Entrada crisp (Gp:) x ?Up
(Gp:) y=f(x) ?V (Gp:) Salida crisp
42 Disponiendo de la matriz M que se obtiene a partir de A?B, el proceso de inferencia difusa permite a partir de información A’ (subconjunto de A), inducir un subconjunto B’ de B. Técnicas de inferencia difusas:
Inferencia max-min Inferencia max-product
Inferencia Difusa – Fuzzy inference
43 Inferencia max-min El operador de de la implicación utilizado es el “min”, es decir: mij = min(ai,bj)
Entonces, dados dos conjuntos difusas A y B, se obtiene la matriz M. Luego, dado el conuunto A’, se puede inducir el subconjunto B’.
44 Inferencia max-min Ejemplo: sea un universo de discurso X que representa “temperatura”, y A un conjunto difuso que representa “temperatura normal”. Asumiendo que Y representa “velocidad” y un B que representa “velocidad media”, entonces si tenemos la siguiente regla difusa:
If temperatura normal Then velocidad media IF A THEN B
45 Inferencia max-min – Ejemplo
46 A’ representa una entrada de t=125º
47 El subconjunto A’ (lectura única) induce un conjunto difuso B’ utilizando la composición max-min:
48 Inferencia max-min – Ejemplo
49 Cuando A’ tiene un solo valor de pertenencia distinto de 0, por ejemplo xk se puede utilizar solo ? A (xk) directamente con la representación de B, ? B (y) para inducir B’ como
B’ = ? A (xk) ? ? B (y)
Truncamiento del conjunto difuso B por el valor ? A(xk) Inferencia max-min – Observación
50 En el ejemplo, nosotros asumimos que la temperatura es de 125 grados A’ tiene un solo valor de pertenencia distinto de 0, y resulta ? A (x) = 0.5 Luego:
B’ = [min(.5, 0), min(.5, .6), min(.5, 1), min(.5, .6), min(.5, 0) = = (0, .5, .5, .5, 0)
Inferencia max-min – Ejemplo
51 En el caso que la entrada a la regla sea una lectura difusa A’, nosotros podemos considerar la intersección de A y A’, es decir:
min (ai, a’i) para inducir el B’ Inferencia max-min – Observación
52
53 El operador de de la implicación utilizado es el producto en lugar del min: mij = ai * bj
Dados los conjuntos difusos A y B, se obtiene la matriz M. Luego, dado el vector de ajuste de A’, se puede inducir el subconjunto B’.
Inferencia max-product
54 Inferencia max-product: Ejemplo
55 Inferencia max-product : Ejemplo A partir de la nueva matriz M se utiliza nuevamente la composición Max-min:
56 Inferencia max-product: Ejemplo
57 Inferencia Difusa El método numérico desarrollado puede ser extendido a reglas con cláusulas múltiples en la premisa vinculadas por operadores de conjunción o disyunción.
Si A and/or B Entonces C
La extensión del método consiste en incorporar las matrices asociativas a cada uno de los conjuntos difusos A y B involucrados en la regla y resolverlos conforme a la naturaleza del operador que los vincula.
58 Reglas con antecedentes compuestos
59 Inferencia Difusa El efecto de la combinación de las conclusiones de varias reglas: R1: A1 ? C, … Rn: An ? C y el valor resultante del aporte de cada una de ellas, permite suponer que el resultado de la composición ( la unión):
C’ = C’1 ? C’2 ? C’3 ……. ?C’n
según las operaciones entre conjuntos difusos
C’ = max (C’1 , C’2 , C’3 ,…… , C’n)
60 Decodificación – defuzzyfication Una vez llevado a cabo el proceso de razonamiento difuso, es necesario dotar al sistema de la capacidad de tomar decisiones. Así por ejemplo, el sistema debe saber qué fuerza de frenado que debemos aplicar si la velocidad es alta Para ello se utilizan las llamadas técnicas de decodificación, que transforman un conjunto difuso en un valor nítido. Las más usuales son: El valor máximo (es decir, el más posible). El centroide o centro de gravedad difuso
61 Fuzzy systems
62 Fuzzy systems
63 Fuzzy systems
64 Fuzzy system: ejemplo
65 Fuzzy system: ejemplo
66 Fuzzy system: ejemplo
67 Fuzzy system: ejemplo
68 En resumen La lógica difusa se concibió originalmente como un método mejor para manejar y almacenar información imprecisa Ha demostrado ser una excelente alternativa para sistemas de control, ya que imita a la lógica de control humana Se pede incluir en cualquier sistema, desde dispositivos pequeños a sistemas de control complejos Usa un lenguaje impreciso pero muy descriptivo para operar con datos de entrada de una forma parecida a la usa un operador humano Es robusta y no demasiado dependiente de los datos de entrada y operadores elegido Incluso las primeras versiones funcionan bastante bien, con escasa necesidad de ajustes
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