Como resolver una situación con las herramientas de la programación lineal

¿ Recuerdas como se calcula el àrea de un rectàngulo ? La Geometrìa enseña que el àrea de un rectàngulo es igual al producto de su base por su altura. Luego, llamando A al àrea del rectàngulo, b a la base y h a la altura, la fòrmula : A = b x h altura base ING. J.L. ALBORNOZ

A = b x h Representarà de un modo general el àrea de cualquier rectàngulo, puès èsta se obtendrà con solo sustituir b y h en la fòrmula anterior por sus valores en el caso dado. Por ejemplo, si queremos conocer el àrea de un terreno que tiene 8 metros de frente por 20 metros de largo, solo tenemos que introducir estos dos valores en la fòrmula, su àrea serà: A = b x h = 8 m x 20 m = 160 m2 ING. J.L. ALBORNOZ

Al igual que en la Geometrìa, en la Programaciòn Lineal se utilizan letras para identificar de manera general los valores que puedan alcanzar las incògnitas. Estas incògnitas pueden ser : La cantidad de productos elaborados, el nùmero de productos vendidos, la cantidad de artìculos adquiridos, el nùmero de obreros asignados a una actividad, etc. La ventaja de utilizar la notaciòn algebraica estriba en que al indicar; por medio de una ecuaciòn, inecuaciòn o modelo matemàtico; el comportamiento de una actividad empresarial, nos permitirà visualizar rapidamente el resultado de la misma en cualquier momento del proceso. ING. J.L. ALBORNOZ

Imaginemos que estudiamos las actividades de una PANADERÌA donde se elaboran panes, galletas y tortas. Para “bautizar” las incògnitas podemos utilizar la siguiente nomenclatura: P = Cantidad de panes producidos diariamente G = Cantidad de galletas producidas diariamente T = Cantidad de tortas producidas diariamente Si el dìa de hoy se fabricaron 100 panes, 40 galletas y 10 tortas, se puede indicar que la producciòn diaria fue de : P = 100 ; G = 40 ; T = 10 ING. J.L. ALBORNOZ

Si queremos indicar que se elaboran mas panes que galletas : P = G Se producen menos tortas que panes : T = P El nùmero de panes elaborados es mayor que el resto de los demàs productos : P = G + T ING. J.L. ALBORNOZ

Al entrevistar al “panadero”, èste nos indicò que para fabricar cada pan se utilizan 2 tazas de harina de trigo, para cada galleta media taza y para cada torta 6 tazas. Tambièn indicò que la cantidad de harina de trigo que pueden adquirir alcanza para suministrar hasta 280 tazas. Esta consideraciòn limita la producciòn de tal manera que la cantidad de harina a utilizar no puede ser mayor a la disponible. Debemos relacionar la cantidad de tazas que necesita cada unidad de cada producto con respecto a las 280 tazas de que se disponen: 2 P + 0,5 G + 6 T = 280 ING. J.L. ALBORNOZ

¿ Con la cantidad de harina que se adquiere normalmente puedo fabricar 80 panes, 40 galletas y 15 tortas ? Para resolver esta situaciòn solo debo sustituir las incògnitas por los valores indicados y ver si se cumple la inecuaciòn. En este caso en particular 2P + 0,5G + 6T = 280. Al sustituir los valores de las incògnitas: 2 (80) + 0,5 (40) + 6 (15) = 280 160 + 20 + 90 = 280 ; 270 = 280 Como 270 es menor que 280 si se cumple la inecuaciòn; por lo tanto Si se pueden fabricar las cantidades indicadas en la pregunta. ING. J.L. ALBORNOZ

¿ Con la cantidad de harina que se adquiere normalmente puedo fabricar 90 panes, 30 galletas y 15 tortas ? Para resolver esta situaciòn solo debo sustituir las incògnitas por los valores indicados y ver si se cumple la inecuaciòn. En este caso en particular 2P + 0,5G + 6T = 280. Al sustituir los valores de las incògnitas: 2 (90) + 0,5 (30) + 6 (15) = 280 180 + 15 + 90 = 280 ; 285 = 280 Como 285 no es menor que 280 no se cumple la condiciòn; por lo tanto no se pueden fabricar las cantidades indicadas en la pregunta. ING. J.L. ALBORNOZ

Si queremos indicar que por cada torta vendida se venden 4 galletas, debemos “construir” una ecuaciòn de manera que cuando sustituyamos la cantidad de tortas obtengamos el cuàdruple de unidades de galletas: El error màs comùn es indicar la ecuaciòn como 1 T = 4 G Analice bien lo que quiere indicar y utilice la ecuaciòn 4 T = 1 G , sustituya T=1 (por cada torta vendida) y obtendrà G=4 (se venden 4 galletas). Como esa es la condiciòn que quiere indicar, la ecuaciòn a utilizar serà: 4 T = G ING. J.L. ALBORNOZ

Al entrevistar al dueño de la panaderìa nos indicò que tiene un contrato de suministro diario de 40 panes con el comedor de la escuela local. Todos los dìas vende 10 galletas a la bodega de la cuadra y 4 tortas a la cantina del liceo. Esta situaciòn nos obliga a que cualquier consideraciòn en la producciòn diaria de dicha panaderìa contemple por lo menos cumplir con esos pedidos. P = 40 G = 10 T = 4 ING. J.L. ALBORNOZ

El precio unitario de venta al publico de los tres artìculos es el siguiente: Pan = Bs 1000, Galleta = Bs 600, Torta = Bs 8000. El costo de producción de cada artìculo es : Pan = Bs 800, Galleta = Bs 500, Torta = Bs 6500. Para determinar cuàl es la utilidad por cada uno de los productos es bueno aclarar que utilidad = Precio de venta menos precio de costo Utilidad de P = 1000 – 800 = Bs 200 Utilidad de G = 600 – 500 = Bs 100 Utilidad de T = 8000 – 6500 = Bs 1500 Si llamamos Z a la ecuaciòn de utilidad de la panaderìa, obtendremos que : Z = 200 P + 100 G + 1500 T ING. J.L. ALBORNOZ

¿ Y què hacemos con esas expresiones algebraicas ? ING. J.L. ALBORNOZ

A continuaciòn resolveremos un problema sencillo para fijar mejor la idea ING. J.L. ALBORNOZ

Tome su cuaderno, copie el enunciado del problema y a medida que vaya viendo la presentaciòn verifique la informaciòn. Esto le permitirà garantizar la secuencia de resoluciòn. ING. J.L. ALBORNOZ

PROBLEMA TIPO Una panaderìa fabrica pan dulce y pan salado. La utilidad por cada pan salado es de Bs 100 y la de cada pan dulce es de Bs 150. Diariamente se venden mas panes salados que dulces. Se tiene un contrato de suministro con el comedor popular de 180 panes salados y 90 panes dulces diariamente. La capacidad de producciòn es de 500 panes diarios. El dueño de la panaderìa le pide a usted que le diga que cantidad de panes debe fabricar diariamente para obtener la màxima utilidad. ¿ Cuàl serà su recomendaciòn ?. NOTA: Recuerde y ponga en pràctica los mismos cinco pasos que se recomiendan para solucionar un problema de Àlgebra. ING. J.L. ALBORNOZ

1.- Identificar el problema: Se pide MAXIMIZAR las utilidades de una empresa que elabora panes (Panaderìa). 2.- Identificar y “bautizar” las incognitas Se nos habla de pan dulce y pan salado, quiere decir que existen dos incògnitas. Las que pueden ser “bautizadas” como: S = Cantidad de panes salados que se deben elaborar diariamente. D = Cantidad de panes dulces que se deben elaborar diariamente. ING. J.L. ALBORNOZ

3.- Elaborar el MODELO MATEMÀTICO La funciòn objetivo o ecuaciòn de la utilidad serà: Z = Bs 100xS + Bs 150xD Analizando las restricciones que se deben cumplir tenemos que : Se venden mas panes salados que dulces: S = D (1) ING. J.L. ALBORNOZ

Se tiene un contrato de suministro diario de 180 panes salados y 90 panes dulces : Para garantizar el cumplimiento de dicho contrato se deben elaborar diariamente 180 ò màs panes salados y 90 ò mas panes dulces. Por lo tanto: S = 180 (2) D = 90 (3) ING. J.L. ALBORNOZ

La capacidad de producciòn es de 500 panes diarios : S + D = 500 (4) El MODELO MATEMÀTICO de PL quedarà expresado como: MAXIMIZAR Z = 100 S + 150 D Sujeta a las siguientes restricciones: S = D (1) S = 180 (2) D = 90 (3) S + D = 500 (4) ING. J.L. ALBORNOZ

4.- Resolver el MODELO MATEMÀTICO : (Este paso lo aprenderemos en la pròxima presentaciòn) Al utilizar el Mètodo Gràfico o cualquiera de los programas de modelado matemàtico para computadoras, se obtendràn los siguientes resultados : S = 250 y D = 250 Estos resultados se leen: Para obtener la màxima utilidad se deben producir diariamente 250 panes salados y 250 panes dulces. ING. J.L. ALBORNOZ

Para determinar cual es la utilidad màxima que puede obtener la panaderìa diariamente, basta con introducir estos valores en la funciòn objetivo o ecuaciòn de utilidad. Z = 100 S + 150 D Z = ( 100 x 250 ) + ( 150 x 250) Zmax = Bs 62.500,oo La utilidad màxima diaria que puede obtener la panaderìa es de Bs 62.500,oo ING. J.L. ALBORNOZ

5.- Comprobar los resultados : No existe otra combinaciòn de valores que se puedan asignar a S y a D que arrojen una utilidad mayor y que al mismo tiempo cumplan con todas las restricciones del problema. Compruèbelo utilizando la hoja de càlculo EXCEL. ING. J.L. ALBORNOZ

ING. J.L. ALBORNOZ Para resolver un Modelo Matemático de Programación Lineal se pueden utilizar dos métodos : El método gráfico (para 2 incógnitas) y el uso de programas en computadora (para 2 o más incógnitas). Aunque el método gráfico ya no es utilizado en el campo profesional algunos institutos de educación lo siguen dictando, si ese es su caso, observe la presentaciòn identificada como mètodo gràfico de programaciòn lineal albornoz que se encuentran en la web.

Para la solución de los Modelos Matemáticos de Programación Lineal con el uso del computador recomendamos consultar el archivo 69 ejercicios resueltos de programación lineal albornoz que se encuentra en la web. Ing. José L. Albornoz S.